专题01 集合与简易逻辑-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

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专题01 集合与简易逻辑
一、单选题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，集合，则其中定义域
又有集合，则
故选：C
2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，由可得，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
3. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】下列选项中，说法正确的是（ ）
A．“”的否定是“”
B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角
C．若，则
D．“”是“”的必要条件
【答案】D
【解析】选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；
选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.
选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；
选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.
故选：D.
4. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】已知全集，集合，则集合等于（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】由中的不等式变形得：或，解得：，
即，∵全集，∴=或. 故选：B.
5. 【2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考】“”是 “”的
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件.
【答案】A
【解析】，而，如，则不成立，所以”是 “”的充分不必要条件．选.
6. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】已知集合，集合为整数集，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，选A.
7. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】命题，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，
即本题的正确选项为C.
8. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
9. 【2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中】函数,设、、是曲线与直线的三个交点的横坐标,且，则下列命题错误的是（ ）
A．存在实数，使得 B．任给实数，都有
C．存在实数，使得 D．任给实数，都有
【答案】B
【解析】函数的定义域为，易知在这三段定义域上分别单调递增，
其大致图象如下

曲线与的三个交点的横坐标、、，且，则，
取时，即得，所以，，，，
，存在时，，所以不成立，
对于：要证，即
①当显然成立
②当时，
又在上单调递增

令
当时

即
即
即任给实数，都有，故正确；显然、也成立；
故选：．
10. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，故.
故选：.
11. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】已知全集，若集合，则．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】∵集合，∴或，故选．
12. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为命题是全称命题，所以其否定为特称命题，故为.
故选：C
13. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】若， 是两个非零的平面向量，则“”是“”的．
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，得，所以是充要条件，故选C.
14. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则．故选C．
15. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由集合A得,所以，故答案选C.
16. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】令，，
在上单调递增，且，
等价于，即，
令，，
在上单调递增，且，
等价于，即，
“”是“”的充分必要条件，
“”是“”的充分必要条件.
故选：A.
17. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，.
故选：B
18. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A．因为，错误；对于B．当成立，正确；对于C．，正确；
对于 D． ，成立，正确；故选：A.
19. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】三角形中，“”，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.
三角形为锐角三角形为锐角.
三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
20. 【北京市第四中学2021届高三12月】若全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，则，故，D正确；
且，，ABC错误；
故选：D.
21. 【北京市第四中学2021届高三12月】设，则“是第一象限角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.
22. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为合，，.故选：C.
23. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：C.
24. 【北京市人大附中2021届高三年级10月月考】已知是非零向量，为实数，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于，满足充分条件；
对于，不满足必要条件
故“”是的充分不必要条件
故选：A
25. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，
因集合，集合，则有，
所以图中阴影部分表示的集合是.
故选：C
26. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为非零向量，设的夹角为，则，
若，则，是0或锐角，而是锐角时，不成立，即“”“存在整数，使得”；
若有“存在整数，使得”，取并且，则，即不成立，
“存在整数，使得”“”，
综上得“”是“存在整数，使得”的既不充分也不必要条件.
故选：D
27. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
28. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】若集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，B={x∈R|x＜﹣1，或x＞3}；∴A∩B={x∈R|x＞3}．
故选D．
29. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】：若的方程为，则，渐近线方程为，
即为，充分性成立，
若渐近线方程为，则双曲线方程为，
“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.
30. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】集合，，若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，且，解得，则，，
.故选：C．
31. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】“”是“函数与函数为同一函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，即函数与函数为同一函数，充分性成立；
若函数与函数为同一函数，的值可以为，即两个函数数为同一函数不能推出，必要性不成立，
所以，“”是“函数与函数为同一函数”的充分而不必要条件，
故选：A.
32. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，∴，即有2个元素，故选：B.
33. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】数列的前n项和记为，则“数列为等差数列”是“数列为常数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若数列为常数列，则设 ，所以 ，
于是 ，所以为等差数列；
即“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要条件；
若数列为等差数列，设公差为 ， ，
于是 ， ，
当 时，数列不是常数列，
所以“数列为等差数列”不是“数列为常数列”的充分条件；
综上所述，“数列为等差数列”是“数列为常数列”的必要不充分条件，
故选：B
34. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得,即.由，可得，即
所以故选：C
35. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】在非直角中，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】若，则，
易知，， ，，
，，，
，，.
因此，“”是“”的充要条件，故选C.
36. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】已知集合，．若， 则实数的值是（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2
【答案】C
【解析】
因为，所以或，
故选：C.
37. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选C.
38. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三9月统练二】设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
因为向量均为单位向量
所以



所以“”是“”的充要条件
故选：C
39. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】若集合，则（ ）
A．(2，+∞) B．(-∞，2] C．(0，2] D．(-∞，0]
【答案】B
【解析】由题意，可得，即，∴.
故选：B
40. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】设向量，，则“x=2”是“与同向”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：当时，向量, 与同向
必要性：当与同向时，则存在唯一的实数，使得，即
解得
所以是“与同向”的充要条件
故选：C.
41. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】若命题“，使得成立”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞) B．[0，+∞) C．(，1) D．(，0]
【答案】A
【解析】命题“，使得成立”为假命题, 则它的否定命题:
“，”为真命题
所以
解得，所以实数a的取值范围是
故选：A.
42. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，或，所以，故选：D
43. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件，故选：C
44. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】，集合A的元素代表是x，
，集合B的元素代表是y，
当时，，

故选：D
45. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】“”是“直线：和直线：平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时，直线：和直线：，此时直线与直线不平行，
当直线：和直线：平行时，，解得（舍去）.
“”是“直线：和直线：平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
46. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练三】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以，由得，所以，所以，故选：B.
47. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以，
所以.故选：D.
48. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可知，可以异号，可以同正，
当异号时，必有，故可以推出；
当同正时，即，由基本不等式知，则当时，有，解得，故充分性成立；
当时，满足，但此时，即“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
49. 【中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测】已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，
所以.
故选：D.
50. 【中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可知，可以异号，可以同正，
当异号时，必有，故可以推出；
当同正时，即，由基本不等式知，则当时，有，解得，故充分性成立；
当时，满足，但此时，即“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、填空题
1. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________

①的值可以为2；
②的值可以为；
③的值可以为；
【答案】②③
【解析】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.

2. 【北京市第四中学2021届高三12月】能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为______
【答案】，
【解析】假设成立，则，
当时，，此时、是不相等的正数，
故命题为真命题的一组，的值为：，
故答案为：，