江西省吉安市永丰县恩江中学2021-2022学年九年级（下）第一次段考数学试卷（含解析）

江西省吉安市永丰县恩江中学2021-2022学年九年级（下）第一次段考数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛某参赛小组名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，关于这组数据，下列说法错误的是

A. 众数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 平均数是

5. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

6. 小明从图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
   ；；；；，
   你认为其中正确信息的个数有

1. 个
   B. 个
   C. 个
   D. 个

二．填空题（本题共6小题，共18分）

7. 国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口万人．将万用科学记数法表示为______．
8. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
9. ，是一元二次方程的两根，则______．
10. 因式分解：______．
11. 如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则 ______ ．

12. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点在直线上，，点是轴上一动点，若，则点的坐标是______．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

13. 计算：．
    先化简再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共76分）

14. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

15. 北京将于年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．
    
    小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是______；
    小亮从中随机抽取一张邮票不放回，再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．这三张邮票依次分别用字母，，表示
    
    
    
    
    
    
     
16. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买型、型两种型号的放大镜．若购买个型放大镜和个型放大镜需用元；若购买个型放大镜和个型放大镜需用元．
    求每个型放大镜和每个型放大镜各多少元；
    春平中学决定购买型放大镜和型放大镜共个，总费用不超过元，那么最多可以购买多少个型放大镜？
    
    
    
    
    
    
     
17. 为庆祝中国共产党建党周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
     

本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ______ ；
补全学生成绩频数分布直方图；
所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
若成绩在分及以上为优秀，全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？






 

18. 如图是一盏台灯，它可以灵活调节高度，图、图是它的抽象示意图，其中是桌面，底座始终垂直，点，，处可转动，始终平行桌面现测得，，．
    如图，当与垂直，时，求点到桌面的距离．结果精确到
    如图，将中的绕点逆时针旋转，使得，当点到桌面的距离为时，求的大小．结果精确到参考数据：，，，，

19. 在平面直角坐标原中，已知四边形是菱形，，若反比例函数的图象经过菱形对角线，的交点，设直线的解析式为．
    求反比例函数解析式；
    求直线的解析式；
    请结合图象直接写出不等式的解集．

20. 如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于．
    求证：是圆的切线：
    若，，求的长．

21. 已知抛物线：
    当时，
    抛物线的顶点坐标为______．
    将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为______．
    无论为何值，直线与抛物线相交所得的线段点在点左侧的长度都不变，求的值和的长；
    在的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．

22. 在中，，，，点关于直线的对称点为点，连接，点为直线上的动点不与点重合，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
    问题发现
    如图，当点在线段上时，线段与的数量关系为______，______；
    拓展探究
    如图，当点在的延长线上时，中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
    问题解决
    当时，求线段的长度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义即可得出答案．
本题考查了倒数，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆．
故选：．
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，解题时要注意俯视图是从上边看得到的图形．
 

3.【答案】

【解析】

解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

4.【答案】

【解析】

解：将数据重新排列为，，，，，，
A、数据的众数为，此选项正确，不符合题意；
B、数据的中位数为，此选项正确，不符合题意；
C、数据的平均数为，
所以方差为，此选项错误，符合题意；
D、由选项知此选项正确；
故选：．
根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
 

5.【答案】

【解析】

解：如图：

四边形是菱形，
，，
，
，，
为的斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故选：．
先根据菱形的性质得，，，则利用得到，，所以为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用等角的余角相等即可求出的度数．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

6.【答案】

【解析】

解：抛物线开口方向向上，
，
与轴交点在轴的下方，
，
，
，
，
，
，
是正确的，
对称轴，
，
，
是错误的；
当，，
而点在第二象限，
是正确的；
当时，，
而点在第一象限，
．
故选：．
观察图象易得，，所以，，因此，由此可以判定是正确的，而是错误的；
当，，由点在第二象限可以判定是正确的；
当时，，由点在第一象限可以判定是正确的．
本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质．
 

7.【答案】

【解析】

解：万，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

8.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

9.【答案】

【解析】

解：根据题意得，，
则．
故答案为．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】

【解析】

解：

，
故答案为：．
先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

11.【答案】

【解析】

解：，是边的中点，，
，
，
，
又四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
故答案为：．
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长，再根据矩形的性质得出，，然后解直角三角形即可．
本题考查了矩形的性质直角三角形斜边上的中线以及解直角三角形，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出的长．
 

