第17讲 反三角函数与三角方程-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

这是一份第17讲 反三角函数与三角方程-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用），文件包含第17讲反三角函数与三角方程解析版-高考培优直通车2022年高三数学大一轮复习精品讲义上海专用docx、第17讲反三角函数与三角方程原卷版-高考培优直通车2022年高三数学大一轮复习精品讲义上海专用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
第17讲-反三角函数与三角方程（解析版）
学习目标：
1、知道反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的基本性质和图像．理解反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的概念和符号表示
2、会用计算器求反三角函数的值和用反三角函数的值表示角的大小，掌握最简三角方程的解集，会解形如，，（或），等简单的三角方程

教学内容

1、设函数（），将图像向左平移单位后所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则 ．
【答案】
2、在中，角的对边分别为，面积为，
且，则_________
【答案】
【解析】，
所以结合解得

3、已知函数，若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为 .
【答案】
【解析】当时，，，又因为，所以，为了最小，只需要在上单调，可取，解得

4、已知函数，将的图像向左移个单位得到函数的图像.
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，的一条对称轴为，求，的值域.
【解析】（1），
，将代入，可得，
由，得；
（2） 由对称轴可得，
故，得；
又，故，则；
由，得，
故，
则








知识点一：反三角函数
知识梳理
一、 反正弦函数：函数，的反函数叫做反正弦函数，记作
，。
【注】1、反正弦函数不是正弦函数（R）的反函数；
2、表示一个角（弧度制），这个角的正弦值为x。

二、 反余弦函数：函数，的反函数叫做反余弦函数，记作
，。
三、 反正切函数：函数，的反函数叫做反正切函数，记作
，R。
四、对应函数图像及性质：




图像



定义域


R
值域



奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增函数
减函数
增函数
恒等式
，；
，
；
，；
，；
，
；
，；
，R；
，
；
，R。


例题精讲
例1：（1）已知，，则x=（）；
【解析】；
（2）已知，，则x=（）；
【解析】；
（3） 已知，，则x=（）；
【解析】；
（4） 直线的倾斜角为（）；
【解析】；
（5） 将函数化为（其中，，）的形式，则可用反正切函数值表示为（）；
【解析】。
例2：求下列函数的反函数：
（1），；
【解析】由，得：，所以，
而，所以，因此，
当时，，
所以，函数，的反函数为，。
（2），；
【解析】由，得：，
而，所以，
即，当时，，
所以，函数，的反函数为，。
（3） ，；
【答案】
（4） ，；
【答案】
（5） ；
【答案】
例3：（1）求函数的定义域；
【解析】要使函数有意义，则，解得：函数的定义域为。
（2）求函数的值域；
【解析】要使函数有意义，则，解得：函数的定义域为，
因为函数在单调递减，
所以，即函数的值域为。
（3） 函数，的值域为（）；
【解析】。
例4：（1）求值：。
【解析】设，，其中、均为锐角，
则，，所以，，
，，
从而，。
（2） 。
【答案】

知识点二：最简三角方程
知识梳理
最简三角方程
解集


{，Z}，
也可以写成{，或，Z}








{，Z}



{，Z}

{，Z}
（R）
{，Z}
此外，，Z；
，Z；
，Z。

例题精讲
例1：解下列三角方程：
（1） ；
【解析】原方程等价于，所以或，Z，
从而原方程的解集为。
（2） ；
【解析】原方程等价于，所以，，Z，
从而原方程的解集为。
（3） 。
【解析】原方程等价于，所以，或，
从而原方程的解集为。
（4）
【解析】解法一：6
7或得
经验根正确。
解法二：6

得经验根正确。

例2：（1）已知关于x的方程在区间内有两个相异实根、，求实数a的取值范围以及的值。
【解析】由，得：，
设（），则关于t的方程在区间内有两个相异实根、，结合图像可知：或，即，
且或，即或，
解得：或。
综上：实数a的取值范围是，的值为或。
（2） 已知关于x的方程在区间有两个相异实根，求实数k的取值范围以及相应两根之和。
【答案】，两根之和为
例3：（1）已知关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围。
【解析】由，得：，
显然，所以，
令（），则，
所以在单调递增，所以，
即实数a的取值范围是。
（2）已知关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围。
【答案】
（3）已知关于x的方程有实数解，求实数k的取值范围。
【答案】

巩固练习
1、 求下列各式的值：
（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
【答案】（1）；（2）
（3）设，则且，则

