2024年浙江省杭州市西湖区中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法．有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：，
所给的各数中，最小的数是．
故选：D．
2. 据杭州市统计局公布的数据显示，2023年我市围绕高水平重塑全国数字经济第一城，奋力推进数字经济创新提质“一号发展工程”，全年数字经济核心产业增加值5675亿元，比上年增长8.5%，占全市GDP比重达28.3%，创历史新高．数据“5675亿”用科学记数法表示为（ ）
A. 5675×108B. 56.75×109
C. 5.675×1011D. 0.5675×1012
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，将一个数表示为的形式，其中，n是整数，原数大于10时，n是正整数，n的值等于小数点移动的位数
【详解】解：5675亿．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：选项A，不是同类项，不能够合并，选项A错误；选项B，根据同底数幂的乘法法则可得，选项B错误；选项C，根据同底数幂的除法法则可得，选项C正确；选项D，根据幂的乘方运算法则可得，选项D错误；故选C.
考点：整式的运算.
4. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放（直尺一边经过点，若，则的度数是（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线的性质可得，根据补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数．本题考查了平行线的性质、补角和三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选：A．
5. 如表是杭州市今年3月份某周7天“日最高气温统计表”（单位：℃）．在这组数据中，以下说法正确的是（ ）
A. 平均数为17，众数为18
B. 中位数为18，众数为18
C. 平均数为18，中位数为14
D. 中位数为14，方差为7
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了众数，平均数，方差和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：这组数据的平均数是，
中位数是18，众数是18，
方差．
故选：B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，直角坐标系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交的延长线于点，结合正方形的性质可证明，得到，，再根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交的延长线于点，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，，
点的坐标为．
故选：B．
7. 如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可．
【详解】解：设的半径是r，
∵弦，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径长为10．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题．根据一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，得到a的正负与，即可判断二次函数的图象．
【详解】解：∵一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，
，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
故选：A．
9. 在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（ ）（其中）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，则米，先解得到米，再解得到（米），则，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
设米，则米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴，
解得：，
∴（米），
∴气球离地面的高度约为，
故选：D．
10. 已知二次函数（，a，m是常数）的图象上有两点，（其中）（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，可知对称轴为，当时，抛物线开口向上，当时，取，此时，即可判断A；当时，，此时，即可判断B；当时，抛物线开口向下，当时，取，此时，即可判断C；当时，，此时，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵（，a，m是常数），
∴时，，，
∴二次函数（，a，m是常数）的对称轴为直线，
当时，当时，
当，即时，，则；
故A选项错误，不合题意；
当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴；故B选项正确，符合题意；
当时，当时，
∴当时，
则；故选项C错误，不合题意；
当时，当时，
∴，
∴，
则；故选项D错误，不合题意．
故选：B．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式： _______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查已知概率求数量、以及解分式方程．根据概率公式列出分式方程求解，即可解题．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
经检验是所列分式方程的根，
，
故答案为：2．
13. 已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是，
，
一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是，
方程组的解．
故答案为：．
14. 如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，长为半径画弧，得，连接，，则图中扇形的面积为 __________________．（结果保留π）

【答案】
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质，三角函数值，扇形的面积，根据六边形的性质得出，，，作于点H，则 ，，再根据扇形面积公式得出答案．
【详解】解：六边形是正六边形，

∴，，，
∴，，
∴，
作于点H，则 ，，
扇形的面积＝．
故答案为：．
15. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若的顶点都在格点上，则的值为 ____________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接格点、，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得到，，再根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：连接格点、．
由题图知： ， ，， ．
，，
．
是直角三角形．
．
．
在中，．
故答案为：．

16. 如图，在中，点D在边上，，与边交于点E，连接．记，的面积分别为，．
（1）若是的中位线，则________；
（2）若，，则线段的长为 __________________．