12.【答案】

或或
 

【解析】

解：，两点的坐标分别为，
轴，
点在直线上，
，
设点，则，
如图，当点在处时，，，
，
，
，即，
解得：或，
或；
如图，当点在处时，，，
，
，
，即，
解得：，
；
综上所述：点的坐标为或或，
故答案为：或或．
先由已知得出，，然后由点的位置分类讨论，再设点，从而根据勾股定理列出方程，求出每种情况下点的坐标．
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角画出图形，找到对应的点个数．
 

13.【答案】

解：


；



，
当时，
原式．
 

【解析】

利用绝对值的意义，零次幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义进行计算即可得出结果；
先把分式进行计算化简，再把代入即可求出结果．
本题考查了分式的化简求值，掌握绝对值的意义，零次幂的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义及分式的化简是解题的关键．
 

14.【答案】

解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，

 

【解析】

分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：小亮从中随机抽取一张邮票是“冬奥会会徽”的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有种，
抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】

解：设每个型放大镜和每个型放大镜分别为元，元，可得：，
解得：，
答：每个型放大镜和每个型放大镜分别为元，元；
设购买型放大镜个，根据题意可得：，
解得：，
答：最多可以购买个型放大镜．
 

【解析】

设每个型放大镜和每个型放大镜分别为元，元，列出方程组即可解决问题；
由题意列出不等式求出即可解决问题．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
 

17.【答案】

；   
等级人数为，
补全学生成绩频数分布直方图如下：


估计成绩优秀的学生有人．
 

【解析】

解：一共调查学生人数为，等级人数，
故答案为：，；
见答案；
由于一共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据都落在等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：．
见答案

由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以等级对应百分比可得的值；
总人数乘以等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】

解：如图，过点作于点，过点作于点，

，，
点，，三点共线，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
点到桌面的距离约为；
如图，过点作于点，过点作，垂足为，过点作于点，则

四边形为矩形，，，三点共线，
，，
，
，，
，
点到桌面的距离为，，
，
，
在中，，
，
．
 

【解析】

利用辅助线构造矩形，从而得到和，即可求解；
利用辅助线构造和，利用得到，再利用得出，即可求解．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是利用辅助线构造直角三角形．
 

19.【答案】

解：过作于，过作于，则，
∽，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数解析式为；

设，则，
四边形是菱形，
，
在中，，
，
解得：，
，
把，的坐标代入，得，
解得：，
直线的解析式为；

解方程组，得，，
，，
不等式的解集为或．
 

【解析】

过作于，过作于，则，根据相似三角形的性质得到，，根据菱形的性质得到，求得，于是得到反比例函数解析式为；
设，则，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，把，的坐标代入即可得到直线的解析式为；
解方程组求得，，于是得到不等式的解集为或．
本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】

证明：
连接，
由题可知，
为直径，
，
点是的中点，
，
，
又，，
，
和是圆的半径，
，
，
即，
故：是的切线．
由可知，
在中，，
，
又在和中有：，，
，
，即，
求得，
，
故：长为．
 

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由线段之间的关系推出角的关系，再利用圆的切线判定定理求证即可；
利用相似三角形的对应边成比例，求得目标线段的长度．
本题主要考查圆的切线的判定，以及相似三角形的性质，其解题突破口是理清各个角之间的关系．
 

21.【答案】

【解析】

解：，
，
抛物线的顶点为，
故答案为：；
设抛物线上任意一点，
则点关于轴对称的点为，
，
抛物线的解析式为，
故答案为：；
，
抛物线经过定点，
当时，的长度不变，
当时，，
解得或，
，，
；
存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设抛物线抛物线上任意一点，
点关于的对称点为，
，
抛物线的解析式为，
，
，
，
，
与为正方形的对角线，
、关于对称，
，
，
，
．
由题意可得抛物线解析式为，即可求解；
设抛物线上任意一点，则点关于轴对称的点为，将点代入即可求解；
由抛物线经过定点，可得当时，的长度不变；
设抛物线抛物线上任意一点，点关于的对称点为，将点代入，可求抛物线的解析式为，分别求出，，再由，，可得，求出的值即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形翻折的性质，正方形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】

相等 
 

【解析】

解：在中，，，，点关于直线的对称点为，则，．
，
是等边三角形，
．
，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，，
故答案为：相等；；
成立，证明如下：
如图，连接，

是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，
是等边三角形，
，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，连接，

在中，，，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
若点在线段的延长线上，如图，连接，

，，
，
，
，
，
，
；
综上所述：或．
首先推知，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
如图，连接，根据等边三角形的性质得到，由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
分两种情况讨论，由知，，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等知识，正确作出图形是解题的关键．