专题03 导数-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

专题03 导数

一、单选题

1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是

A． B．

C． D．

2. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

3. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

A．1 B． C． D．

4. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为

A．2 B． C．3 D．

5. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练三】若曲线与曲线在交点处有公切线，则

A． B．0

C．2 D．1

二、填空题

1. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】函数的极大值点为_________.

2. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知函数，且是函数的极值点．给出以下几个命题：

①；

②；

③；

④

其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号）

3. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______.

三、解答题

1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】已知函数，.

（Ⅰ）若满足，求实数的值；

（Ⅱ）讨论的极值点的个数；

（Ⅲ）若（）是的一个极值点，且，证明：.

2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.

3. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】已知函数．

（1）曲线在点处的切线与直线平行，求的方程；

（2）若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．

4. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】设函数．

（1）求函数在上的最小值点；

（2）若，求证：是函数在时单调递增的充分不必要条件．

5. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．

（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

6. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知函数 .

(1)当时,讨论的单调性；

(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.

7. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】设函数其中

(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;

(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.

8. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；

（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．

9. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知函数

（I）若，求函数的极值和单调区间；

（II）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

10. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】已知函数.

（1）若，求过曲线上一点的切线方程；

（2）若，在区间的最大值为，最小值为，求的最小值．

11. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】已知：函数.

（1）求；

（2）求证：当时，；

（3）若对恒成立，求实数的最大值.

12. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】已知函数，.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值；

(3)求证：存在唯一的，使得.

13. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；

（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

14. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在实数，使得在具有单调性？若存在，求所有的取值构成的集合；若不存在，请说明理由.

15. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】已知函数f（x）＝2ln x－x＋．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a>0，b>0，且a≠b，证明： <．

16. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】已知函数f（x）x+alnx．

（1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示）

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．

17. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】已知函数（其中为常数）.

（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；

（2）若在上的最大值为，求的值.

18. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若对任意的，都有成立，求a的取值范围.

19. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，，求的取值范围．

20. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：；

（Ⅲ）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

21. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】已知函数．

（1）若函数在区间(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）试判断1是不是函数的极值点，并说明理由；

（3）是否存在实数a，使得直线y=x-2与曲线相切？若存在，直接写出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由．

22. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：，）

23. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】设函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，证明：；

（Ⅱ）设为函数在区间内的零点，其中，证明：．

24. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】设函数，其中．

（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

25. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练三】已知函数，.

（I）若的极值为，求的值；

（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围

26. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】已知函数的一个极值点是.

（1）求a与b的关系式，并求的单调区间；

（2）设，，若存在，，使得成立，求实数a的范围.