人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程教学设计及反思

圆的标准方程 教学设计

教学分析

    在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程，同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.

教学目标

1．在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；

2．会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程；

3．进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；

4．使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；

5．增强学生用数学的意识.

教学重点．难点

教学重点：圆的标准方程的求法及其应用.

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

教学过程

（一）创设情境（启迪思维）

    以生活实例图片说明“身边的圆无处不在”；

了解圆的发展史：会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。

这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年。

问题1：什么是圆？初中如何给圆定义的？

平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（轨迹、集合）.

问题2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？（几何画板动画演示）

圆心－－确定圆的位置(定位)；半径－－确定圆的大小(定形)

那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.

（二）深入探究（获得新知）

探究一：如何在平面直角坐标中，求圆心是（a,b）,半径为r的圆的方程？

确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件=r.①将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②

若点M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点M的坐标满足方程②,反之若点M的坐标满足方程②,这就说明点M与圆心C的距离为r,即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.

说明：这是二元二次方程,展开后没有xy项,括号内变数x,y的系数都是1.点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.圆心坐标（a,b）和半径r，只要a,b,r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了. 要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定a,b,r. 当圆心在原点即C(0,0)时,方程为x2+y2=r2.

求动点轨迹方程方法总结：建系、设点、列式、化简、检验.

探究二：点与圆的位置关系

练习1.写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.

解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.

点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何.

点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：

当点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:

1°点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;

2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;

3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,点在圆内.

（三）应用举例（巩固提高）

探究三：求圆的标准方程

例1 .的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.

解法1:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,

它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是

解此方程组得所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

规律归纳：确定圆的方程主要方法是待定系数法, 这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法.即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.

解法2:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6). ①,同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). ②,解由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.

规律归纳：求圆的标准方程——几何法，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准方程.适用于由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法。

拓展提高——实际应用（从生活中来，到生活中去）

例2.已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？

[引导]  画图建系

[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）

解析：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0），将x＝2.7代入，得　．即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道.

练习2.已知圆的一条直径的端点分别是

求证：此圆的方程是.

（四）小结反思（拓展引申）

1.课堂小结：

①圆的标准方程；

②点与圆的位置关系的判断方法；

③根据已知条件求圆的标准方程的方法；

④利用圆的平面几何的知识构建方程；

⑤直径端点是的圆的方程是

2.分层作业：

（A）巩固型作业：

1.圆(x-2)2+(y+3)2=9的圆心坐标和半径分别是            .

2.点P(m,5)与圆x2+y2=25的位置关系是            .

3.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程是            .

4.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是            .

5.以点(2,－1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为            .

6. 一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.

（B）思维拓展型作业：

的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

3．激发新疑：

课后思考题：

1．把圆的标准方程展开后是什么形式？它有什么特点？

2．方程：的曲线是什么图形？

设计感想

    圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.

    本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心,高效地完成本节的学习任务.