高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.4 圆与圆的位置关系教案

圆与圆的位置关系

【教学目标】

1．知识技能目标：

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；

（3）会用圆心距判断两圆的位置关系。

2．过程方法目标：通过一系列例题，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。

3．情感态度价值观目标：让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。

【教学重点】

圆与圆的位置关系。

【教学难点】

圆与圆的位置关系的几何判定。

【教学过程】

一、自学导航

1．问题情境：

（1）初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？

（2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？

2．学生活动。

（1）你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？

方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d与半径之间的关系。

如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

若将两个圆的方程相减，你发现了什么？

二、探究新知

1．两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含。

2．判断两圆位置关系的方法：

（1）几何方法：设两圆的圆心距，半径，则：

a．当时，圆与圆相离；

b．当时，圆与圆外切；

c．当时，圆与圆相交；

d．当时，圆与圆内切；

e．  当时，圆与圆内含；

步骤：

①计算两圆半径；

②计算两圆圆心距；

③根据与的关系判断两圆的位置关系。

（2）代数方法：方程组

有两组不同实数解相交；有两组相同实数解相切（内切或外切）；无实数解相离（外离或内含）。

两圆相交时的公共弦方程及弦长计算。

设相交两圆的方程为：

则公共弦的方程为：

三、例题精讲：

例1．判断下列两圆的位置关系：

变式题1：已知圆：，圆：

，为何值时，（1）圆与圆相

外切？（）（2）圆与圆相内含？（）

变式题2：已知圆与圆相切，

求的值。（）

例2．圆与圆相交于两点，求直线的方程及公共弦的长。

答案：；6

变式题：求以圆：和圆：公共弦为直径的圆的方程。

相减得公共弦

所在直线方程为，再由

联立得两交点坐标、。∵所求圆以为直径，∴圆心是的中心点，圆的半径为。于是圆的方程为。

方法二：设所求圆

，得圆心，∵圆心在公共弦所在直线上，∴，解得。故所求圆的方程。

点评：圆的方程经过交点的圆方程为经过

与交点的圆的方程为：

例3．求过点且与圆切于原点的圆的方程。

变式题1：求过直线x + y + 4 = 0与圆x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x相切的圆的方程。

解：设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x – 2y – 4 + (x + y + 4) = 0.

联立方程组

得：。

因为圆与y = x相切，所以=0.

即

故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.

变式题2：求过两圆x2 + y2 + 6x – 4 = 0求x2 + y2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线

x – y – 4 = 0上的圆的方程。

解：依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3)。

则连心线的方程是x + y + 3 = 0.

由     解得。 

所以所求圆的圆心坐标是。

设所求圆的方程是x2 + y2 – x + 7y + m = 0

由三个圆有同一条公共弦得m = –32．

故所求方程是x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0.

四、课堂精练

1．判断下列两个圆的位置关系：

；

。

2．已知以C（-4，3）为圆心的圆与圆相切，求圆C的方程。

答案：（1）内切；（2）相交

3．若圆与圆相交，求实数的取值范围。

答案：

4．已知圆：和圆：，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何？

答案：两圆的位置关系为相交

5．已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程。 答案：

6．已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长。 答案：3x-4y+6=0；

五、回顾小结：

1．提出下列问题让学思考：

（1）通过两个圆的位置关系的判断，你学到了什么？

（2）判断两个圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何求相交两圆的相交弦的方程及弦长？

分层训练

已知，则两圆与的位置关系是__________。相交

2．两圆与的公共弦长____________。

3．两圆相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______。

答案：

4．已知两圆与，则______时，两圆相切。

答案：或

求经过点M(2，-2)，及圆与交点的圆的方程。

答案：

5．求过两圆和圆的交点，且圆心在直线

上的圆的方程。

答案：

六、拓展延伸

1．已知点，圆：，过P作圆D，使C与D相切，并且使D

的圆心坐标是正整数，求圆D的标准方程。

解：点P在圆C内部，所以圆D与圆C内切，设圆D ，由点在圆上和两圆内切得到，，讨论后只有满足，圆D方程为或）

2．已知两圆：， ：。

（1）求证两圆外切，且轴是它们的一条外公切线；

（2）求出它的另一条外公切线方程。

解：（1）略（2）解：如下图由条件可得的斜率为，∴直线的倾斜角为，由平面几何知识可知另一条外公切线的倾斜角为，∵直线的方程为，令得，∴两外公切线交点坐标为，∴另一条外公切线的方程为。