人教版八年级下册19.1.1 变量与函数巩固练习

19.1.1 变量与函数

基础对点练

知识点1 变量与常量

1.小李驾车以的速度行驶时，他所走的路程与时间之间可用公式来表示，则下列说法正确的是（       ）

A．数70和s，t都是变量 B．s是常量，数70和t是变量

C．数70是常量，s和t是变量 D．t是常量，数70和s是变量

【答案】C

【解析】

【分析】

根据常量和变量的定义（在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量）即可得．

【详解】

解：在中，数70是常量，和是变量，

故选：C．

【点睛】

本题考查了常量和变量，熟记定义是解题关键．

2.下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（          ）

A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量

C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．

【详解】

解：关于圆的面积S与半径R之间的关系式S =πR2中，S、R是变量，π是常量．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义．

3.若球体体积为，半径为，则．其中变量是_______、_______，常量是________．

【答案】              

【解析】

【分析】

根据函数常量与变量的知识点作答．

【详解】

∵函数关系式为，

∴是自变量，是因变量，是常量．

故答案为：，，．

【点睛】

本题考查了常量与变量的知识，解题关键是熟记变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．

4.某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为_____，其中常量是_____，变量是_____．

【答案】     y=100+0.36x     100、0.36     x、y

【解析】

【详解】

由题意可知：（1）与间的函数关系是：；（2）其中常量是：100、0.36；（3）变量是：x、y.

故答案为（1）；（2）100、0.36；（3）x、y.

知识点2 函数的定义

5.下列关系式中y不是x的函数是（          ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数的定义逐项分析即可．

【详解】

在选项B，C，D中，每给x一个值，y都有1个值与它对应，所以B，C，D中y是x的函数，

在A中，给x一个正值，y有2个值与之对应，所以y不是x的函数．

故选A

【点睛】

本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键．一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．

6.下列是关于变量x与y的八个关系式：① y = x；② y2 = x；③ 2x2 − y = 0；④ 2x − y2 = 0；⑤ y = x3 ；⑥ y =∣x∣；⑦ x = ∣y∣；⑧ x =．其中y是x的函数的有_____．（填序号）

【答案】①③⑤⑥⑧

【解析】

【详解】

根据函数的定义：“在一个变化过程中，若有两个变量x、y，在一定的范围内当变量x每取定一个值时，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就说变量y是变量x的函数”分析可知，在上述反映变量y与x的关系式中，y是x的函数的有①③⑤⑥⑧，共5个.

故答案为①③⑤⑥⑧

7.在下列图象中，是的函数的是（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．

【详解】

解：A、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项A不符合题意；

B、对于x的每一个确定的值，y可能会有多个值与其对应，不符合函数的定义，故选项B不符合题意；

C、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项C不符合题意；

D、对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义，故选项D符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．

知识点3 自变量取值范围

8.函数中，自变量的取值范围是（　　）

A． B． C．< D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二次根式的被开方数是非负数且分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

【详解】

由题意得：x-2＞0，

解得：x＞2，

故选 A．

【点睛】

本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键，同时应当考虑到分母不为0．

9.函数中自变量x的取值范围是（       ）

A．x≥2 B．x＞﹣2 C．x≤2 D．x＜2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，建立不等式求解即可．

【详解】

解：由题意得：﹣2x+4≥0，

解得：x≤2，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

10.已知函数，则自变量的取值范围是（　　）

A． B．﹣1且 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．

【详解】

解：根据题意得：，

解得：且．

故选：B．

【点睛】

考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

11.求出下列函数中自变量的取值范围

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）且；（2）且；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据分式有意义的条件和零指数幂底数不为0进行求解即可；

（2）根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可；

（3）根据二次根式有意义的条件进行求解即可．

【详解】

解：（1）要使有意义，需，解得且；

（2）要使有意义，需，解得且；

（3）要使有意义，需，解得．

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂底数不为0，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

知识点4 函数值

12.已知函数，当时，y的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

当时，

.

故选A.

13.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为，则当t=4时，该物体所经过的路程为(             )

A．88米 B．68米 C．48米 D．28米

【答案】A

【解析】

【详解】

当t=4时，路程(米).

故本题应选A.

14.函数，当自变量时，函数值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

将函数的自变量的值代入函数解析式计算即可求解．

【详解】

解：将代入可得，

，

解得．

故答案为：18．

【点睛】

本题考查了二次函数的定义，解题的关键是将自变量的值代入函数解析式并准确计算．

15．已知函数，当时，_______；当时，_______．

【答案】     3    

【解析】

【分析】

分别将和代入解析式，即可求解．

【详解】

解：当时，；

当时， ，解得： ．

故答案为：3； ．

【点睛】

本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．

16.分别对各函教解析式进行讨论：

；        ；        

（1）自变量x在什么范围内取值时函数解析式有意义？

（2）当时对应的函数值是多少？

【答案】（1），x可为任意实数；；．（2）；；．

【解析】

【分析】

（1）根据整式有意义的条件：全体实数，分式有意义的条件：分母不为0，二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可求解；

（2）将分别代入各式计算即可．

【详解】

解：（1）∵整式有意义的条件是全体实数，

∴有意义时自变量x取值范围是全体实数，

∵分式有意义的条件是分母不为0，

∴有意义时自变量x取值范围，即，

∵二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，

∴有意义时自变量x取值范围，即；

（2）将代入，得：，

将代入，得：，

将代入，得：．

【点睛】

本题考查函数自变量取值范围及函数值的定义，解题的关键是熟练掌握各式有意义的条件．

能力达标练

17.下列变量之间的关系不是函数关系的是（       ）

A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积

C．等腰三角形的底边与面积 D．速度一定时，行驶的路程与时间

【答案】C

【解析】

【分析】

在一个变化过程中，存在两个变量 对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，我们就说：是的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案.