【答案】 ①. ②. ．
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的中位线的性质，相似三角形的判定以及性质．
（1）由中位线的定义得出，，进而可得出，由相似的性质了得出，由已知条件可得出，进而可得出．
（2）过点A作于点G，交于点F，过点E作于点H，先证明，由平行的性质可得出，设，由可得出解出m．即可得出，进而可解出．
【详解】解：（1）∵是的中位线，
∵，，
∴，
∴，
即，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点A作于点G，交于点F，过点E作于点H，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，即，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
三.解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算．
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用；
（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）设，进而解关于的一元一次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
即被污染的数字是．
18 请阅读以下材料，并解决下列问题：
（1）求本次被抽样调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，求“．亚运公园”对应的圆心角度数．
（3）该校八年级学生人数为500人，请你估计八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数．
【答案】（1）30人，见解析
（2）
（3）65人
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，解题关键是理解题意，准确从条形统计图和扇形统计图中获得所需信息．
（1）利用想去“．植物园”学生人数其所在百分比，即可取得本次被抽样调查的学生人数；计算想去亚运公园的人数，然后补画条形统计图即可；
（2）利用想去“．亚运公园”的人数占比，即可求得答案；
（3）利用八年级学生人数意向前往“．白塔公园”的学生人数占比，即可求得答案．
【小问1详解】
解：（人），
即本次被抽样调查的学生人数为100人；
则想去亚运公园人数为：（人），
故可补全的条形统计图如下图所示：
【小问2详解】
“．亚运公园”对应的圆心角度数：，
答：“．亚运公园”对应的圆心角度数为；
【小问3详解】
（人），
答：八年级意向前往“．白塔公园”的学生人数为65人．
19. 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．
有以下四个结论：
①；
②；
③；
④．
（1）以上四个结论中正确的是 ．（只需填写序号）
（2）请从（1）中任选一个结论进行证明．
【答案】（1）①②③ （2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）①证和全等可对结论①进行判断；②由和全等得，进而得，由此可依据“”判定和全等，进而可对结论②进行判断；③由和全等得，再根据和全等得，由此可对结论③进行判断；④根据已知条件无法判定，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案；
（2）选择①进行证明时，可依据“”判定和全等；选择②证明时，先证和得，进而得，再依据“”判定和全等即可；选择③证明时，先证和全等得，再证和全等得，由此即可得出结论．
【小问1详解】
解：在和中，
，
，
，则①正确；
在和中，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，则②正确；
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，则③正确；
对于④，根据已知条件无法判定，故结论④不正确；
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③；
小问2详解】
证明：选择①证明如下：
在和中，
，
，
；
选择②证明如下：
在和中，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
；
选择③证明如下：
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
20. 已知反比例函数与一次函数（，k是常数）的图象交于点，．
（1）当时，求的值．
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系：
（1）将一次函数与反比例函数关系式联立，整理出一元二次方程，则是该方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解；
（2）将与联立，整理得，根据得出，进而可得点，关于原点对称，推出．
【小问1详解】
解：当时，一次函数为，
令，整理得，
∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
∴；
【小问2详解】
解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴是方程的两个根，
方程整理得，
∵，
∴，
∴，
∴一次函数为（，k是常数），
∴点，关于原点对称，
∴．
21. 如图，在四边形中，，，以为直径的与边交于点，与对角线交于点，连接．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，求的半径．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理得出，求出，由平行线的性质推出，即可得证；
（2）由直角三角形的性质得出，求出，，由圆周角定理得出，求出，再由勾股定理得出的长，即可得解．
【小问1详解】
解：四边形是矩形，理由如下：
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
22. 杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示．
（1）求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式．
（2）求明明的跑步速度．
（3）在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值．
【答案】（1）；
（2）明明的跑步速度为；
（3）t的值为2.25或1.75或或．
【解析】
【分析】（1）设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：，把代入可得k的值，即可求解；
（2）求得当时，，除以明明跑步的时间即可求得明明的跑步速度；
（3）求得明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式，爸爸和明明相距，两个函数值的差的绝对值=0.5，求解即可得到的两个值：明明未出发时，以及明明到达目的地后，都可能与爸爸相距求得另两个的值即可．
本题考查一次函数的应用，得到爸爸和明明离开出发点的路程与时间的函数表达式是解决本题的关键，易错点是要分情况探讨明明和爸爸相距0.5千米时爸爸所用时间的不同情况．
【小问1详解】
解：设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：．
∵经过点，
∴．
解得：．
∴；
答：爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式为：；
【小问2详解】
当时，．
∴明明的跑步速度＝．
答：明明的跑步速度为；
【小问3详解】
设明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式为：．
∵经过点．
∴．
解得：．
∴．
∵爸爸和明明相距，
∴．
∴．
∴或．
解得：或．
明明还未出发时，和爸爸相距0.5千米．
．
解得：t＝．
明明到达目的地后，和爸爸相距0.5千米．
．
．
解得：t＝．
综上：t的值为2.25或1.75或或．
23. 在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（是常数）的图象上．
（1）若，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴．
（2）若，，求b的取值范围．
（3）已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质．
（1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为；即可得函数图象的对称轴为直线；
（2）当时，可得，又，故，得；
（3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，把和代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∵，
∴函数图象的对称轴为直线；
【小问2详解】
当时，，
把和代入得：，
，
，
解得，
∴的取值范围是；
【小问3详解】
把和代入得：
，
，
，
或，
，
或，无解；
或；
把代入，
得：，
，
，
．
24. 综合与实践
【模型探究】
（1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：．
【尝试建构】
（2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移应用】
（3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）证明即可得到结论；
（2）延长交于H，证明，得到，根据直角三角形的性质求出；
（3）如图3，过点E作于F，证得，推出，由得到，证得，设，则，由勾股定理列得，求出，，则，求得．
【详解】（1）证明：∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：如图2，延长交于H，
∵点O为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）如图3，过点E作于F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，熟练掌握各定理是解题的关键．
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
最高气温（℃）
18
20
18
14
18
23
15
调查主题
某中学八年级学生的春游需求
调查人员
该中学数学兴趣小组
调查方法
抽样调查
背景介绍
某中学计划组织八年级学生前往5个杭州市景点中的1个开展春游活动，这5个景点为：．亚运公园；．少儿公园；．植物园；．动物园；．白塔公园
该中学数学兴趣小组针对八年级学生的意向目的地开展抽样调查并出具如下调查报告（注：每位被抽样调查的学生选择且只选择1个意向前往的景点）
报告内容（说明：以下仅展示部分内容）