2020年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷，共26页。

A．﹣50元B．﹣70元C．+50元D．+70元
2．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．对我区中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查
B．对某批次手机的防水功能的调查
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量
D．旅客上飞机前的安检
3．（3分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y3D．（﹣x）2•x3＝x6
5．（3分）如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．米B．80cs27°米C．80tan27°米D．米
6．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，∠OAB＝32°，则∠P的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
7．（3分）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
8．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（ ）
A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米
9．（3分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝ ．
12．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为
13．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
15．（4分）若直线l1：y＝ax+b（a≠0）与直线l2：y＝mx+n （m≠0）的交点坐标为（﹣2，1），则直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝ ．时，四边形BMNQ的面积最大值为 ．
三.全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题，共66分）
17．（6分）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值，
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．
19．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
20．（10分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
21．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）请直接写出a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．
22．（12分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
23．（12分）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
2020年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．（3分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利70元记作+70元，那么亏本50元记作（ ）
A．﹣50元B．﹣70元C．+50元D．+70元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：如果盈利70元记作+70元，那么亏本50元记作﹣50元，
故选：A．
【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
2．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．对我区中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查
B．对某批次手机的防水功能的调查
C．了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量
D．旅客上飞机前的安检
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【解答】解：A、对我区中学生观看电影《我和我的祖国》情况的调查，范围比较广，适宜抽查，故本选项不符合题意；
B、对某批次手机的防水功能的调查，范围比较广，适宜抽查，故本选项不符合题意；
C、了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量，范围比较广，适宜抽查，故本选项不符合题意；
D、旅客上飞机前的安检是精确度要求高的调查，适合普查，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（3分）如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥
【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
【解答】解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y3D．（﹣x）2•x3＝x6
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝2x2，不符合题意；
B、原式＝x2﹣2xy+y2，不符合题意；
C、原式＝x6y3，符合题意；
D、原式＝x2•x3＝x5，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5．（3分）如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．米B．80cs27°米C．80tan27°米D．米
【分析】作BC⊥AC于C，根据余弦的定义解答即可．
【解答】解：如图，作BC⊥AC于C，
由题意得，∠ABC＝27°，
在Rt△ABC中，cs∠ABC＝，
∴BC＝AB•cs∠ABC＝80cs27°（米），
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．（3分）如图，PA，PB是⊙O的切线，∠OAB＝32°，则∠P的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
【分析】根据三角形的内角和可求得∠AOB度数，再根据四边形的内角和，可求得∠P的度数．
【解答】解：连接OB，
∵∠OAB＝32°，
∴∠AOB＝180°﹣2×32°＝116°，
又∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣116°＝64°．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理，切线性质，四边形内角和定理的应用，熟记切线的性质定理是解题的关键．
7．（3分）为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．
【解答】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住关键词，选准不等号．
8．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（ ）
A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
9．（3分）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根
【分析】利用函数图象平移即可求解．
【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，
故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，用平移的方法求解是此类题目的基本解法．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【分析】连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知BM＝EM，说明M点在BE的垂直平分线GH上，当M与N点重合时DM＝DN的值最小，根据矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和相似三角形的性质求得DN便可．
【解答】解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN⊥GH于点N，连接EH，过H作HK⊥AD，与AD的延长线交于点K，
∵∠ABC＝∠PEF＝90°，M是PF的中点，
∴BM＝EM，
∴无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，
∴M点在GH上，
当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，
设EH＝x，
∵GH是BE的垂直平分线，
∴BH＝EH＝x，
∴∠EHG＝∠BHG，
∵GD∥BH，
∴∠EHG＝∠BHG＝∠G，
∴EG＝EH＝x，
∵∠ABH＝∠BAK＝∠K＝90°，
∴四边形ABHK为矩形，
∴AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，
∵AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，
∴AE＝2，ED＝6，
∴EK＝AK﹣AE＝x﹣2，
∵EH2﹣EK2＝KH2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝62，
解得，x＝10，
∴GE＝x＝10，
GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，
∵OE∥DN，
∴△GEO∽△GDN，
∴，
∴DN＝EO，
∵，
∴EO＝BE＝，
∴，
即线段DM长的最小值为，
解法二：建立如图坐标系，过点F作FJ⊥AD于J．则D（8，6），E（2，6），设P（0，a），
由△PAE∽△EJF，可得JF＝18﹣3a，
∴F（20﹣3a，0），
∵PM＝MF，
∴M（10﹣0.5a，0.5a），
∴DM＝＝，
∴当a＝﹣＝时，DM的值最小，此时DM＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，难度较大，要用的辅助线较多，关键在确定DM最小值的位置．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝ （a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