（4）
（5）设，则且，则
（6）设，，则，且，
则。

2、 求下列函数的定义域和值域：
（1） ；（2）；
（2） ；（4）；
（4） ；（6）；
（7），；（8）.
【答案】（1）定义域： 值域： （2）定义域： 值域：
（3）定义域： 值域： （4）定义域：R 值域：
（5）由，则，，则。
（6），
（7）当时，而为增函数，则。
（8）定义域：值域：
3、 求下列函数的值域：

（1）函数的值域是 。
【答案】
（2）函数的值域是 。
【答案】
（3）求的值域。
【答案】∵－1≤x≤1 ∴－≤x≤
4、求解下列不等式：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）由，得；
（2）由，得；
（3） ；
（4）.
5、已知方程的两个实根分别为，求的值。
【答案】

6、求下列方程的解集：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）
（6），；（7）.
【解析】（1）原方程即 所以，得.
所以方程的解集为.
（2）原方程即.所以方程的解集为.
（3）原方程可化为．
整理，得．解得（无解）．
因此原方程得解集为．
（4）把原方程左边分解因式，得．
所以．
由，得．
由，得．
所以原方程的解集为．
（5）原方程可以化为，
所以
经检验，也是原方程的解.
所以原方程的解集是
（6）原方程可化为，所以.
当时，，不合题意；
取时，；
取时，或；
取时，或；
取时，；
当时，，不合题意.
（7）或，则或，。

7、试判断关于的方程是否有实数解，并说明理由。
【答案】当时方程有实数解，否则方程无实数解.
8、若方程有实数解，求实数的取值范围。
【解析】，令，则，，则。

9、当为何值时，方程有实数解？
【解析】，则时方程有解，则。

10、已知关于x的方程在区间内有两相异实数根，求实数的取值范围及相应的两根之和。
【答案】相应两根之和为（数形结合）
11、已知是方程的两根，且，求的值。
【答案】


1、设,且，则的取值范围是 ．
【答案】
2、求值：=________________弧度．
【答案】
3、方程：sinx+cosx =1在[0，π]上的解是 ．
【答案】或0
4、若，则锐角 ．
【答案】
【解析】
5、方程在上的解是 ．
【答案】
6、已知，，则 ．
【答案】
7、已知函数，则 ．
【答案】
【解析】考察反函数性质，令，则，解得。由原函数与反函数自变量与因变量互换，则。
8、方程的解集为 ．
【答案】
9、方程在上的解为 ．
【答案】
10、已知，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】的定义域是，
而和在上都是增函数，又都是奇函数，
∴ 在上既是增函数，又是奇函数．
∴ 解得a的取值范围为.
11、方程的解集为 ．
【答案】.
【解析】且，所以.
12、函数的值域是 ．
【答案】
【解析】由题意，在上单调递增，当时，，当时，，故该函数的值域是
13、函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】在上为偶函数，且在上为单调递增，
所以最大值为
14、若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
15、若行列式中元素的代数余子式的值为，则实数的取值集合为 ．

【答案】
16、集合 ．（用列举法表示）
【答案】
17、已知、是方程的两根，、，则= ．
【答案】
18、已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】画出在，易得当时方程有两个解，故.

19、现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：. 则 ．（请保留两位小数）
【答案】1.82
【解析】，，故可知，
20、如果方程组有实数解，则正整数的最小值是 ．
【答案】
【解析】根据合理性安排，进行估值计算，但要符合题意，即需满足，
当时，可求得最大值安排为：即个，个，个；所以
当时，可求得最大值安排为：即个，个；所以
根据估算可得，结合，我们可以适当调整适当数据大小，使得时,可以凑足，故

21、已知函数，若函数的区间，内恰好有奇数个零点，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】当

22、 关于的方程在上解的个数是 ．
【答案】9

23、关于的方程在上解的个数是 ．
【答案】

24、 “”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A

25、 “”是“”的（ ）条件.
【A】 充分非必要. 【B】 必要非充分. 【C】 充要. 【D】 既非充分又非必要.
【答案】B
【解析】设，则，其中，所以定有，
但若时，若，则不存在，所以是必要不充分条件，选择
26、下列关于函数与的命题中正确的是（ ）．
【A】 它们互为反函数 【B】 都是增函数
【C】 都是周期函数 【D】 都是奇函数
【答案】D
【解析】由
而互为反函数，故排除A，它们都是奇函数，故选择D
27、已知，则=（ ）
A、2； B、2或； C、2或0； D、或0．
【答案】C
28、已知函数（）在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
【A】 【B】 【C】 【D】
【答案】
【解析】
依题意得，，画出大致图像，如下图：

若，则
若，则
又因为上是左右两端的开区间，故，则答案选：


29、已知函数，若存在，且，使成立，则以下对实数、的描述正确的是（ ）
A、 ； B、 ； C、 ； D、；
【答案】A.
【解析】画出的图像，根据题意只要在区间上存在部分递减即可，故选A.
【点评】熟记反三角函数的图像，正确理解题意是解本题的关键.

