第22讲-数学归纳法、数列极限与无穷等比数列求和-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第22讲-数学归纳法、数列极限与无穷等比数列求和（解析版）                    学习目标：1、掌握数列极限的运算法则及基本类型的数列求极限问题；
2、掌握无穷等比数列各项和3、掌握数学归纳法的证明步骤及简单运用                                                                          教学内容1、函数，数列满足，，且时，，求该数列的通项公式.【答案】.【解析】观察函数，发现该函数关于点对称，即，那么.从而我们可以将数列倒着写一遍，即，与原有的相加可得：，从而得到：，接下来验证时也满足此通项.2、已知数列的前项和为，且（）．设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．【答案】.【解析】则 ∵对任意均有成立，                                   ∴，所以的最小值为 .  科赫雪花：1904年，瑞典数学家科赫提出了一种图形：将一个正三角形的每条边平分为三份，再以每条边中间的一份为边，向外做正三角形，这个过程称为一次迭代。经过一次迭代，正三角形变为了12条边。我们再将每条边平分成三份，向外做更小的正三角形，称为二次迭代。然后不停地重复这个过程，直到无限次迭代，就形成了科赫雪花。     科赫雪花面积是有限的具体来讲：最初的正三角形有三条边，迭代时每一条边都会变为4条边，所以经过N-1次迭代之后总边数为 进行第N次迭代时，雪花的每条边都会向外凸起，形成新的小三角形。设最初的三角形面积为1，每次迭代构造的小三角形边长为原来三角形的1/3，面积是原来三角形的1/9，所以进行第N次迭代时，生成的每个小三角形面积为：所以，第N次迭代增加的所有小三角总面积为：于是经过无限次迭代，可以利用等比数列求和得到雪花的总面积为总面积比原来增加了60%。      知识点一：极限的概念与基本极限知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限记作．（注：不一定是中的项）2 几个重要极限：（1）                     （2）（C是常数）（3）（4）3．极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；   例题精讲例1、求下列极限：； 【答案】2解析： 例2、已知数列和都是公差不为0的等差数列，且，是数列的前项和，则      。【答案】1【解析】利用等差数列的通项一次函数性质，前项和的二次函数性质例3、设正数满足, 则（  ）A．0        B．        C．        D．1【答案】B【解析】 例4、已知R且，若，求实数k的取值范围。【答案】【解析】当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当或时，由，得：，解得：；综上，实数k的取值范围是。 巩固练习1、求下列极限（1）（）； 【答案】 知识点二：极限的运算法则知识梳理数列极限的运算法则:如果那么　　　　   例题精讲例1、已知，求。【答案】6【解析】。 例2、已知，，求。【解】设，所以，解得：，所以。例3、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试研究数列各项值的奇偶性，并用数字归纳法证明你的结论；（Ⅲ）求的值．【类型】数学归纳法与二项式定理综合【解析】（Ⅰ） ∴（Ⅱ）由计算可知：都是奇数，因此猜想数列各项的值都是奇数．下面用数学归纳法证明：①当时，可算得是奇数，故命题成立②假设当时，是奇数，则当时，∵，∴又∵是奇数，是偶数，∴也是奇数，∴当时，命题也成立，综上①、②知，数列各项的值都是奇数．（Ⅲ）由∴即的值为． 巩固练习1.若等比数列的前项和为，公比为，集合，则用列举法表示         ．【答案】【解析】若，则，若，则，所以．2.已知：，，求的值．【提示】易忽略极限运算法则应用的前提条件，各个数列均有极限，但题目中指明存在．【答案】使用“整体思想法”：设则得，解得．   知识点三：无穷等比数列各项和知识梳理无穷等比数列：把公比q满足的无穷等比数列的前n项和，当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S表示，即。   例题精讲例1、若数列的通项公式是, 则等于A          B         C         D【答案】C【解析】即∴ 例2、已知无穷等比数列各项和为,且,若,则的最小值为_____.【答案】【解析】题意可得则（舍去前者）则,得到最小为 例3、一个无穷等比数列的每一项都等于它以后各项和的k倍，求实数k的取值范围。【答案】【解析】由题意得：，即，解得：，因为，所以，解得：实数k的取值范围是。巩固练习1、设首项为1，公比为q（且）的等比数列的前n项和为，记，求。【答案】【解析】（1）当时，，则；（2）当且且时，，， 1°若且，则； 2°若，则；综上，。 知识点四：极限综合知识梳理极限问题常与解析几何、数列、函数综合进行考察。 例题精讲例1、已知且，则___________.【答案】【解析】令得，则例2、（2020黄浦二模15）已知、是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是（    ）【A】单调递增数列且             【B】单调递减数列且【C】单调递增数列且             【D】单调递减数列且【答案】A【解析】设，，则，，则，故单调递增数列且，选A例3、（2020闵行二模9）已知直线，斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，过做轴的平行线，交于点，过做轴的平行线，交于点，再过做轴的平行线，交于点，，这样一次得线段记为点的横坐标，则_________【答案】【解析】设由题可知设,则       巩固练习1、设有△，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△，再作△的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△（），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（    ）A.  