2020年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）最接近的整数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）下列计算结果是正数的是（　　）
A．1﹣2 B．﹣π+3 C．（﹣3）×（﹣5）2 D．|﹣|÷5
3．（3分）若点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
4．（3分）九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖
成绩
24
25
26
27
28
29
30
人数
▄
▄
2
3
6
7
9
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
5．（3分）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若a＜0＜b，则（　　）
A．1﹣a＜1﹣b B．a+1＜b﹣1 C．a2＜b2 D．a3＜a2b
7．（3分）为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（　　）
A．200（1+x）＝500
B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500
C．200（1+x）2＝500
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝500
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（　　）

A． B． C． D．2
9．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　）
A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0
B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大
C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连接AC，BD相交于点P，连接AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+BC2＝4；
②sin∠DAC＝；
③若AC＝BD，则DE＝OE；
④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）若有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（4分）一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，投掷后，朝上一面的数字是4的概率为　 　．
13．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AF分别交l1，l2，l3于点A，D，F，直线BE分别交l1，l2，l3于点B，C，E，两直线AF，BE相交于点O．若AD＝DF，OA＝OD，则＝　 　．

14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积　 　．（保留π）

15．（4分）函数y＝（3﹣m）x+n（m，n为常数，m≠3），若2m+n＝1，当﹣1≤x≤3时，函数有最大值2，则n＝　 　．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连接FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝　 　

三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．某校艺术节共开展了四项活动：器乐（A），舞蹈（B），绘画C），唱歌（D），每名学生只能参加一项活动．学校对学生所选的项目进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人；
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有500名学生，请估计选择“绘画”的学生有多少人？
18．（8分）解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：
解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．
∴原方程的解为x＝4．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
19．如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连接AE，BD相交于点P，连接CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．
（1）求证：四边形BPEQ为平行四边形；
（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：四边形BPEQ为菱形．

20．（10分）如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k＞0），两函数图象交于（4，1），（﹣2，n）两点．
（1）求a，k的值；
（2）若y2＞y1＞0，求x的取值范围．

21．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连接EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连接AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．
（1）求α，β之间等量关系；
（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．

22．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．
（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；
（2）求证：y1，y2的图象必有交点；
（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
23．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连接BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．
（1）若∠A＝50°，求的度数；
（2）若k＝，求的值；
（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．


2020年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）最接近的整数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由＜＜，结合被开方数的距离大小即可判断．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
而被开方数7距离9更接近，
∴最接近的整数是3，
故选：C．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数的大小的思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．（3分）下列计算结果是正数的是（　　）
A．1﹣2 B．﹣π+3 C．（﹣3）×（﹣5）2 D．|﹣|÷5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1，不符合题意；
B、原式＜0，不符合题意；
C、原式＝﹣3×25＝﹣75，不符合题意；
D、原式＝，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了实数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）若点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，则m+n＝（　　）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点可得m、n的值，进而可得m+n的值．
【解答】解：∵点A（1﹣m，2）与点B（﹣1，n）关于y轴对称，
∴1﹣m＝1，n＝2，
解得：m＝0，n＝2，
∴m+n＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
4．（3分）九年级1班30位同学的体育素质测试成绩统计如表所示，其中有两个数据被遮盖
成绩
24
25
26
27
28
29
30
人数
▄
▄
2
3
6
7
9
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（　　）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】解：这组数据中成绩为24、25的人数和为30﹣（2+3+6+7+9）＝3，
则这组数据中出现次数最多的数29，即众数29，
第15、16个数据分别为29、29，
则中位数为29，
故选：C．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
5．（3分）在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】作出草图，根据∠A的正切值设出两直角边分别为k，2k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设AC＝2k，BC＝k，
则AB＝＝k，
∴sinB＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．
6．（3分）若a＜0＜b，则（　　）
A．1﹣a＜1﹣b B．a+1＜b﹣1 C．a2＜b2 D．a3＜a2b
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）∵a＜0＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，故A错误．
（B）当a＝﹣1，b＝1时，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
即a+1＝b﹣1，故B错误．
（C）当a＝﹣3时，b＝1时，
∴a2＝9，b2＝1，
即a2＞b2，故C错误．
（D）∵a＜0＜b，
∴a2＞0，a﹣b＜0
∴a3﹣a2b＝a2（a﹣b）＜0，故D正确．
故选：D．
【点评】本题不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
7．（3分）为促进消费，杭州市政府开展发放政府补贴消费的“消费券”活动，一超市的月销售额逐步增加．据统计，2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元．若3，4月平均每月的增长率为x，则（　　）
A．200（1+x）＝500
B．200（1+x）+200+（1+x）2＝500
C．200（1+x）2＝500
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝500
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设3，4月平均每月的增长率为x，根据“2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元”，可得出方程．
【解答】解：设3，4月平均每月的增长率为x，
又知：2月份销售额为200万元，4月份销售额为500万元，
所以，可列方程为：200（1+x）2＝500；
故选：C．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED＝3，EC＝1，则EB＝（　　）

