江西省吉安市六校联谊2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷（含解析）

江西省吉安市六校联谊2021-2022学年九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 计算的结果为

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.
 

4. 为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“其它”类统计．图与图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．以下结论不正确的是

A. 由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有人
B. 若该年级共有名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有人
C. 这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数
D. 在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为

5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，折叠平行四边形，使折痕经过点，交边于点，点落在的延长线上点处，点落在点处，得到四边形若▱的面积是，则下列结论中正确的是

A. 四边形不是平行四边形
B.
C. 设四边形的面积为，四边形的面积为，则与的函数关系式是
D. 若，则点到的距离为

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 计算：______．
8. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为______．
9. 已知，，则 ______ ．
10. 在中，若，则的度数是______ ．
11. 如图，在矩形中，，，为上一点，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，若，则图中的阴影部分面积为______ 结果保留．
12. 菱形中，，点在对角线上，，是菱形上一点，若是以为直角边的直角三角形，则的值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 解方程：；
    计算：．
14. 若关于的不等式组有解，且使得关于的分式方程有非负整数解，求所有的整数的和．
15. 一个不透明的袋子里装有编号分别为，，的球除编号以外，其余都相同，其中号球个，号球个，从中随机摸出个球是号球的概率为．

求袋子里号球的个数；

甲、乙两人分别从袋中摸出个球不放回，甲摸出球的编号记为，乙摸出球的编号记为，用列表法求点在直线下方的概率．

16. 在中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    如图，点在以为直径的半圆内，作边的高；
    如图，点在以为直径的半圆外，、分别交半圆于、，以为斜边作一个等腰直角三角形．

17. 如图矩形中，过，两点的切于，交于，于，连接．
    求证：；
    若，求的长．
    
     

18. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．
    经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？
    浮出水面秒后，盛水筒距离水面多高？
    若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．
    参考数据：，，

19. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进，两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比型汽车的进货单价多万元花万元购进型汽车的数量与花万元购进型汽车的数量相同，销售中发现型汽车的每周销量台与售价万元台满足函数关系式，型汽车的每周销量台与售价万元台满足函数关系式．
    求、两种型号的汽车的进货单价；
    已知型汽车的售价比型汽车的售价高万元台，设型汽车售价为万元台．每周销售这两种车的总利润为万元，求与的函数关系式，、两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
20. 暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩得分取整数，满分为分，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
    
    其中组的频数比组的频数小请根据以上信息，解答下列问题：
    本次共抽取______ 名学生，的值为______ ；
    在扇形统计图中， ______ ，组所占比例为______ ；
    补全频数分布直方图；
    若全校共有名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在分以上的学生人数．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限，纵坐标为，点在第三象限，轴，垂足为点，．
    求反比例函数和一次函数的解析式．
    连接，，求四边形的面积．

22. 如图，中，，，、分别在、上，．
    如图，连、，求证：；
    如图，过点作交于点，求证：．
    如图，若，求证：．

23. 已知轴上有一个点，现操作如下：若将点关于点对称得到点，将点关于点对称得到点；将点关于点对称得到点把经过点，的抛物线记作，其顶点记为；把经过，的抛物线记作，其顶点记为；；把经过点，的抛物线记作，其顶点记为为正整数．
    填空：______，______用含的代数式表示
    若这组抛物线，，，，的开口都向上，且，，均是直角三角形．
    请求出二次函数，的解析式用表示．
    请直接写出直线与抛物线，，，，共有个交点时，的取值范围．
    若抛物线的顶点，，，，依次是直线上的点，是否存在是等边三角形？若存在，请求出此时的值和的值；若不存在，说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据负数的绝对值是其相反数即可求解．
本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握绝对值的性质．
 

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．
除法转化为乘法，再约分即可得．
【解答】
解：原式 ，
故选： ．   

