数学八年级下册18.2.2 菱形课堂检测

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18.2.3 菱形的定义及性质
基础对点练
知识点1 菱形的定义及边的性质
1.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（　　）

A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC与BD互相平分
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：根据菱形的判定方法得出A正确，B、C、D不正确；即可得出结果．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴必有AC与BD互相平分，
∴四边形不一定是菱形；
故选A．
考点：菱形的判定．
2.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．
【详解】
∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24，
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3.如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 A，B 两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点 D 的坐标为（     　 ）

A．（0，1） B．（0，-1） C．（0，2） D．（0，－2）
【答案】D
【解析】
【分析】
菱形在坐标系中，已知两点坐标，可根据勾股定理确定AB长度，菱形四边都相等，所以可得OD长度，依据点D在坐标系中的位置即可得坐标．
【详解】
解：∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（4，0），
∴在中，，，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
又∵点D位于y轴的负半轴，
∴点D的坐标为：（0，-2），
故选：D．
【点睛】
题目主要考察菱形的性质及勾股定理、确定点的坐标等，利用勾股定理确定边长是解题关键，同时，应注意所求点的位置．
4.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．

【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
,
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
考点：菱形的性质.

知识点2 菱形对角线的性质
5.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（        ）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．对角线互相垂直 D．相邻两角互补
【答案】C
【解析】
【分析】
平行四边形两组对边平行且相等，对角线互相平分，相邻两角互补．
【详解】
由分析可知，选项A. B.D均正确，但平行四边形的对角线并不垂直，而菱形，的对角线垂直，故C选项错误，
故选C.
【点睛】
考查平行四边形以及菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键.
6.菱形的周长为20 cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为       (       )
A．5 cm B．4 cm C． cm D． cm
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作图，得出AD=5，根据菱形的性质及两邻角的比可得出∠DAB=60°，即可进行求解.
【详解】
如图，菱形ABCD的周长为20cm,则AD=5cm,
∵两邻角的比为1：2，∴∠DAB=60°，
故△ABD是等边三角形，
∴DO=BD=，
故AC=2AO=2=5 cm
故选C.

【点睛】
此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的特点.
7.已知菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其周长为（       ）
A．20cm B．24cm C．28cm D．40cm
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，由菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，可求得OA，OB的长，然后由勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3（cm），OB＝BD＝×8＝4（cm），
∴AB＝＝5（cm）．
∴其周长为：5×4＝20（cm）．
故选：A．

【点睛】
此题考查菱形的性质以及勾股定理，此题难度不大，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解答本题的关键．
8.若菱形的两邻角的度数比为5：1，菱形的高为1，则菱形的边长为（　　）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，∠ABC：∠BAD=1：5，由菱形的性质可以求出∠ABE=30°，根据含30度角直角三角形的性质即可求解.
【详解】
解：如图所示：∠ABC：∠BAD=1:5
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABC+∠BAD=180°
∴6∠ABC=180°
∴∠ABC=30°
∵AE是菱形的高，AE=1
∴∠AEB=90°
∴AB=2AE=2，
故选B.

【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9.菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
先画出图形，根据菱形的性质可得，DO＝3，根据勾股定理可求得AO的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果．
【详解】
解：如图：

由题意得，
∵菱形ABCD
∴，AC⊥BD
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握对角线互相垂直且平分，菱形的四条边相等；同时熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半．
10.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．

(1)求证：BD=EC．
(2)若∠E=57°，求∠BAO的大小．
【答案】(1)见解析
(2)33°
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB=CD=BE，AB//CD，可证四边形BECD是平行四边形，可得BD=EC；
（2）由平行四边形的性质可得BD//CE，可得∠ABO=∠E=57°，菱形的性质可求∠BAO的大小．
(1)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//CD
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形
∴BD=EC
(2)
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=57°
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°
∴∠BAO+∠ABO=90°
∴∠BAO=90°-∠ABO=33°
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．

能力达标练
11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）
A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC＝BC
【答案】D
12.如图，在菱形纸片中，，点是边上的一点，将纸片沿折叠，点落在处，恰好经过的中点，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】
解：连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°−（∠CDE＋∠C）＝180°−（45°＋60°）＝75°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了折叠问题，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

13.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝26°，则∠OBC的度数为(　　)

A．54° B．64° C．74° D．26°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO(ASA)，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．

