2020年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）据统计，某市去年接待国际旅游入境者共800160人次，800160用科学记数法表示是（ ）
A．8.0016×104B．8.0016×105C．8.0016×106D．8.0016×107
2．（3分）今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（ ）
A．4x﹣6＝3（x﹣6）B．4x+6＝3（x+6）
C．3x+6＝4（x+6）D．3x﹣6＝4（x﹣6）
3．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（ ）
A．20°B．30°C．32°D．25°
4．（3分）下列代数式的值可以为负数的是（ ）
A．|3﹣x|B．x2+xC．D．9x2﹣6x+1
5．（3分）如图，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，如果∠BAC＝60°，OD＝1，则BC为（ ）
A．B．2C．2D．4
6．（3分）设口袋中有5个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，5．现从中随机摸出（同时摸出）二个小球并记下标号，则标号之和大于5的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2﹣2x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）若x＞y+1，a＜3，则（ ）
A．x＞y+2B．x+1＞y+aC．ax＞ay+aD．x+2＞y+a
9．（3分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连接EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（ ）
A．2B．2C．3D．
10．（3分）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24
11．（4分）已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝ ．
12．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数和标准差统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加初中数学竞赛，那么应选 同学．
13．（4分）当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 ．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝ ．
15．（4分）对于实数m，n，定义一种运算*为：m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，则a＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AB上，连接CE交AD于点F，且AE＝AF，以下命题：①4∠BCE＝∠BAC；②AE•DF＝CF•EF；③＝；④AD＝（AE+AC）．正确的序号为 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b，3）．
（1）若b＝4，求y关于x的函数；
（2）若点B（3b，3b）也在该反比例函数图象上，求b的值．
18．（8分）在推进杭州市城乡生活垃圾分类的行动中，某校为了考查该校初中生掌握垃圾分类知识的情况，进行了一次测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理，绘制了如图所示不完整的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．
（1）求样本容量，并补充完整频数直方图．
（2）在抽取的这些学生中，玲玲的测试成绩为85分，你认为85分定是这些学生成绩的中位数吗？请简要说明理由．
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1400名学生中成绩优秀的人数．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数．
（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．
20．（10分）已知m＝a2b，n＝2a2+3ab．
（1）当a＝﹣3，b＝﹣2，分别求m，n的值．
（2）若m＝12，n＝18，求+的值．
21．（10分）如图，以△ABC的一边BC为直径的长⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠DOC＝90°．
（1）判断AC是否为⊙O的切线？请说明理由．
（2）①若∠A＝60°，AD＝1，求⊙O的半径．
②若∠DOC＝α°，AC＝m，OB＝r，请用含r，α的代数式表示m．
22．（12分）已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．
（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．
（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．
（3）求证：m+n＞．
23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO≥BO．以OF为半径的⊙O与直线AB交于点M，N．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在⊙O上，求正方形BEFG的边长．
（2）如图2，若点C在⊙O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点D在⊙O上，求证：DO⊥FO．
2020年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）据统计，某市去年接待国际旅游入境者共800160人次，800160用科学记数法表示是（ ）
A．8.0016×104B．8.0016×105C．8.0016×106D．8.0016×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于800160有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．
【解答】解：800160＝8.0016×105．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．（3分）今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，6年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（ ）
A．4x﹣6＝3（x﹣6）B．4x+6＝3（x+6）
C．3x+6＝4（x+6）D．3x﹣6＝4（x﹣6）
【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，3x﹣6＝4（x﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
3．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（ ）
A．20°B．30°C．32°D．25°
【分析】先由平行线的性质得出∠ACB＝∠1＝70°，根据等角对等边得出∠BAC＝∠ACB＝70°，由垂直的定义得到∠ADC＝90°，那么∠2＝90°﹣∠DAC＝20°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠DAC＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，垂直的定义，三角形内角和定理，求出∠BAC＝70°是解题的关键．
4．（3分）下列代数式的值可以为负数的是（ ）
A．|3﹣x|B．x2+xC．D．9x2﹣6x+1
【分析】各式化简得到结果，利用非负数的性质判断即可．
【解答】解：A、|3﹣x|≥0，不符合题意；
B、当x＝﹣时，原式＝﹣＜0，符合题意；
C、≥0，不符合题意；