【详解】

解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故不符合题意；

正方形的周长与面积，符合函数定义，故不符合题意；

等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故符合题意；

速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故不符合题意；

故选：

【点睛】

本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键.

18.在函数中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x≠3 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1且x≠3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式的分母不为零，二次根式被开方数非负即可得到不等式组，解不等式组即可．

【详解】

由题意得：

解得：且

故选：D

【点睛】

本题考查了函数有意义的自变量的取值范围，一般地：若解析式中有分式，则分母不为零，若有二次根式，则被开方数非负，其余情况下自变量取值无限制，实际问题要具体情况具体分析．

19.（2021·湖北黄石·中考真题）函数的自变量的取值范围是（       ）

A． B． C．且 D．且

【答案】C

【解析】

【分析】

根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．

【详解】

解：函数的自变量的取值范围是：

且，

解得：且，

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

20.长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，则与之间的关系式是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据把长方形的各边都减少，再根据长方形的面积公式，即可解答问题．

【详解】

解：∵长方形的长为、宽为，它的各边都减少；

∴得到的新长方形的长为（10-x）cm，宽为（6-x）cm；

∴新长方形的周长：

故选：A．

【点睛】

此题考查了长方形的周长的意义，关键是明确长方形的长、宽分别为（10-x）cm和（6-x）cm．

21.如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD的面积为y，则y与x的函数关系式为（ ）

A．y=x(10－x) B．y=x(10－x) C．y=x(10+x) D．y=(10－x)2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知得出四边形ABCD面积为y，则BD=10-x，进而求出y=x(10－x).

【详解】

设AC的长度为x，

则BD=20-x，

∴y=AC×BD=x（10-x）.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是知道四边形ABCD的面积=AC×BD.

22.摄氏温度与华氏温度之间的对应关系为，则其中变量是________，常量是________.

【答案】     C,F    

【解析】

【分析】

根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．

【详解】

,则其中的变量是C,F,常量是，

故答案为C,F; ；

【点睛】

此题考查常量与变量，解题关键在于掌握其定义

23.根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是则输出的值是若输入的值是则输出的值是___________．

【答案】19

【解析】

【分析】

由已知条件可得关于b的方程，解方程求得b的值后即可得到x=-8时y的值．

【详解】

解：由题意可得：，解之得：b=3，

∵-8<3，

∴y=-2×（-8）+3=19，

故答案为19．

【点睛】

本题考查程序流程图在计算中的应用，熟练掌握代数式求值及一元一次方程解法是解题关键．

24.在一定限度内（所挂物体重量不过）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧长度与所挂物体质量有如下关系：

（1）由表格知，弹簧原长为________，所挂物体每增加弹簧伸长________．

（2）请写出弹簧长度与所挂物体质量之间的关系式，并指出自变量取值范围．

（3）预测当所挂物体质量为时，弹簧长度是多少？

（4）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量．

【答案】（1）12，0.5；（2），；（3）；（4）

【解析】

【分析】

（1）由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加弹簧伸长的长度；

（2）由（1）中的结论可求出弹簧长度与所挂物体质量之间的函数关系式；

（3）令，求出y的值即可；

（4）令，求出x的值即可．

【详解】

解：（1）由表格可知，所挂物体质量时，弹簧长度为，

∴弹簧原长为，

∵，

∴所挂物体每增加弹簧伸长；

（2）由（1）可知：弹簧长度与所挂物体质量之间的函数关系式为，

∵所挂物体质量不过，

∴自变量x的取值范围是；

（3）将代入，得，

∴当所挂物体质量为时，弹簧长度是；

（4）将代入，得，

解得：，

∴当弹簧长度为时，物体质量是．

【点睛】

本题考查了函数的关系式及函数值，解题的关键是根据图表信息解决问题．

拓广探索突破

25.中国联通在某地的某套餐的月租金为59元，超出套餐部分国内拨打0.36元/分钟（不足1分钟按1分钟时间收费）．下表是超出套餐部分国内拨打的收费标准：

（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）如果用表示超出套餐部分的拨打时间，表示超出套餐部分的电话费，那么与的关系式是什么？

（3）由于业务多，小明的爸爸上个月拨打电话的时间超出套餐部分25分钟，他需付多少电话费？

（4）某用户某月国内拨打电话的费用超出套餐部分的是54元，那么他该月拨打电话的时间超出套餐部分几分钟？

【答案】（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；（2）y=0.36x；（3）195元；（4）150分钟．

【解析】

【分析】

（1）根据图表可以知道：电话费随时间的变化而变化，因而打电话时间是自变量、电话费是因变量；

（2）费用=单价×时间，即可写出解析式；

（3）把x=25代入解析式即可求得；

（4）在解析式中令y=54即可求得x的值．

【详解】

解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；

（2）由题意可得：y=0.36x；

（3）当x=25时，y=0.36×25=9（元），

即如果打电话超出25分钟，需付186+9=195（元）的电话费；

（4）当y=54时，x==150（分钟）．

答：小明的爸爸打电话超出150分钟．

【点睛】

本题考查了列函数解析式以及求函数值．列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．