2021-2022学年江西省吉安市永丰县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省吉安市永丰县九年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，直线，，，则

A.
B.
C.
D.

4. 某校有名学生，随机抽取了名学生进行体重调查，下列说法错误的是

A. 总体是该校名学生的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的名学生的体重 D. 样本容量是

5. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

6. 二次函数的图象如图，给出下列列结论：
   ．
   其中，正确结论的结论是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 地球上的海洋面积约为，用科学记数法表示应为______ ．
8. 若，则的值为______ ．
9. 已知两个相似多边形的周长比为：，它们的面积和为，则较小多边形的面积是______．
10. 关于的方程有两实数根，且，则的值为______．
11. 如图，点，，分别在正方形的边，，上，若，，则 ______ ．
    
    
     

12. 如图，在矩形中，，，点在边上运动，将沿翻折，使点落在点处，若有两条边存在倍的数量关系，则点到的距离是______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）

13. 计算：．
14. 如图，分别以的边、向外作等边和等边，直线与直线相交于点求证：．
     

15. 先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数求值．
16. 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
    随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为负数的概率等于______；
    先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在直线上的概率．
17. 如图，已知菱形，请仅用无刻度直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
    如图，点，分别是，的中点，以为边画一矩形；
    如图，点是对角线上的点，，，以为边画一个正方形．

18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．

19. 如表是年三月份某居民小区随机抽取户居民的用水情况：

______，补全图中三月份用水量的条形统计图；
根据上表中的有关信息，分别写出众数______，中位数______．
为了倡导节约用水的常识，自来水公司实行“梯级用水，分类计费”，价格表如下：

如果该小区有户家庭，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
按上表收费，如果某用户本月交水费元，请问该用户本月用水多少吨？

20. 某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多元，用元购买款保温杯的数量与用元购买款保温杯的数量相同．
    、两款保温杯的销售单价各是多少元？
    由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
21. 小明在学校阅览室看到如图所示的一个报刊支架，图为它的侧面示意图，已知，．
    如图，挂在处报纸的垂落长度是，为了摆放的整齐和美观，要求报纸与地面的距离至少为，通过计算说明该报纸挂在点处是否合理？
    如图，小明站在报刊支架前的点处观察报刊支架点、、在同一水平线上，测得，小明的眼睛到地面的高度为，当小明的视线恰好落在点处时，求的度数．结果精确到参考数据：，，，，，，，，

22. 如图，与等边的边，分别交于点，，是直径，过点作于点．
    求证：是的切线；
    连接，当是的切线时，求的半径与等边的边长之间的数量关系．
    
    
     

23. 如图，若抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线经过点，．
    求抛物线的解析式；
    点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，连接．
    线段是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
    在点运动的过程中，是否存在点，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

24. 已知，如图，图，在等腰三角形中，平面内任意一点，连接，点是的中点．的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，且若，是射线上的两个动点点在点的左侧，，点始终是的中点，连接，，，，四边形是平行四边形．
    【感知探究一】
    如图，当点在线段上时，与的位置关系为______，与的数量关系为______；
    【感知探究二】
    如图，当点不在射线上时，连接，试问与的数量关系和位置关系怎样？请说明理由；
    【应用升华】
    如图，在中，于点，于点，，，连接，点是中点，连接，若，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：

故选：．
根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是画三视图的前提，理解能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据“两直线平行，内错角相等”，再根据三角形的外角定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形外角定理是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：总体是该校名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；
B.个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；
C.样本是抽取的名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；
D.样本容量是，说法正确，故D不符合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】

【解析】解：延长、交于，

四边形是的内接四边形，
，
，
，，
，
，
，，，，
设，则，，
，，
，，，
，
，
解得：，
即，
故选：．
延长、交于，根据圆内接四边形的性质得出，求出，，，根据直角三角形的性质得出，，，，设，则，，求出，，，根据得出，求出，再求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能构造出直角三角形是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
 

6.【答案】

【解析】解：由图象可得时，，
，正确．
抛物线开口向下，
，
由抛物线对称轴的位置可得，
，即，正确．
设抛物线与轴的交点为，，则，
由图象不能判断与的大小关系，
与的大小关系不能确定，错误．
时，，，
，
，，
，，，
，正确．
故选：．
由是判断，由抛物线开口方向可得，由抛物线对称轴位置可得，从而判断，由一元二次方程根与系数的关系可得，从而判断，由，及，，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
 