D、原式＝（3x﹣1）2≥0，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）如图，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，如果∠BAC＝60°，OD＝1，则BC为（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，利用等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB＝30°，再根据垂径定理得到BD＝CD，然后计算出BD，从而得到BC的长．
【解答】解：连接OC，如图，
∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BOD中，BD＝OD＝，
∴BC＝2BD＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
6．（3分）设口袋中有5个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，5．现从中随机摸出（同时摸出）二个小球并记下标号，则标号之和大于5的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出标号之和大于5的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中标号之和大于5的情况有12种，
则P＝＝，
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2﹣2x的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k＜0，再根据k＜0确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．
【解答】解：∵反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴二次函数y＝kx2﹣2x的图象开口向下，
对称轴＝﹣＝，
∵k＜0，
∴＜0，
∴对称轴在x轴的负半轴，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解决此题的关键是根据反比例函数的性质确定k的正负．
8．（3分）若x＞y+1，a＜3，则（ ）
A．x＞y+2B．x+1＞y+aC．ax＞ay+aD．x+2＞y+a
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A、不等式x＞y+1同时加上1，得x+1＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式x＞y+1同时加上1，得x+1＞y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、不等式x＞y+1同时乘以a，当a是正数时得ax＞ay+a，当a是负数时得ax＜ay+a，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、不等式x＞y+1同时加上2，得x+2＞y+3，因为a＜3，所以x+2＞y+a，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质及运用．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（3分）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连接EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（ ）
A．2B．2C．3D．
【分析】连接FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF＝1，进而利用直角三角形的判定和边长关系解答即可．
【解答】解：连接FG，
∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，
∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，
∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，
∴AE＝AF，BF＝BG，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∵BF＝BG，
∴△BFG是等腰三角形，
∴∠GFB＝，
∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵BF＝4﹣1＝3，
∴FG＝2×，
∴EG＝，
故选：B．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF解答．
10．（3分）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】当k＜0时，抛物线对称轴为直线x＝﹣，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m≤﹣，而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，可确定m的范围，
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．
∵当x＜m时，y随着x的增大而增大
∴m≤﹣，
而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，
所以m≤﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解答此题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24
11．（4分）已知m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，则m﹣3n＝ 8 ．
【分析】由平方差公式得出m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n），代入计算即可得出结果．
【解答】解：因为m2﹣9n2＝24，m+3n＝3，m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n），
所以24＝3（m﹣3n），
所以m﹣3n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题的关键．
12．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩的平均数和标准差统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加初中数学竞赛，那么应选 乙 同学．
【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、标准差小的同学参赛．
【解答】解：由于乙的标准差较小、平均数较大，故选乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查平均数和标准差的意义．标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，标准差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（4分）当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 1+ ．
【分析】先解不等组得到2＜x＜4，再利用配方法解方程得到x1＝1+，x2＝1﹣，然后利用x的范围确定x的值．
【解答】解：解不等式组得2＜x＜4，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
而2＜x＜4，
所以x＝1+．
故答案为1+．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14．（4分）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝ 75° ．
【分析】将二次函数配方成顶点式可得最值为﹣a+b，根据题意可得﹣＝﹣a+b，化简得a＝b，在顶角∠C＝30°的等腰三角形中可求得∠A的度数．
【解答】解：将二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）配方得：
y＝（a+b）﹣a+b，
∵该二次函数的最小值为﹣，
∴﹣＝﹣a+b，
