2023年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  第届亚运会将于年月日至年月日在杭州举行，据了解，亚运会期间，杭州将接待国内游客至人次，前一个数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  圆圆爸爸、妈妈和圆圆现在的年龄与他们三人年后的年龄所组成的两组数据相比较，一定不会发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

4.  如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中的图象分别为直线和直线，下列结论中一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买商品的定价为元，并列出关系式为，则圆圆告诉芳芳的内容可能是(    )

A. 买两件商品可先减元，再打折，最后不到元
B. 买两件商品可先减元，再打折，最后不到元
C. 买两件商品可先打折，再减元，最后不到元
D. 买两件商品可先打折，再减元，最后不到元

7.  在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，经平移后，得到其对应点，若的内部任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若将三个方程，，的较大根分别记为，，，则下列判断中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为内一点，过点的直线与边，分别交于点，，若点，点恰好分别在，的垂直平分线上，记，，则，满足的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  点，在抛物线上，存在正数，使得且时，都有，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算：______．

12.  因式分解：           ．

13.  设，，，若，，则 ______ ．

14.  如图，在中，，，若四边形的面积为，则 ______ ．

15.  箱子内有分别标示号码的球所有球只有标号不同，其他都相同，每个号码各颗，总共颗已知小明先从这个箱内摸出颗球且不将球放回箱内，这颗球的号码分别是，，现小亮打算从这个箱内剩下的球中抽出颗球，若箱内剩下的每颗球被他抽出的机会均等，则小亮抽出的球的号码，与小明抽出的颗球中任意一颗球的号码相同的概率是______ ．

16.  如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连结，设．
则 ______ 用含的代数式表示
若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
以下是圆圆计算的解答过程．
解：．
圆圆的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．

18.  本小题分
某校以“我最喜爱的体育类型”为主题进行随机抽样调查，调查的项目有：球类、跳跃类、耐力类及其它项目每位同学仅选一项，根据调查数据绘制了如下不完整的统计表和统计图：
学生最喜爱的体育类型统计表

分别求出统计表中的值和扇形统计图中的值．
若该校共有名学生，估计有多少名学生最喜爱耐力类．

19.  本小题分
如图，在中，，点在边上移动点不与点，重合，点，分别在边和上，且满足．
求证：∽．
若，且，，求的值．

20.  本小题分
若函数与图象有一个交点的横坐标是．
求的值；
若与图象的另一个交点的坐标为，求的值．

21.  本小题分
如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线交于点，过点作交的延长线于点，连结，．
求证：四边形是菱形．
若，，
求四边形的周长．
连结，求的长．

22.  本小题分
已知二次函数，
若，求函数的对称轴和顶点坐标．
若函数图象向下平移一个单位，恰好与轴只有一个交点，求的值．
若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．

23.  本小题分
已知是正方形边上任意一点，

将沿翻折至，
如图，若点恰好在对角线上，，求的长．
如图，若点是中点，若，射线与边交于点，求四边形的面积．
如图，点是边上任意一点，记与的交于点，射线与射线交于点，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值即可直接求解．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为的形式，关键是注意小数点移动的方向和位数来确定和的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：年后的年龄三人都加，
中位数、众数、平均数均增加，方差不变，
故选：．
根据平均数，平均数、中位数、方差几个方面综合来说明并进行判断．
本题考查中位数、众数、方差平均数的意义和计算方法，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与相切于点，
，
 ，是的直径，
，
，
．
故选：．
根据切线得到，结合勾股定理即可得到答案．
本题考查圆切线性质及勾股定理，解题的关键是根据切线得到直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过第一、二、三象限，
，，
一次函数的图象过第一、三、四象限，
，，且，
、，
故A不符合题意；
B、，
故B符合题意；
C、，
故C不符合题意；
D、，
故D不符合题意；
故选：．
根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由关系式可知：
，
由，得出两件商品减元，以及由得出买两件打折，
故可以理解为：买两件商品可先减元，再打折，最后不到元．
故选：．
根据，可以理解为买两件减元，再打折得出总价小于．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知最后打折，再得出不等式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的顶点坐标是，经平移后，得到其对应点，
平移方式为向左平移个单位，向上平移个单位，
的内部任意一点坐标是，则其对应点坐标一定是．
故选：．
先由点的平移得到平移方式，再根据平移方式得到答案即可．
此题考查的是坐标与图形变化平移，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设函数解析式为，
当、，时，分别对应的方程为：，，，
，
函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为，顶点为，对称轴右侧，随的增大而增大，
，
，
故选：．
设函数解析式为，再根据函数的图象和性质，即可得到答案．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，利用函数思想处理方程问题是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，点恰好分别在，的垂直平分线上，
，，
，，
，，，，，，，
．
故选：．
根据三角形内角和定理可得，，根据平角定义可得，结合点，点恰好分别在，的垂直平分线上可得，，结合三角形内外角关系可得，，即可得到答案．
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
函数的对称轴为直线，
根据二次函数的对称性可得，当时，
当，，
即，
存在正数，使得且时，都有，
或，
解得：或，
故选：．
先由二次函数的解析式求得函数的对称轴，然后求得当时，的取值范围，再由列出关于的不等式组，进而得到的取值范围．
本题考查了二次函数的对称性，一元一次不等式组的计算，解题的关键是熟练应用二次函数的对称性．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用负指数幂的性质计算得出答案．
此题主要考查了负指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：原式．
故答案为：  

