2021-2022学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省吉安市永丰县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列四个数中，哪个数是不等式的一个解(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各图是一些常用图形的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在直角坐标系中，点向右平移个单位长度后的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如果不等式组恰有个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤：以为圆心，为半径画弧；步骤：以为圆心，为半径画弧，交弧于点；步骤：连接，交延长线于点下列叙述正确的是(    )

A. 垂直平分线段 B. 平分
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 与的和大于，用不等式表示为______．
8. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设________
9. 如图，将周长为的三角形沿边向右平移个单位，得到三角形，则四边形的周长为______．

10. 商家花费元购进某种水果千克，销售中有的水果正常损耗．为了避免亏本，售价至少应定为______元千克．
11. 如图，中，，，是的中点，于点，则的长为______．

12. 在中，，，是直线上异于，两点一动点，若为等腰三角形，则的长可以是______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 方程，当为负数时，求的取值范围．
    等腰，两条边长分别为，，求等腰的周长．
14. 解不等式组：，并将其解集表示在如图所示的数轴上．

15. 如图，在和中，，，为中点，，请用无刻度的直尺按下列要求画图保留画图痕迹，不写画法．
    在图中，作的平分线；
    在图中，作的中点．
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为请解答下列问题：
    画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标；
    画出于原点成中心对称的，并写出的坐标．

17. 已知方程组的解满足为非正数，为负数．
    求的取值范围；
    当为何整数时，不等式的解集为．
18. 如图，在中为的垂直平分线．
    如果，，试求的周长；
    如果：：，求的度数．

19. 同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”
    请写出它的逆命题______；
    应用：若学校有一块三角形的绿地，，，求绿地的面积？

20. 某服装店销售一批进价分别为元、元的、两款恤衫，下表中是近两天的销售情况：

进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
求、两款恤衫的销售单价；
若该服装店老板准备用不多于元的金额再购进这两款恤衫共件，求款恤衫最多能采购多少件？

21. 如图，等腰中，，，点在上，将绕点沿顺时针方向旋转后，得到．
    求的度数；
    若，，求的长．

22. 运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
    如图，在等腰三角形中，，边上的高为，是底边上的任意一点，点到腰、的距离分别为、请用面积法证明：；
    
    当点在延长线上时，、、之间的等量关系式是______；直接写出结论不必证明
    如图在平面直角坐标系中有两条直线：、：，若上的一点到的距离是，请运用、的结论求出点的坐标．
23. 如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且点从点出发，沿的方向以的速度运动，设运动的时间为当不与点重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，连结．
    求证：是等边三角形；
    如图，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；
    如图，当点在射线上运动时，是否存在以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为不等式的解集是，只有，
所以只有是不等式的一个解，
故选：．
根据不等式的解集是判断哪个数在其解集范围之内即可．
此题考查不等式解集的意义．解题的关键是掌握不等式的解集的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：平移后点的横坐标为，纵坐标不变为；
所以点向右平移个单位长度后的坐标为．
故选：．
让点的横坐标加，纵坐标不变即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选C．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

5.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为，如图，

由图象可知：不等式组恰有个整数解，
需要满足条件：．
故选C．
首先根据不等式组得出不等式组的解集为，再由恰好有个整数解可得的取值范围．
此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于中考常考题型．
根据已知条件可知直线是线段的垂直平分线，由此一一判定即可．
【解答】
解：、正确．如图连接、，

，，
点、点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．不一定平分．
C、错误．应该是．
D、错误．根据条件不一定等于．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：．
故答案为：．
根据题意得出大于，进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键．
 

8.【答案】一个三角形中有两个角是直角 

【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角是直角．
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或共线且相等．
利用平移的性质得到，，而，所以，然后计算四边形的周长．
【解答】
解：三角形沿边向右平移个单位，得到三角形，
，，
三角形的周长为，
，
，
四边形的周长．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：设商家把售价定为每千克元时恰好不亏本，
根据题意得：，
解得，，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克元．
故答案为：．
设商家把售价应该定为每千克元，因为销售中有的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为，根据题意列出一元一次方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价进价”列出方程即可求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
，为的中点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
连接，由已知和等腰三角形的性质得出与，再由勾股定理求出，最后由三角形的面积公式即可得出结果．
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积等知识，由勾股定理求出的长是解此题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，
，
若，则为的中点，如图，

