高中数学4.3 对数精练

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1．给出下列函数：
①y＝lgeq \f(2,3)x2；②y＝lg3(x－1)；③y＝lg(x＋1)x；④y＝lgπx.其中属于对数函数的有( A )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】 由对数函数的定义知只有④是对数函数．
2．若对数函数的图象过点M(2，－1)，则此对数函数的解析式为( C )
A．y＝lg2x B．y＝lgeq \f(1,4)x
C．y＝lgeq \f(1,2)x D．y＝lg3x
【解析】 设该函数的解析式为y＝lgax(a>0且a≠1)，由于对数函数的图象过点 M(2，－1)，所以－1＝lga2，解得a＝ eq \f(1,2) ，所以该对数函数的解析式为 y＝lgeq \f(1,2)x.
3．函数f(x)＝2－ln(|x|＋1)的定义域为( C )
A．{x|x>1}
B．{x|x<－1或x>1}
C．R
D．{x|x≠0}
【解析】 因为|x|＋1≥1，所以函数f(x)＝2－ln(|x|＋1)的定义域为R．
4．已知函数f(x)＝lg3 eq \f(x－1,x＋1) ，则f(x)＋f(－x)等于( D )
A．1 B．－1
C．2 D．0
【解析】 f(x)＋f(－x)＝lg3 eq \f(x－1,x＋1) ＋lg3 eq \f(x＋1,x－1) ＝
lg3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x＋1)·\f(x＋1,x－1))) ＝lg31＝0.
5．函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,\r(x＋2)) 的定义域为( C )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
B．(－2，＋∞)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【解析】 对于函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(1,\r(x＋2)) ，
有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)≠0，,x＋2＞0.)) 解得x＞－2且x≠ eq \f(1,2) .
故定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) .
6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列函数中，与函数f(x)＝x＋1(x∈R)的值域相同的是( ABC )
A．y＝x(x∈R) B．y＝x3(x∈R)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝ex(x∈R)
【解析】 ABC选项中各函数的值域均为R，符合题意；选项D中函数的值域为(0，＋∞)，与f(x)的值域不同，故选ABC.
二、填空题
7．若函数f(x)＝(a－2)lg(a＋2)x为对数函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) ＝__－1__．
【解析】 依题意得a＝3，所以f(x)＝lg5x，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) ＝lg5 eq \f(1,5) ＝－1.
8．已知函数f(x)＝lg8(x＋2)，若f(x)＝ eq \f(2,3) ，则x＝__2__.
【解析】 f(x)＝lg8(x＋2)＝ eq \f(2,3) ，则x＋2＝8eq \f(2,3)＝(23)eq \f(2,3)＝22＝4，所以x＝2.
9．已知函数f(2x)＝2x2－1，则f(x)＝__2(lg2x)2－1__，f(1)＝__－1__．
【解析】 令t＝2x，则x＝lg2t，所以f(t)＝2(lg2t)2－1，则f(x)＝2(lg2x)2－1，
f(1)＝2(lg21)2－1＝0－1＝－1.
10．函数y＝ eq \f(1,lg2（x－2）) 的定义域为__(2，3)∪(3，＋∞)__．
【解析】 要使原函数有意义，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＞0，,lg2（x－2）≠0，))解得23，所以原函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
11．某公司为了调动销售人员的销售积极性，制定了一个奖励方案：在销售额为x万元时，奖金为y万元，若公司的奖励方案为y＝3lg3x－2，某业务员要得到7万元的奖励，则他的销售额应为__27__万元．
【解析】 依题意得7＝3lg3x－2，即3lg3x＝9，得lg3x＝3，所以x＝33＝27，即他的销售额应为27万元．
[B级 素养养成与评价]
12．函数f(x)＝ln eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(x)－4)) 的定义域是( D )
A．(0，2)
B．(0，2]
C．(－∞，－2]
D．(－∞，－2)
13．设函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x20)＝3，则f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)))＋f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))＋…＋f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(20)))＝__6__．
【解析】 f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)))＋f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)))＋f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)))＋…＋f(xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(20)))＝lgaxeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋lgaxeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＋lgaxeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3))＋…＋lgaxeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(20))＝2lga(x1x2x3…x20)＝2f(x1x2x3…x20)，所以原式＝2×3＝6.
14．若函数f(x)＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kx2－kx＋\f(3,8))) 的定义域为R，则实数k的取值范围是__[0，3)__．
【解析】 由题意知，函数y＝2kx2－kx＋ eq \f(3,8) 的值恒为正数，当k＝0时，y＝ eq \f(3,8) >0，符合题意；当k≠0时，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k>0，,k2－4×2k×\f(3,8)<0，)) 解得015．已知函数y＝f(x)满足lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，求函数f(x)的解析式及定义域．
解：因为lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，
所以lg y＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x)，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝103x(3－x).
因为y＝f(x)且lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,3－x＞0，))解得0＜x＜3.
所以函数y＝f(x)的定义域为(0，3).