7.【答案】

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

8.【答案】

【解析】解：，




，
故答案为：．
把变形，将代入即可得答案．
本题考查整式的变形及整体代入求值，解题的关键是用平方差公式变形．
 

9.【答案】

【解析】解：两个相似多边形的周长比为：，
两个相似多边形的面积比为：，
设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，
它们的面积和为，
，
，
较小多边形的面积是，
故答案为：．
根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为：，从而设设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，然后根据它们的面积和为，
列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：根据题意，得，
解得，
，，
，
解得舍或，
故答案为：．
根据题意可知判别式，求出的取值范围，再根据根与系数的关系可得，，根据完全平方公式可得列方程即可求出．
本题考查了一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，注意判别式大于等于这个隐含的条件．
 

11.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为．
由正方形的性质可得，，通过证明∽，可得，可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 

12.【答案】或

【解析】解：如图，连接交于点，作于点，则，
四边形是矩形，，，
，，
点在边上运动，，
，
不存在的情况；
当点与点重合时，最大，此时，
，
，
不存在的情况；
当时，则，
，
由翻折得垂直平分，，
四边形，
，
，
，
，
，
；
当时，则，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
综上所述，点到的距离为或，
故答案为：或．
连接交于点，作于点，先由点在边上运动证明不存在和的情况，这样还存在两种情况，一是时，则，先求出，再根据面积等式列方程求得，再证明，则，可求得；二是时，则，所以，则，于是得是等边三角形，则，，所以，得．
此题考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】证明：在等边和等边中，
，，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．

【解析】根据等边三角形的性质，可得，，，进一步即可证明≌，即可得证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

15.【答案】解：



，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：，，，，
，，
当时，原式．

【解析】先算除法，再算加法，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为负数的概率等于；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有个可能的结果，点在直线上有种，
则点在直线上的概率是．
由概率公式即可得出结果；
直接利用树状图法列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
 

17.【答案】解：如图中，矩形即为所求；
如图中，正方形即为所求．
 

【解析】连接，交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，连接，，，四边形即为所求；
连接交于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：将点代入，得：，
，
当时，，
，
将、代入，
得：，
解得，
；
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
在中，当时，，
解得，
，
设，
则，
，
，
解得或，
点的坐标为或．

【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
先根据点坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，继而根据点、坐标可得直线解析式；
先根据直线解析式求出点的坐标，再设，知，根据求出的值即可得出答案．
 

19.【答案】   

【解析】解：，
这户家庭三月份用电量的条形统计图：

故答案为；

根据题意可知，出现的次数最多，则众数为，
由表可知，共有个数据，则中位数为第、个的平均数，即为；
故答案为，；

小区三月份达到Ⅰ级标准的用户数：
户，
答：该小区三月份有户家庭在Ⅰ级标准；

，
该用户本月用水超过了吨，
设该用户本月用水吨，
，
解得，
答：该用户本月用水吨．
根据各用户数之和等于数据总和即可求出的值，根据表格数据补全统计图；
根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；
用达标的用户数除以总用户数，乘以即可；
设该用户本月用水吨，列方程，解答即可．
本题考查了条形统计图的应用和众数、中位数，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

20.【答案】解：设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：、两款保温杯的销售单价分别是元、元；
设购买款保温杯个，则购买款保温杯个，利润为元，
，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买款保温杯个，款保温杯个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元．

【解析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得、两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
根据题意可以得到利润与购买款保温杯数量的函数关系，然后根据款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，可以求得款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
 

21.【答案】解：过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
，
，
该报纸挂在点处不合理；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
由得：
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的度数为．

【解析】过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图所示：

，，
是等边三角形，
，
，
又，
，
，
即是的切线；
设半径为，等边的边长为，
由可知：，则，
在中，，，
，
，
又是的切线，
是直角三角形，且，，
，
，
解得：，
即，
的半径与等边的边长之间的数量关系为：．

【解析】连接，根据已知条件可推出是等边三角形，利用即可证明，进而即可知，即可求证；
用含有和的式子分别表示出和的长，根据列出等式即可找到与的数量关系．
本题考查圆切线的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握圆切线的判定与性质以及等边三角形性质，以及利用已知条件分别表示出和的长，根据列出等式是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：对于，令，，，，
故点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
设：点，则点，
有，理由：，
，故有最大值，当时，最大值为：；
存在，理由：
；
；
；
Ⅰ当时，则，
解得：或舍去，
故，故点；
Ⅱ当时，则，
解得：或舍去和，
故，则，
故点
综上，点的坐标为：或

【解析】由直线表达式求出点、的坐标，将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
根据即可求解；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图中，

，平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；

如图中，结论：，．
理由：连接．

四边形是平行四边形，
与互相平分，
，
点是的中点，
，，
，，
，
，
，，
；

如图中，延长交的延长线与点．

，，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明即可；
结论：，连接利用三角形中位线定理，平行四边形的性质证明即可；
如图中，延长交的延长线与点证明≌，推出，再证明，可得，解直角三角形求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．