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查简单几何体的俯视图，理解视图的意义是正确判断的前提，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的关键．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形，结合各个选项中图形进行判断即可．
【解答】
解：从上面看该几何体，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此所看到的图形与选项 A 中的图形相同，
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：、喜欢“其它”类的人数为：人，扇形图中所占比例为：，
样本总数为：人，
喜好“科普常识”的学生有：人，故此选项不符合题意；
B、若该年级共有名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有：人，故此选项不符合题意；
C、喜好“小说”的人数为：人，故此选项错误符合题意；
D、“漫画”所在扇形的圆心角为：，故此选项不符合题意．
故选：．
首先根据“其它”类所占比例以及人数，进而求出总人数，即可得出喜好“科普常识”的学生人数，再利用样本估计总体得出该年级喜爱“科普常识”的学生总数，进而得出喜好“小说”的人数，以及“漫画”所在扇形的圆心角．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

5.【答案】

【解析】解：、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能；
B、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，不可能；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，可能；
D、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能．
故选：．
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由折叠知：，，
平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，故B错误；
，
四边形是平行四边形，故A错误；
四边形的面积为，
，
，故C正确；
设点到的距离为，
，
，
，
，
故D错误，
故选：．
由折叠知：，，可证，再通过证，，可得四边形是平行四边形，通过面积转化可判断和的正确性．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、翻折的性质、以及图形面积表示等知识，抓住等腰是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

9.【答案】

【解析】解：原式
，
，，
原式

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用因式分解将代数式化简是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意可知：
，，
，，
，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质可得，，再根据特殊角三角函数值即可求出结果．
本题考查了特殊角三角函数值，非负数的性质，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值．
 

11.【答案】

【解析】解：连接，
是矩形，
，，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
故答案为：．
由矩形和含直角三角形的性质求出的度数和的长度，由勾股定理求出，再求出矩形的面积，扇形的面积，三角形的面积，最后根据面积的和差即可求出阴影部分面积．
本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据等腰三角形的性质求出和根据勾股定理求出是解决问题的关键．
 

12.【答案】或或

【解析】解：分三种情况：
当点在边上时，如图，

四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
；
当点在边上时，如图，

，，
，
，
，，
≌，
，，
、两点重合，，
；
当点在边上时，设交于点，连接、、，如图，

四边形是菱形，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在中，设，则，
，，
．
综上所述，或或．
故答案为：或或．
分三种情况：当点在边上时，如图，利用菱形的性质和三角形的外角性质可得，进而可得结果：当点在边上时，如图，利用菱形的性质和可证≌，进一步即可推出，于是可得结果；当点在边上时，设交于点，连接、、，如图，利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形是正方形，根据菱形的性质易得是底角为的等腰三角形，进而可得，即得，在中，设，则，则、可用含的代数式表示，于是可得答案．
此题是填空题的压轴题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，综合性强，有一定难度，利用分类讨论思想，正确添加辅助线，掌握菱形和正方形的判定与性质是解题关键．
 

13.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
原式

．

【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
根据负整数指数、零指数幂的意义、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

14.【答案】解：整理不等式组，得，
不等式组有解，
不等式组的解集为，
即，
解得．
化简分式方程，得，
解得，
由题意知，分式方程有意义，
，
，即，
分式方程有非负整数解，
是的非负整数倍，
或
或，
所有的整数的和为．

【解析】解不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围．解分式方程，用含的代数式表示出，根据分式方程有非负整数解求出，即可得出答案．
本题考查一元一次不等式组的解法、分式方程的解，解决本题的关键是确定的取值范围．
 

15.【答案】解：设袋子里号球的个数为个．
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
袋子里号球的个数为个．
列表得：

共有种等可能的结果，点在直线下方的有，，，，，，，，，，，共种，
点在直线下方的概率为：．

【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．
首先设袋子里号球的个数为个．根据题意得：，解此方程即可求得答案；
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点在直线下方的情况，再利用概率公式即可求得答案．
 

16.【答案】解：如图中，线段即为所求．
如图中，即为所求．
 

【解析】延长交为直径的半圆于点，连接，线段即为所求．
连接，交于点，作直线交半圆于点，连接，，即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是利用圆周角定理，等腰三角形的有关性质解决问题．
 

17.【答案】证明：切于，
．
为矩形，
，
．
，
，
．

解：切于，
．
，
，
．
．

【解析】根据弦切角定理得到，根据等角的余角相等得到，从而根据等量代换进行证明；
根据切割线定理，计算得到的长，再进一步计算的长．
综合运用了弦切角定理、切割线定理以及等角的余角相等的性质．
 