整理，得：a＝b，
∵在△ABC中，∠C＝30°，
∴当a＝b时，∠A＝∠B＝＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了二次函数的最值及求三角形的角等知识点，熟练掌握配方法及二次函数的性质是解题的关键．
15．（4分）对于实数m，n，定义一种运算*为：m*n＝mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，则a＝ 0 ．
【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n＝mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）＝﹣变为（a+1）x2+（a+1）x+＝0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【解答】解：由x*（a*x）＝﹣得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，
依题意有a+1≠0，
△＝（a+1）2﹣（a+1）＝0，
解得，a＝0，或a＝﹣1（舍去）．
故答案为：0．
【点评】此题考查了新定义，一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解新定义的运算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式解决问题．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在AB上，连接CE交AD于点F，且AE＝AF，以下命题：①4∠BCE＝∠BAC；②AE•DF＝CF•EF；③＝；④AD＝（AE+AC）．正确的序号为 ①③④ ．
【分析】设∠BCE＝β，∠AFE＝α，延长FD使得DG＝DF，连接CG，根据等腰三角形的性质以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：设∠BCE＝β，∠AFE＝α，
延长FD使得DG＝DF，连接CG，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠DFC＝α，
∴∠EAF＝180°﹣2α，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2（180°﹣2α），
∵α+β＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∴∠BAC＝360°﹣4（90°﹣β）＝4β＝4∠BCE，故①正确．
若AE•DF＝CF•EF，
则，
由于△AEF与△CDF不相似，故AE•DF＝CF•EF不成立，故②错误．
过点C作CG∥AB交AD的延长线于点G，
易证：△AEF∽△GCF，
∴，
∵AD是平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠CAF，
∵AE∥CG，
∴∠G＝∠EAF，
∴∠FAC＝∠G，
∴AC＝CG，
∴，
即，故③正确．
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝α，
∴∠B＝α﹣β，
∵AB∥CG，
∴∠B＝∠GCD＝α﹣β，
∴∠GCF＝∠BCE+∠GCD＝α﹣β+β＝α，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CG，
∴∠BAD＝∠CGA，
∴∠CGA＝∠CAG，
∴CG＝AC，
∵AD⊥BC，
∴AG＝2AD，
∵AG＝AF+FG＝AE+CG＝AE+AC，
∴AD＝（AE+AC），故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查等腰三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，本题中等题型．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b，3）．
（1）若b＝4，求y关于x的函数；
（2）若点B（3b，3b）也在该反比例函数图象上，求b的值．
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）用待定系数法解答便可．
【解答】解：（1）∵b＝4，
∴A（4，3），
把A（4，3）代入反比例函数y＝中，得k＝12，
∴y关于x的函数为：y＝；
（2）把点B（3b，3b）代入y＝中，得9b2＝k，
∵反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（b，3），
∴3b＝k
解得b＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，待定系数法，关键是正确掌握待定系数法．
18．（8分）在推进杭州市城乡生活垃圾分类的行动中，某校为了考查该校初中生掌握垃圾分类知识的情况，进行了一次测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩进行整理，绘制了如图所示不完整的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．
（1）求样本容量，并补充完整频数直方图．
（2）在抽取的这些学生中，玲玲的测试成绩为85分，你认为85分定是这些学生成绩的中位数吗？请简要说明理由．
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1400名学生中成绩优秀的人数．
【分析】（1）由总人数为100可得m的值，从而补全图形；
（2）根据中位数的定义判断即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）样本容量是：10÷20%＝50；
70≤a＜80的频数是50﹣4﹣8﹣16﹣10＝12（人），
补全图形如下：
（2）不一定是这些学生成绩的中位数，
理由：将50名学生知识测试成绩从小到大排列，第25、26名的成绩都在分数段80≤a≤90中，他们的平均数不一定是85分，因为25、26的成绩的平均数才是整组数据的中位数．
（3）全校1400名学生中成绩优秀的人数为：1400×＝728（人）．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线与AB，BC分别交于点E和点D，且BD＝2AC．
（1）求∠B的度数．
（2）求tan∠BAC（结果保留根号）．
【分析】（1）首先证明DA＝DB，再证明∠ADC＝30°即可解决问题．
（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD＝a，BC＝2a+a，推出tan∠BAC＝即可解决问题．
【解答】解：（1）连接AD．
∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∵BD＝2AC，
∴AD＝2AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠B＝15°．
（2）设AC＝a，则AD＝BD＝2a，CD＝a，BC＝2a+a，
∴tan∠BAC＝＝＝2+．
【点评】本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段的垂直平分线定理解决问题．
20．（10分）已知m＝a2b，n＝2a2+3ab．
（1）当a＝﹣3，b＝﹣2，分别求m，n的值．
（2）若m＝12，n＝18，求+的值．
【分析】（1）根据m＝a2b，n＝2a2+3ab，a＝﹣3，b＝﹣2，即可得到m、n的值；
（2）根据m＝12，n＝18，m＝a2b，n＝2a2+3ab，可以得到＝3ab，＝2a+3b，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值．
【解答】解：（1）∵m＝a2b，n＝2a2+3ab，a＝﹣3，b＝﹣2，
∴m＝（﹣3）2×（﹣2）＝9×（﹣2）＝﹣18，
n＝2×（﹣3）2+3×（﹣3）×（﹣2）＝2×9+18＝18+18＝36，
即m的值是﹣18，n的值是36；
（2）∵m＝12，n＝18，m＝a2b，n＝2a2+3ab，
∴12＝a2b，18＝2a2+3ab，
∴＝3ab，＝2a+3b，
∴+
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（10分）如图，以△ABC的一边BC为直径的长⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠DOC＝90°．
