2022年中考数学（人教版）二轮复习 专题09 圆相关证明与计算问题（复习讲义）学案

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类型一：圆基本性质的证明与计算
考点01与圆有关的计算：
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
（3）求圆的面积公式s=πr2
类型二：与圆切线有关的证明与计算
考点02判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
类型一：圆基本性质的证明与计算
1.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．20°
2．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．22.5°B．30°C．45°D．60°
3.（2019•广西贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4. (2019湖北荆门)如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DBB．DI＞DBC．DI＜DBD．不确定
5. (2019黑龙江绥化)半径为5的¤O是锐角三角形ABC的外接圆,AB＝AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为______.
6. （2019山东东营）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M、N分别是 AC、BC的中点，则 MN的最大值是____________．
7.（2019•湖北武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
8.(2019山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
9.（2019•湖北省荆门市）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 ．
10.（2019•湖南邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点E在BC边上，且CA=CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；
（2）当BE=4，CD=AB时，求⊙O的直径长．

12.已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.
(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1 图2 图3
类型二：与圆切线有关的证明与计算
13.（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
14.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
15.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝eq \r(2)，DF＝2BF，求AH的值．
16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2eq \r(5)DE，求tan∠ABD的值．
17.已知的半径为，的半径为.以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，交于点，过点作的平行线交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求阴影部分的面积.
18.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
19.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点 D，且 AD//OC．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）延长 CO 交⊙O 于点 E．若∠CEB＝30°，⊙O 的半径为 2，求 的长．（结果保留 π ）