18.【答案】解：如图，连接，

由题意知，筒车每秒旋转，
在中，
，
，
盛水筒首次到达最高点的时间：秒；
如图，

盛水筒浮出水面秒后，，
，
过点作于，
在中，
米，
盛水筒距离水面距离为：米；
如图，

点在上，且与相切，
当点在上时，此时点是切点，连接，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
秒，
至少经过秒恰好在直线上．

【解析】连接，根据，得，可得答案；
根据题意知，，得，过点作于，利用三角函数求出的长；
由题意知，利用，得，在中，根据，得，从而得出答案．
本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数等知识，根据题意，构造合适的直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：设种型号的汽车的进货单价为万元，
依题意得：，
解得：，
检验：时，，，
故是原分式方程的解，
故．
答：种型号的汽车的进货单价为万元，种型号的汽车的进货单价为万元；
根据题意得出：

，
，
，抛物线开口向下，
当时，有最大值为，
，
答：种型号的汽车售价为万元台，种型号的汽车售价为万元台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是万元．

【解析】利用花万元购进型汽车的数量与花万元购进型汽车的数量相等，进而得出等式求出即可；
分别表示出两种汽车的利润进而得出函数关系式求出最值即可．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值的求法，得出与的函数关系式是解题关键．
 

20.【答案】  ；
  ；
人，
“组”频数为：人，
“组”频数为：人，
补全频数分布直方图如图所示：

人，
答：估计成绩在分以上的学生人数大约为人．

【解析】解：组的频数比组的频数小，组的频率比组的频率小，
因此调查人数为：人，
人，
故答案为：，；
，即，
“组”所占的百分比为，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

组的频数比组的频数小，而组的频频率比组的频率小，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出的值即可；
求出“组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“组”所占的百分比；
求出的值，“组”频数以及“组”频数即可；
求出样本中成绩在分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在分以上的学生人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
则，得，
反比例函数的解析式为，
点的纵坐标是，
，得，
点的坐标为，
一次函数的图象过点、点，
，解得，
即一次函数的解析式为；
与轴交于点，
点的坐标为，
点，点，
，
轴，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积是：．

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
根据中的函数解析式可以求得点，从而可以求得四边形是平行四边形，根据面积公式即可求得．
 

22.【答案】证明：如图，等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
∽，
，
，
；

如图，在上取一点，使，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
即；

如图，，
，
，
由得：，
，
∽，
，
，
设，，
过作交于点，
由得：，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接，则，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．

【解析】先证明≌，得，，再证明∽，得比例式可得结论；
如图，作辅助线，构建等边三角形，再证明∽，得，由平行线分线段成比例定理得：，从而得出；
如图，证明∽，得，设，，作辅助线，构建平行线，由平行线分线段成比例式定理得：，取的中点，连接，证明，根据≌，得，相加可得：，从而得垂直．
本题是三角形的综合题，考查了全等、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，解题的关键在于作出相关辅助线，利用角和边的关系进行解答．
 

23.【答案】 

【解析】解：将点关于点对称得到点，，
，
，
将点关于点对称得到点．
．
，
，．
故答案为：，；

，，，
，．
，，均是直角三角形．
由抛物线的对称性可得，，
设抛物线，，
将，分别代入，得，，
解得：，，
，；
直线与抛物线，，，，共有个交点，
如图：

直线与抛物线，，，，共有个交点，
，，
，解得，
，
，即的取值范围为；

存在．
是直线上的点，
，
由，，可知，
对分两种情况讨论：
当为偶数时， ， ，
，
是等边三角形，
，即，
为正整数，且，
，；
当为奇数时， ， ，
，
是等边三角形，
，即，
为正整数，且，
，；
综上，存在，，或，．
根据对称得出，，根据两点的距离公式即可求解；
根据直角三角形的性质以及抛物线的对称性可得，，利用待定系数法即可求出二次函数，的解析式；
画出图形，根据题意可得直线与抛物线，，，，共有个交点，可得，解得，由，即可得的取值范围为；
是等边三角形时，可得，分两种情况：当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可．
本题是二次函数综合题，考查轴对称，直角三角形的性质以及抛物线的对称性，待定系数法求二次函数，等边三角形的性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．