，
若，且点在线段上，如图，

，

若，且在的延长线上，如图，

，
综上所述，的长可以是或或．
故答案为：或或．
分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
 

13.【答案】解：，
，
为负数，
．
解得：；
当等腰三角形的腰长为时，，不能组成三角形，不合题意，
等腰的腰长只能是，
等腰的周长为． 

【解析】依据题意列出不等式即可求解；
利用三角形的三边关系准确确定出腰长，再利用周长公式解答即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系准确确定出腰长是解题的关键．
 

14.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：如图，为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】延长交于，则证明，则根据等腰三角形的性质得到平分；
连接、，则、为三角形的中点的交点，然后根据三角形重心的性质得到点．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
 

16.【答案】解：如图所示：，即为所求，的坐标为：；

如图所示：，即为所求，的坐标为：． 

【解析】直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

17.【答案】解：解方程组得，
为非正数，为负数，
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为；
不等式，即的解集为，
，
解得，
在中符合的整数为． 

【解析】解方程组得，根据为非正数，为负数得，解之可得答案；
由不等式，即的解集为知，解之得出，再从中找到符合此条件的整数的值即可．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：为的垂直平分线，
，
的周长；
设，则，
，
，
，
，
解得：，
则． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

19.【答案】在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半 

【解析】解：逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，
故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
过点作交的延长线于点，

，，
，
，
，

根据逆命题的定义可求解；
过点作交的延长线于点，由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求解，利用含角的直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查逆命题，含角的直角三角形性质的应用，构造含角的直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设款恤衫的销售单价为元，款恤衫的销售单价为元，
依题意，得：，
解得：，
答：款恤衫的销售单价为元，款恤衫的销售单价为元；

设款恤衫采购了件，则款恤衫采购了件，
依题意，得：，
解得：．
答：款恤衫最多能采购件． 

【解析】设款恤衫的销售单价为元，款恤衫的销售单价为元，根据总价单价数量结合近两天的销售情况，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设款恤衫采购了件，则款恤衫采购了件，根据总价单价数量结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：为等腰直角三角形，
．
由旋转的性质可知．
．
，，
．
，
，．
由旋转的性质可知：．
． 

【解析】首先由等腰直角三角形的性质求得、的度数，然后由旋转的性质可求得的度数，故此可求得的度数；
由可知是直角三角形，先由勾股定理求得的长，然后依据比例关系可得到和的长，最后依据勾股定理求解即可．
本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得是解题的关键．
 

22.【答案】，，，
又，
，
．
；
在中，令得；令得，则：
，同理求得，
，，
所以，即为等腰三角形．设，
当点在边上时，由得：
，，把它代入中求得：，
；
当点在延长线上时，由得：，，
把它代入中求得：，
，
点的坐标为或． 

【解析】

【分析】连接，被分成和两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以分别求解，再根据整理即可得到．
根据的方法，利用三角形面积的关系求解即可；
先根据直线关系式求出、、三点的坐标利用勾股定理求出，所以是等腰三角形，再分点在线段上和的延长线上两种情况讨论求解．
本题考查的是一次函数综合运用，主要考查的是面积法解决实际问题，此类题目通常按照题设顺序，逐次求解即可．
【解答】
见答案；
如下图，点在的延长线上，连接，

2，
，
，
故答案为：；
见答案．  

23.【答案】解：证明：将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形；
存在，当时，
由旋转的性质得，，
，
由知，是等边三角形，
，
，
由垂线段最短可知，当时，的周长最小，
此时，，
的最小周长；
存在．
当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时，由旋转可知，，，
，
由可知，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，不存在直角三角形．
如图，

当时，由旋转的性质可知，，
又由知，
，
而，
，
只能，
从而，
，
，
，
综上所述：当或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形． 

【解析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质得到，，即可得到结论；
当时，由旋转的性质得到，于是得到，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论；
存在分情况讨论：当点与点重合时，，，不能构成三角形；当时，由旋转的性质得到，，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，求得，即可得到；当时，不存在直角三角形；当时，由旋转的性质得到，求得，同可求得．