A． B． C． D．2
【分析】根据∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，即可判定△ABC∽△BEC，再根据相似三角形的性质，即可得到BC的长，进而得到BE的长．
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，DE＝AC＝3，
∴∠C＝∠BEC，
又∵∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BEC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，即BC2＝CE×CA，
∴BC＝＝，
∴BE＝，
故选：A．

【点评】本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
9．（3分）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（　　）
A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0
B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大
C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2
D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，
∴该函数的对称轴为直线x＝，
∴0＜＜，
∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；
∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；
∴若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得1＜m≤，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连接AC，BD相交于点P，连接AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD2+BC2＝4；
②sin∠DAC＝；
③若AC＝BD，则DE＝OE；
④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【分析】①错误．证明AC2+BC2＝AB2＝4即可判断．
②正确．证明∠DAC＝∠CBP即可解决问题．
③正确．推出△AOD是等边三角形，即可解决问题．
④正确．利用全等三角形的性质证明DE＝BC，再利用三角形的中位线定理证明BC＝2OE即可解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BD2＝AB2＝4，
∵AC＞AD，
∴AD2+BC2＜4，故①错误，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，
∵AE⊥OE，
∴＝，
∵AC＝BD，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∵AE⊥OD
∴DE＝OE，故③正确，
∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE＝BC，
∵OE∥BC，AO＝OB，
∴AE＝EC，
∴BC＝2OE，
∴DE＝2OE，故④正确．
故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）若有意义，则x的取值范围是　x≥﹣1　．
【分析】二次根式的被开方数x+1是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+1≥0，
解得，x≥﹣1；
故答案是：x≥﹣1．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（4分）一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，投掷后，朝上一面的数字是4的概率为　　．
【分析】用数字是4的个数除以数字的总个数即可．
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，每个面分别标有1，1，2，3，4，4，数字是4的一共2个，
∴投掷后，朝上一面的数字是4的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AF分别交l1，l2，l3于点A，D，F，直线BE分别交l1，l2，l3于点B，C，E，两直线AF，BE相交于点O．若AD＝DF，OA＝OD，则＝　　．

【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【解答】解：∵AD＝DF，OA＝OD，
∴，
∵l1∥l2∥l3，AD＝DF，OA＝OD，
∴＝，
故答案为．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
14．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上的点，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为π，则阴影部分的面积　﹣　．（保留π）

【分析】首先由弧长公式求得∠EOD＝60°；然后利用△BEO的性质得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答．
【解答】解：如图，连接OE，
∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，
∴OE⊥BE．
设∠EOD＝n°，
∵OD＝CD＝1，弧DE的长为π，
∴＝π．
∴∠EOD＝60°．
∴∠B＝30°，∠COE＝120°．
∴OB＝2OE＝2，BE＝．
∴BC＝OB+OC＝3．
∴AC＝BC＝．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE
＝××3﹣﹣×1×＝﹣．
故答案是：﹣．