14.已知一个菱形的边长为4，它的两条对角线长度之和为12，那么该菱形的两条对角线长度之积为（        ）
A．12 B．35 C．40 D．48
【答案】C
【解析】
【详解】
设该菱形的两条对角线长分别为、，∵菱形的边长为4，由菱形的性质知，，又已知，∴，∴，∴．
15.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（　　）

A．10 B．7.5 C．5 D．2.5
【答案】D
【解析】
【分析】
求出菱形的面积，可得，可证四边形PEAF是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，
∴菱形ABCD的面积，
∴，
∵，，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选：D．
【点睛】
先本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
16.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是（        ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，点H关于AG的对称点为F，此时EF+ED最小=DH，先证明△ADC是等边三角形，在Rt△DCH中利用勾股定理即可解决问题．
详解：如图，作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E，

∵四边形ABCD是菱形，
∵AB=AD=CD=BC=6，
∵∠B=60°，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AG是中线，
∴∠GAD=∠GAC
∴点H关于AG的对称点F在AD上，此时EF+ED最小=DH．
在RT△DHC中，∵∠DHC=90°，DC=6，∠CDH=∠ADC=30°，
∴CH=DC=3，DH=，
∴EF+DE的最小值=DH=3.
故选C．
点睛：本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．


17.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E，F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF，则△AEF的周长为_____．

【答案】3
【解析】
【详解】
分析：根据菱形的性质和等边三角形的判定方法得，三角形ABC是等边三角形．则AE⊥BC，根据勾股定理求得AE的长，同理得到EF的长，根据已知可推出△AEF是等边三角形，从而得到其周长是3．
详解：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=AD=CD，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAD=120°，
∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠EAC=30°，
∴AE=，
同理：AF=，
∵AE=AF，∠CAF=30°
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=，
∴△AEF的周长为3．
故答案为3．
点睛：此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理、等边三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是证明△AEF是等边三角形．

18.如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___．

【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形面积=对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果.
【详解】
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式.熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键.
19.如图，在菱形中，，，点是的中点，延长到点，使得，连结，点是的中点，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
连结，根据四边形为菱形，点是的中点，得到和互相垂直平分，经过点，即又，利用，，，可求得 ，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得．
【详解】
解：连结，如图，

四边形为菱形，点是的中点，
和互相垂直平分，经过点，
∴
又∵，，，
∴，
∴
∵
∴
∵点是的中点，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．
20.如图，已知菱形的对角线､相交于点O，延长至点E，使，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=BC，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，BE=CD，BD=CE=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴CE⊥AC，BE=AB=BC=CD，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=90°，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，∠CAE=30°，
∴BD=CE=BC=8，AC=CE=，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD==．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的运用．证明出四边形BECD是平行四边形是解题的关键．
21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．

(1)判断四边形OEFG的形状，并证明．
(2)若，，求四边形OEFG的面积．
【答案】(1)矩形，证明见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解；
（2）由勾股定理可求AB的长，得到AD、AE的长，再由中位线定理求得OE、FG的长，在Rt△AEF和Rt△OBG中，由勾股定理，，利用EF=OG 得到BG方程，求得BG，进一步得到OG的长，利用矩形面积公式，即得答案．
(1)
解：四边形OEFG是矩形．
证明如下：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴DO＝BO，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，OE是△ABD的中位线
∴OE∥AB，
∴OE∥FG，
又∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形．
(2)
解：∵四边形ABCD是菱形
∴，
，
，
，
∴∠AOB=90°
∴△AOB是直角三角形
由勾股定理得
，
∴，
∵E是AD中点，
∴，
∵，E是AD中点，
∴OE是△ABD的中位线
∴，
∵四边形OEFG是矩形，
∴，，，
∴，
在Rt△AEF和Rt△OBG中，
由勾股定理得
，，
∴，
即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．




拓广探索突破

22.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【答案】（1）AE=EF=AF；（2）证明过程见解析；（3）3-
【解析】
【详解】
试题分析：（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF• sin60°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
试题解析：解：（1）结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°．∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC．∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）连接AC．如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H．∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°．在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=．在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG﹣BG=．∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=，∠AEB=∠AFC=45°．∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°．
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°．在Rt△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°．∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°．∵∠AFC=45°，∴∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°．在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=，∴FH=CF•sin60°==，∴点F到BC的距离为．