12．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为 4
【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，
∴＝4，
解得：x＝3，
则将数据重新排列为1、3、4、5、7，
所以这组数据的中位数为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可k的值．
【解答】解：由题意可知：（﹣2）2﹣4k≥0且k≠0．
解得k≤1且k≠0．
由于k为非负整数，
∴k＝1
故答案是：1．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 230° ．
【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C＝130°，再根据∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝230°．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
15．（4分）若直线l1：y＝ax+b（a≠0）与直线l2：y＝mx+n （m≠0）的交点坐标为（﹣2，1），则直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为 （1，3） ．
【分析】把（﹣2，1）分别代入y＝ax+b（a≠0）与y＝mx+n （m≠0），得到关于﹣2a+b＝1，﹣2m+n＝1，进而得出2（a﹣m）＝b﹣n，然后解y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）所组成的方程组求得x、y的值即可．
【解答】解：把（﹣2，1）分别代入y＝ax+b、y＝mx+n得﹣2a+b＝1，﹣2m+n＝1，
∴2（a﹣m）＝b﹣n，
解
①﹣②得（a﹣m）（x﹣3）+（b﹣n）＝0，
∴x﹣3＝﹣2，
∴x＝1，
把x＝1代入y＝a（x﹣3）+b+2得y＝﹣2a+b+2＝1+2＝3，
∴直线l3：y＝a（x﹣3）+b+2（a≠0）与直线l4：y＝m（x﹣3）+n+2（m≠0）的交点坐标为（1，3），
故答案为（1，3）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝ ．时，四边形BMNQ的面积最大值为 ．
【分析】先由勾股数可得BC的长，再由△QBM∽△ABC列出比例式，用含x的式子表示出QM和BM，然后由平行线的性质得比例式，解出MN，最后由三角形的面积公式得出四边形BMNQ的面积表达式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
∴MN＝5﹣x，
∴四边形BMNQ的面积为：（5﹣x+x）×x＝﹣+，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．
故答案为：，．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值及四边形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三.全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题，共66分）
17．（6分）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值，
【分析】方程两边都乘以x﹣1得到整式方程，解之求得x＝m﹣2，结合x＝2求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵x＝2，
∴m﹣2＝2，
解得m＝4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF＝CE．
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵BF＝DE，
∴AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
19．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；
（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．
【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．
【点评】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
20．（10分）如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB＝∠DBC求出答案；
（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°，
∵∠DBC＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴BD＝CD；
（2）解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°，
故＝＝＝π，
答：的长为π．
【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．
21．（10分）如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）请直接写出a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积．
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．
∴a＝﹣2．
∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．
将x＝0代入上式，得y＝2．
∴b＝2．
（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），
由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．
将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．
如图1，连接BC、AD．
∵B（0，2）、C（2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2．
∵A（1，0）、D（1，4），
∴AD⊥x轴，AD＝4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．
22．（12分）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．
（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；
（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；
（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由；若不为定值，试确定其取值范围．
【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标；
（2）先求顶点坐标，代入解析式可求b的值；
（3）先求点A，点B，点C，点D坐标，由四边形的面积公式可求S，即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝
∴
∴ 或
∴交点坐标为（1，6），（6，1）
（2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b），
∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b）
∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，
∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b
∴b＝±﹣3
（3）∵
∴，
∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b）
∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3）
∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b
∴a＝1+b
∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∵与x轴交于点C，点D，
∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）
∴x＝1，x＝﹣
∴点C（﹣，0），点D（1，0）
∵a＝1+b，
∴b＝a﹣1
∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0）
∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝，
∴＝＝（﹣3）2
∵a＝1+b，a＞2b＞0，
∴1+b＞2b
∴0＜b＜1，
∴1＜a＜2
∴2＜＜
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，理解“次生函数”和“再生函数”的定义是解决本题的关键．
23．（12分）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
【分析】设AM＝a，AN＝b．由＝m，＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式＝，求解即可；
②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对应边成比例得出＝，那么BG＝b．由BG∥AN列出比例式＝，整理即可得出m，n之间的关系．
【解答】解：设AM＝a，AN＝b．
∵＝m，＝n，
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN．
在△OBH与△OCN中，
，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b．
∵BH∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
（2）若＝k（k≠0），
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN．
在△OBG与△OCN中，
，
∴△OBG∽△OCN，
∴＝，即＝k，
∴BG＝b．
∵BG∥AN，
∴＝，即＝，
∴1﹣m＝，
∴n＝k﹣km+1．
【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作出AC的平行线构造全等或相似是解题的关键．
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日期：2021/3/18 9:41:05；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471