【点评】考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
15．（4分）函数y＝（3﹣m）x+n（m，n为常数，m≠3），若2m+n＝1，当﹣1≤x≤3时，函数有最大值2，则n＝　﹣　．
【分析】需要分类讨论：3﹣m＞0和3﹣m＜0两种情况，结合一次函数图象的增减性解答．
【解答】解：①当3﹣m＞0即m＜3时，当x＝3时，y＝3（3﹣m）+n＝2，
整理，得3m﹣n＝7．
联立方程组：．
解得．
②当3﹣m＜0即m＞3时，当x＝﹣1时，y＝﹣（3﹣m）+n＝2，
整理，得m+n＝5．
联立方程组：．
解得（舍去）．
综上所述，n的值是﹣．
故答案是：﹣．
【点评】此题主要考查了一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连接BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连接FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝　2﹣2　

【分析】由对折的性质得∠BCM＝∠BFM，BC＝BF，再由FM∥CD，证明∠BFM＝ABF，从而得△ABF∽△BCA，由相似三角形的性质求得AB，进而由勾股定理得AF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
∵FM∥CD，
∴FM∥AB，
∴∠ABF＝∠BFM，
由折叠的性质得，BF＝BC＝4，∠BFM＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠ACB，
∴△ABF∽△BCA，
∴，
∴，
即，
∴，
∴＝＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，关键是证明三角形相似．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．某校艺术节共开展了四项活动：器乐（A），舞蹈（B），绘画C），唱歌（D），每名学生只能参加一项活动．学校对学生所选的项目进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　100　人；
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有500名学生，请估计选择“绘画”的学生有多少人？
【分析】（1）用选择D项目的人数和所占的百分比即可求出答案；
（2）用总人数减去其它项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以“绘画”的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：40÷40%＝100（人），
故答案为：100；

（2）参加B项活动的人数是：100﹣30﹣20﹣40＝10（人），补全统计图如下：


（3）根据题意得：
500×＝100（人），
答：选择“绘画”的学生有100人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
18．（8分）解分式方程＝﹣2圆圆的解答如下：
解：去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化简，得x＝4经检验，x＝4是原方程的解．
∴原方程的解为x＝4．
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【分析】圆圆的解答有误，原因是去分母时﹣2没有乘以（x﹣2），写出正确的解答即可．
【解答】解：圆圆的解答错误，
正确解答为：
方程整理得：＝﹣﹣2，
去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．如图，已知AC∥DF，点B在AC上，点E在DF上，连接AE，BD相交于点P，连接CE，BF相交于点Q，若AB＝EF，BC＝DE．
（1）求证：四边形BPEQ为平行四边形；
（2）若DP＝2BP，BF＝3，CE＝6．求证：四边形BPEQ为菱形．

【分析】（1）证出四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，得出AE＝BF，AE∥BF，BD∥CE，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出AE＝BF＝3，BD＝CE＝6，求出QE＝BP＝BD＝2，证△APB∽△EPD，求出EP＝AE＝2，得出BP＝EP，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC∥DF，AB＝EF，BC＝DE，
∴四边形ABFE和四边形BCED是平行四边形，
∴AE＝BF，AE∥BF，BD∥CE，
∴四边形BPEQ为平行四边形；
（2）由（1）得：四边形ABFE、四边形BCED和四边形BPEQ为平行四边形，
∴AE＝BF＝3，BD＝CE＝6，
∵DP＝2BP，
∴QE＝BP＝BD＝2，
∵AC∥DF，
∴△APB∽△EPD，
∴＝＝，
∴EP＝AE＝2，
∴BP＝EP，
∴四边形BPEQ为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．（10分）如图，已知一次函数y1＝ax+b（a≠0）与反比例函数y2＝（k＞0），两函数图象交于（4，1），（﹣2，n）两点．
（1）求a，k的值；
（2）若y2＞y1＞0，求x的取值范围．

【分析】（1）先把（4，1）代入y2＝求出k得到反比例函数解析式为y2＝，再利用反比例函数解析式求出n，然后根据待定系数法求一次函数解析式，从而得到a的值；
（2）在第一象限内，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把（4，1）代入y2＝得k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y2＝，
把（﹣2，n）代入y2＝得﹣2n＝4，解得n＝﹣2，
把（4，1），（﹣2，﹣2）代入y1＝ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x﹣1，
∴a的值为，k的值为4；
（2）当x﹣1＝0，解得x＝2，则一次函数y1＝ax+b（a≠0）图象与x轴的交点为（2，0）
当2＜x＜4时，y2＞y1＞0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连接EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连接AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．
（1）求α，β之间等量关系；
（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．