13.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，
，，
，
解得，
．
故答案为：．
先分别计算，的平方，再根据完全平方公式展开，相减后可求，从而求解．
本题考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
：：，：：，
，
：：，：：，
四边形的面积为，
：：，
解得：，
．
故答案为：．
由题意可得：：，：：，则可求得：：，：：，则可求得，即可求解．
本题主要考查三角形的面积，平行线的性质，解答的关键是由题意得出：：，：：．
 

15.【答案】 

【解析】解：小明先从这个箱内摸出颗球的号码分别是，，，
箱内剩下的颗球的号码分别为，，，，，
小亮抽出的球的号码，与小明抽出的颗球中任意一颗球的号码相同的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式即可得出结论．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：，．
，
，
；
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌．
，
，，
∽，
，
，
负值舍去，
，
，
∽，
．
根据已知条件得到，于是得到；
连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形 到现在即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：有错误，正确解答如下：



． 

【解析】根据整式减法的运算法则进行判断，再利用整式减法的运算法则进行正确计算即可．
此题考查了分式的减法，熟练掌握分式减法法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：由图表可得，
样本容量为：人，
跳跃类占比，
，
，
，
解得：；
由得，名，
答：大约有名学生最喜爱耐力类． 

【解析】根据球类数量及占比求出样本容量，结合跳跃类占比求出，利用总数减去其他类别数量即可得到，即可得到，即可得到答案；
利用总数乘以耐力类的占比即可得到答案．
本题考查统计图表共存求待定系数值问题及根据频率估算整体情况，解题的关键是根据统计表与图共有项求出样本容量．
 

19.【答案】证明：，
，
，，
，
∽；
解：∽，
，
，
，且，，
，
，
． 

【解析】由得到，由三角形外角的性质得到，已知，得到，即可得到结论；
由∽得到，则，由，且，，得到，求出，即可得到的值．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：将点的横坐标是代入一次函数得，
，
再将代入反比例函数可得，
，
解得：；
由得，
，，
联立可得，
，
解得：，，经检验符合题意，
，
与图象的另一个交点的坐标为，
，，
． 

【解析】将点的横坐标是代入一次函数求出，将点的坐标代入反比例函数求解即可得到答案；
联立函数求解代入求解即可得到答案；
本题考查一次函数与反比例函数交点问题，解题的关键是熟练掌握交点坐标满足两个函数代入求解．
 

21.【答案】证明：点为的中点，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形．
，，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为．
在中，，
，
点为的中点，
． 

【解析】先证明≌，则，则四边形是平行四边形，又，即可得到四边形是菱形；
由四边形是菱形得到，，则，由得到，由勾股定理得，即可得到四边形的周长；由勾股定理得到，由点为的中点即可得到答案．
本题考查了菱形判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线，；
函数图象向下平移一个单位得，
与轴只有一个交点，
，
解方程得：；
抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，
为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为，
，
，
抛物线为：，
，在抛物线上，
，，
，
，
，是这条抛物线上不同的两点，
，

． 

【解析】将代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；
由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出的值，再将，代入如抛物线的解析式得到，即可得到答案．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质．
 

23.【答案】解：四边形是正方形，
，，，
设，
，
，
将沿翻折至，
≌，
，
，即，
解得，
即；

分别延长，，交于点，

四边形是正方形，
，，，
，
点是中点，
，
，≌，
解得：，
，
将沿翻折至，
≌，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
四边形的面积；

证明：设，，，则，
，
四边形是正方形，
，
，，
∽，
，
，
又，
∽，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即． 

【解析】由正方形的性质可得，，，设，根据折叠的性质表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；
分别延长，，交于点，根据正方形的性质，折叠的性质及三角形的面积公式可求出，设，则，，利用勾股定理建立方程，求出，再根据四边形的面积求解即可；
设，，，则，可得，根据正方形的性质，相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，折叠的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．