2020-2021学年第十六章 二次根式16.1 二次根式同步练习题

16.1.2 二次根式的性质

基础对点练

知识点1 二次根式的“双重非负性”

1.二次根式（a≥0）是   （    ）

A.正数      B.负数      C.0      D.非负数

【答案】D

2.若a，b，c为△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状为（    ）

A.直角三角形      B.等腰三角形      C.等边三角形      D.无法确定

【答案】A

3.实数x，y使成立，则的值为         。

【答案】

【解析】可化为，解的，，代入得.

知识点2 二次根式性质“（）”

4.下列计算正确得是    （     ）

A.    B.    C.    D.

【答案】C

5.在实数范围内分解因式：        

【答案】

6.计算：（1）；（2）；（3）；（4）.

【答案】（1）；（2）45；（3）；（4）300.

【解析】

（1）；（2）；

（3）；（4）.

知识点3 二次根式性质“”

7.（2021·杭州中考）下列计算正确的是（     ）

A.    B.    C.    D.

【答案】A

8.实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为(       )

A．4 B．﹣4 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据数轴确定a的取值范围，再根据二次根式的性质即可化简．

【详解】

解：由数轴可得：３<a<６，

∴a−2>0，a−6<0，

∴=a−2+6−a=4，

故选：A．

【点睛】

此题考查数轴、二次根式的化简，解题关键在于确定a的取值范围．

9.已知实数满足，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

依题意，可得，进而可得的取值范围．

【详解】

故选A．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，若，则x≤0，若，则，熟记此性质是本题的关键．

10.若是整数，则正整数n的最小值是（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

先将45写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出n的最小整数值．

【详解】

解：．

由是整数，得，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．

11.计算下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）.

【答案】

（1）；（2）；（3）；（4）；

（5）；（6）；（7）；（8）.

知识点4 代数式的概念

12.下列式子中属于代数式的有(        )

①0；②x；③x＋2；④2x；⑤x＝2；⑥x>2；⑦；⑧x≠2.

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【答案】A

【解析】

【详解】

∵上述各式中：①0；②x；③x＋2；④2x；⑦是代数式，而⑤x＝2；⑥x>2；⑧x≠2.不是代数式，

∴上述各式中共有5个代数式.

故选A.

13.一个自然数的倒数为m，则和这个自然数相邻的下一个自然数是_____________．（用含m的代数式表示）

【答案】

【解析】

【分析】

根据倒数的定义求得这个自然数，再加1即可．

【详解】

解：∵一个自然数的倒数为m，

∴这个自然数为

则和这个自然数相邻的下一个自然数是

故答案为：

【点睛】

本题考查了倒数的定义，自然数的定义，列代数式，理解题意是解题的关键．相乘得1的两数互为倒数．

14．某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为_________（用m的代数式表示）

【答案】（m+11）

【解析】

【分析】

利用题干中的数量关系分别表示出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数，将参加三类社团的人数相加即可得出结论．

【详解】

解：∵参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，

∴参加文艺类社团的人数为：（m+6）人．

∵参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，

∴参加科技类社团的人数为：（m+6）+2=（m+5）人．

∴参加三类社团的总人数为：m+（m+6）+（m+5）=（m+11）人．

故答案为：（m+11）．

【点睛】

本题主要考查了列代数式，分别求出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数是解题的关键．

能力达标练

15．下列各式中，正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

直接根据二次根式的性质逐项判断即可．

【详解】

A.，该选项错误；

B.，该选项正确；

C.，该选项错误；

D.，根号里面的数不能为负数，该选项错误．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．

16.计算：等于（    ）

A.          B.           C.            D.

【答案】A

【解析】，故选A.

17.若a<0，则等于（       ）

A． B．- C．± D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质： 和分式的性质：分子和分母乘以乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，进行求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了根据二次根式的性质化简，分式的约分，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的性质和分式的基本性质．

18.已知，那么化简代数式的结果是（       ）

A． B． C．－3 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

先把-变形为 - ，根据a的取值范围可确定1-a和a-4的符号，然后根据二次根式的性质即可得答案．

【详解】

解：，

∵1<a<3，

∴1-a<0，a-4<0，

∴原式，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，当a≥0时，=a；当a<0时，=-a；熟练掌握二次根式的性质是解题关键．

19.若点M的坐标为（，），则下列说法中正确的是       （       ）

A.点M在x轴正半轴上

B.点M在x轴负半轴上

C.点M在y轴正半轴上

D.点M在y轴负半轴上

【答案】C

20.已知，则的值为      （      ）

A.8084       B.6063       C.4042       D.2021

【答案】A

【解析】由可知：，

∴，

，故选A.

21.化简＝_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

先利用二次根式的性质，再利用求绝对值的法则，即可求解．

【详解】

解：∵4＜5，

∴2＜，

∴＝．

故答案为：﹣2．

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键．

22.在实数范围内分解下列因式：

（1）；（2）；（3）；（4）

【答案】

（1）；

（2）

（3）

（4）

23.已知是实数，且，求的值．

【答案】13

【解析】

【分析】

根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】

解：由题意得，，

解得x=3，

所以，y=，

所以，5x+6y=5×3+6×（）=15-2=13．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件和分母不为0的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

24.是否存在整数，使它同时满足下列两个条件：①与都有意义；②的值是整数，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】x=16.

【解析】

【详解】

试题分析：首先根据二次根式的性质得出x的取值范围，然后根据x为完全平方数得出x的值.

试题解析：根据题意得：x－14≥0,17－x≥0，解得：14≤x≤17

∵为整数 ∴x=16.

考点：二次根式的性质.

拓广探索突破

25.若实数、、满足.

（1）求、、；

（2）若满足上式的、为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长.

【答案】（1），，；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）先根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值与二次根式的非负性得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质进行分类讨论，再根据三角形三边的关系得出答案．

【详解】

解：（1）由题意，得，，即.

∴，

∴，，

即，，

∴，，；

（2）①当是腰长，是底边时，

等腰三角形的周长为；

②当是腰长，是底边时，等腰三角形的周长为.

综上，这个等腰三角形的周长为或．

【点睛】

本题主要考查了二次根式有意义的条件和非负性、绝对值得非负性以及等腰三角形的性质，解题的关键在于利用二次根式有意义的条件计算出c的值．

26.对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同，

甲的解答是：

乙的解答是：

谁的解答是错误的？为什么？

【答案】乙的解答是错误的,理由见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：因为a=时，a-=-5=-4<0，所以≠a-，故错误的是乙．

试题解析：解答此题的关键是对于式子脱去根号后，得到，还是．这就必须要明确是正还是负．

故乙的解答是错误的．

27.已知为△ABC的三边长，化简．

【答案】

【解析】

【分析】

由三角形三边关系、结合二次根式性质=化简，最后根据绝对值性质解题即可．

【详解】

解：∵为△ABC的三边长，，

∴原式

．

【点睛】

本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，涉及二次根式的化简、绝对值的化简等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．