30、提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:
下列判断错误的是（ ）
【】当时，辅助角
【】当时，辅助角
【】当时，辅助角
【】当时，辅助角
【答案】
【解析】

其中；
当时，第四象限，所以错。也可以举反例排除










31、关于的方程恰有3个实数根、、，则（ ）
A、1； B、2； C、； D、.
【答案】B.

1、求的取值范围 ，使得关于的方程在上 
(1)无解；          (2)仅有一解；          (3)有两解.
【解析】用分离参数的方法，
只需要考虑与函数的交点个数就是方程解的个数，
令，
则函数，画出二次函数在上的图像，
观察常值函数与二次函数的交点个数，可知
(1)当时，两函数图像没有交点，即原方程无解；
(2)当时，两函数图像只有一个交点，即原方程只有一个解；
(3)当时，两函数图像有两个交点，即原方程有两个解.

2、已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数图像向右平移个单位后，得到函数的图像，求方程的解.
【解析】（1）， --------------3分
由得：
的单调递增区间是；--6分
（2）由已知，， -------------9分
由，得，
，. -----------------------12分





3、已知定义在上的函数是奇函数，且当时，．
（1）求在区间上的解析式；
（2）当实数为何值时，关于的方程在有解．
【解析】（1）设，则，
是奇函数，则有…………4分
………………7分
（2）设，令，则，
而.
，得，从而，
在的取值范围是.…………………………11分
又设，则，
由此函数是奇函数得，，
从而.………13分
综上所述，的值域为，
所以的取值范围是.…………14分





4、已知向量，．函数.
（1）求方程在区间的解集；
（2）在中，角的对边分别是，且满足，
求的取值范围.
【解析】（1） ----3分
由得，，在区间内的解集为.
----6分
（2）由正弦定理， ， ----8分
即，由于，所以，---10分
于是，，，. ---14分

5、已知函数，,,,它们的最小正周期为。
（1）若是奇函数，求和在上的公共递减区间；
（2）若的一个零点为，求的最大值；
【解析】（1）由，得， …………………………………2分
又是奇函数，所以， ……………………………………3分
在上，的递减区间是，…………………5分
的递减区间是，…………………………………6分
所以。……………………………………………………7分
（2），
把点代入得， 即，…8分
所以，得， ………10分
所以………13分
因而。……………………14分

6、设常数，函数
（1） 若为奇函数，求的值；
（2） 若，求方程在区间上的解。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为为奇函数，所以，……………………2分
即，
即，所以 ．………6分
（2）因为，即 ，解得 ．………………2分
所以，即 ，
即，．…………………4分
设 ，即 ．……………………………5分
因为，则得 ，所以 或或，
解得 或或．………………………………………………8分

7、已知向量，（，），令
（）.
（1）化简，并求当时方程的解集；
（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.
【解析】（1） 2分

2 分
2分
2分
不写集合扣2分，不写扣1分
（2）
2分
所以 2分
所以 2分
（注意集合运算符号错扣1分，例如 这样的是错的）

8、已知函数
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）若在区间上有两个解，求的取值范围及的值。
【答案】（1）（2）
【解析】(1) ;
（3）数形结合， ，


9、已知函数，其中常数；
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)因为，根据题意有
(2)，
或，
即的零点相离间隔依次为和，
故若在上至少含有30个零点，则的最小值
为.


笔耕不辍
1、反正弦函数
（1）定义：函数的反函数叫做反正弦函数，记．
（2）图像

（3）性质
①定义域：． ②值域：．
③奇偶性：奇函数． ④单调性：单调递增．
2、反余弦函数
（1）定义：函数的反函数叫做反余弦函数，记作．
（2）图像

（3）性质
①定义域：． ②值域：．
③奇偶性：非奇非偶函数． ④单调性：单调递减．


3、反正切函数
（1）定义：函数的反函数叫做反正切函数，记作．
（2）图像

（3）性质
①定义域：． ②值域：．
③奇偶性：奇函数． ④单调性：单调递增．
⑤渐近线：．
【总结】：

4、常用结论
（1）（2）
（3）（4）
5、最简三角方程

6、常见的三角方程
（1）：，．
（2）：
，．
（3）（或）：
换元，（或），求解，
再根据最简三角方程求解．
（4）式中同时出现且无其它项：可在时同时除以．
例：，
∵时，不满足方程，
∴原方程．求解，再根据最简三角方程求解．