等边三角形     B.  直角三角形      C.  与原三角形相似      D. 以上均不对【答案】A【解析】，，如右图，所以，在利用在同圆中，同一弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得：，以此类推，当时，，故为等边三角形.  知识点五：数学归纳法知识梳理一、归纳法：由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。仅仅考察部分特例而得出一般性的结论（所得结论不一定正确），这种归纳推理的方法叫做不完全归纳法。逐个考察某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论（所得结论一定正确）的推理方法叫做完全归纳法。二、数学归纳法：数学归纳法是证明“与正整数n有关的数学命题”的一种有效推理方法，它的步骤是：1、证明当（为初始值）时，命题成立（奠基步）；2、假设当（，N*）时命题成立，由此得到当时命题也成立（假设递推步）；在完成了以上两个步骤之后，就可以推断这个命题对于任意的正整数都成立。【注】① 数学归纳法的适用范围仅限于有关正整数的命题，对所有整数、有理数、无理数和实数等无效；② 数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步的假设是递推的根据，且在第二步必须用到假设。 例题精讲例1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)A．1项   B．k项C．2k－1项   D．2k项答案　D解析　令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.故左边增加了2k项． 例2.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案　D解析　等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2. 例3.若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，则通过计算c1，c2，c3的值，推测cn等于(　　)A.   B.C.   D.答案　A解析　c1＝2(1－a1)＝2×＝，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2××＝，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×××＝，故由归纳推理得cn＝. 例4、已知数列各项均为正数，为其前项的和，且，，成等差数列.(1)写出、、的值，猜想数列的通项公式；(2)证明你在(1)中猜想的结论；(3)设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.【答案】(1) ，，，猜想  (2)证明略  (3) 或【解析】(1)，，成等差数列  分别令，有  又各项均为正数解得，，  因此猜想的通项公式为(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论：①当时，符合结论；②假设当时，有，则则  即 又各项均为正数  即当时也满足结论综上所述，(1)中猜想的结论的通项公式为成立(3)依题意得：则对于任意都有使其成立化简得：      又  当时，成立；当时，有化简得：  又在时取得最大值  又  或  经检验得：或都符合条件 巩固练习1、已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.(1) 若，，（），求数列的前项和；(2) 若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）；（2）略.【解析】（1），所以.两式相减得，即  所以，即，又，所以，得 因此数列为以2为首项，2为公比的等比数列.，前n项和为 （2）当n=2时，，所以.又；可以解得，所以，，两式相减得即.猜想，下面用数学归纳法证明：①当n=1或2时，，，猜想成立；②假设当（）时，  成立则当时，猜想成立.由①、②可知，对任意正整数n，. 所以为常数，所以数列是等差数列  1、若二项式展开式的第项的值为，则  ．【答案】【解析】，2、设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则             ． 【答案】：【解析】：的判别式为零，，3、已知数列满足：，且若则___________.  【答案】1009【解析】4、已知是公比为的等比数列的前项和，若对于任意的，都有成立，则=______________.【答案】【解析】，该式有极限，则且极限于0，则等价于，整理得，解得5、对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（    ）A.             B.             C.              D. 【答案】A【解析】由题意，，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，选A．6、对于下列数列的排列                          2，3，4                          3，4，5，6，7                          4，5，6，7，8，9，10                          …… 写出并证明第行数中所有数的和与的关系式解：由题意可知于是猜想当时，所以当时，命题成立设当时命题成立，即 当时，故当时，命题成立以对于任何的正整数，。 7、如果数列满足，那么就称为数列的“偏差数列”．（1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且为数列的“偏差数列”，求的值；（3）设为数列的“偏差数列”，且，若对任意恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）不一定（2）或（3）【解析】（1）如，则为常数列，但不是等差数列（2）设数列的公比为，由题意，均为正整数或当时，，当时，，综上，的值为或（3）由题意，，因为且，所以累加得当为奇，，单调递增且，当为偶，，单调递减且，          笔耕不辍