【分析】（1）由平行线的性质与等腰三角形的性质证明∠AED＝∠AEG，再在△BGF中，由三角形的内角和求得α、β之间的等量关系；
（2）设BF＝x，用x表示EF、FG、BG，进而根据AG＝EG列出x的方程求得x便可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，∠CBG＝∠ABC＝90°，
∴∠AED＝∠GAE，
∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴∠AED＝∠AEG＝α，
∴∠G＝180°﹣2α，
∵∠BFG+∠G＝90°，
∴180°﹣2α+β＝90°，
∴2α﹣β＝90°；

（2）如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠ABC＝∠CBG＝90°，
设BF＝x，
∵△ADE≌△ABF，
∴DE＝BF，
∴CE＝CF＝2﹣x，
∴EF＝2x，∠CFE＝∠BFG＝45°，
∴BG＝BF＝x，
∴FG＝＝x，
∵AG＝EG，
∴2+x＝2x+x，
解得，x＝2﹣2，
∴．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的性质，第（2）题关键是列出x的方程．
22．设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．
（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；
（2）求证：y1，y2的图象必有交点；
（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．
【分析】（1）把已知点坐标代入两个代数式中建立方程组进行解答便可；
（2）转化证明y1＝y2时，方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，进而转化证明一元二次方程的根的判别式非负便可；
（3）由y1＝y2，求出x1与x2，进而求得n，由n的值，求得x3的值，进而得x3﹣x1的值．
【解答】解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得
，
解得，，
∴一次函数为y1＝x+3，
二次函数y2＝x2+2x+1，

（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，
∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，
∴y1，y2的图象必有交点；

（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，
化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，
（x+a）（x﹣1）＝0，
∵a＞0，x1＜x2，
∴x1＝﹣a，x2＝1，
∴n＝1+a+b，
当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，
化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，
（x+a+1）（x﹣1）＝0，
解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，
∴x3＝﹣a﹣1，
∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，第（2）题关键转化证明一元二次方程根的判别式的正负，第（3）题关键求得x2的值．
23．如图，等腰△ABC两腰AB，AC分别交⊙O于点D，E，点A在⊙O外，点B，C在⊙O上（不与D，E重合），连接BE，DE．已知∠A＝∠EBC，设＝k（0＜k＜1）．
（1）若∠A＝50°，求的度数；
（2）若k＝，求的值；
（3）设△ABC，△ADE，△BEC的周长分别为c，c1，c2，求证：1＜≤．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，可求∠DBE＝15°，即可求解；
（2）通过证明△ABC∽△BCE，可求S△BEC＝S△ABC，设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，AE＝m，通过证明△ADE∽△ABC，可求S△ADE＝S△ABC，可求S△BDE＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，即可求解；
（3）由相似三角形的性质可得，＝1﹣k2，可得＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵∠A＝∠EBC＝50°，
∴∠DBE＝15°，
∴的度数＝30°；
（2）∵∠A＝∠EBC，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S△BEC＝S△ABC，
设BC＝2m，则AC＝AB＝3m，CE＝m，
∴AE＝AC﹣CE＝m，
∵四边形BCED是圆内接四边形，
∴∠AED＝∠ABC＝∠ACB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴S△BDE＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BEC＝S△ABC，
∴；
（3）由（2）可得△ABC∽△BCE，
∴＝k，，
∴BC＝kAB，CE＝kBC＝k2•AB，
∴AE＝AC﹣EC＝（1﹣k2）•AB，
由（2）可得△ADE∽△ABC，
∴＝1﹣k2，
∴＝＝k+1﹣k2＝﹣（k﹣）2+，
∵0＜k＜1
∴1＜﹣（k﹣）2+≤
∴1＜≤．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，利用参数表示相似三角形的相似比是本题的关键．
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日期：2021/3/18 9:40:45；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.com；学号：24117471