（1）判断AC是否为⊙O的切线？请说明理由．
（2）①若∠A＝60°，AD＝1，求⊙O的半径．
②若∠DOC＝α°，AC＝m，OB＝r，请用含r，α的代数式表示m．
【分析】（1）∠ABC＝∠DOC，而∠A+∠DOC＝90°，即可求解；
（2）在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan∠ACD＝1÷＝，即可求解；
（3）在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝＝tan，即可求解．
【解答】解：（1）是，理由：
∵∠ABC＝∠DOC，
而∠A+∠DOC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵AC是圆的切线，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵BC是圆的直径，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan∠ACD＝1÷＝；
而∠DOC＝2∠ABC＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴圆的半径为OC＝CD＝；
（3）∠ABC＝∠DOC＝α°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝＝tan，
即m＝2rtan．
【点评】本题考查的是切线的判定与性质，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质等，具有一定的综合性，难度适中．
22．（12分）已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．
（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．
（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．
（3）求证：m+n＞．
【分析】（1）由顶点坐标可得出答案；
（2）当k＝3时，求出y1与y2的交点，则分﹣3＜x＜，x＝和＜x＜3三种情况得出答案；
（3）求出m＝，n＝，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k，
∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），
∴它们均在函数y＝x的图象上；
（2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，
令y1＝y2，
∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，
解得x＝，
∴它们图象的交点的横坐标为，
∵a＝1＞0，两图象开口向上，
∴当﹣3＜x＜时，y1＞y2，
当x＝时，y1＝y2，
当＜x＜3时，y1＜y2．
（3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，
∴，
解得：，
∵k2＞0，
∴m+n＝．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO≥BO．以OF为半径的⊙O与直线AB交于点M，N．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在⊙O上，求正方形BEFG的边长．
（2）如图2，若点C在⊙O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点D在⊙O上，求证：DO⊥FO．
【分析】（1）连接OC，设BE＝EF＝x，则OE＝x+，得出，解得：x＝，则答案求出；
（2）连接OC，设OB＝y，BE＝EF＝x，同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，得出x2+（x+y）2＝y2+12，即x（x+y）＝，则结论可得证；
（3）连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，可得出12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，得出a＝b，则OA＝EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE＝∠ODA，结论得出．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°，
∵点O为AB中点，
∴OB＝AB＝，
设BE＝EF＝x，则OE＝x+，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2＝OF2，
∴，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2＝OC2，
∴＝OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC＝OF，
∴，
解得：x＝，
∴正方形BEFG的边长为；
（2）证明：如图2，连接OC，
设OB＝y，BE＝EF＝x，
同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2，
∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC＝OF，
∴x2+（x+y）2＝y2+12，
∴2x2+2xy＝1，
∴x2+xy＝，
即x（x+y）＝，
∴EF×OE＝，
∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为．
（3）证明：连接OD，设OA＝a，BE＝EF＝b，则OB＝1﹣a，则OE＝1﹣a+b，
∵∠DAO＝∠OEF＝90°，
∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2，
∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2，
∵OD＝OF，
∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2，
∴（b+1）（a﹣b）＝0，
∵b+1≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴OA＝EF，
在Rt△AOD和Rt△EFO中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），
∴∠FOE＝∠ODA，
∵∠DAO＝90°，
∴∠ODA+∠AOD＝90°，
∴∠FOE+∠AOD＝90°，
∴∠DOF＝90°，
∴DO⊥FO．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
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日期：2021/3/18 9:40:56；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471甲
乙
丙
丁
平均分
78
92
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85
标准差
7.5
6
7
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1
2
3
4
5
1
﹣﹣﹣
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
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（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
﹣﹣﹣
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
﹣﹣﹣
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
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甲
乙
丙
丁
平均分
78
92
92
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标准差
7.5
6
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