2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．m4+m3＝m7 B．（m4） 3＝m7
C．2m5÷m3＝m2 D．m （m﹣1）＝m2﹣m
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径 P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（　　）

A．3 B． C．4 D．无法确定
4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：
每天用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
4
5
3
1
则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．5，2 C．3，2 D．3，5
5．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
6．（3分）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（　　）

A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4
7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（　　）

A．18° B．28° C．36° D．38°
8．（3分）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点
B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点
C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动
D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（　　）

A．5+3 B．2+2 C．7 D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝　 　．
12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为　 　．
13．（4分）分式方程的解是　 　．
14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为　 　．
15．（4分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是　 　．
16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　 　．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝1，b＝2．
18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有　 　人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有　 　人．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．
19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．
（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝，求AE的长．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．

21．（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1＝的图象上，且sin∠BAC＝
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）有一直线y2＝kx+10与y1＝交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．
22．（12分）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．
（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；
（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；
（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
23．（12分）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．


2020年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．m4+m3＝m7 B．（m4） 3＝m7
C．2m5÷m3＝m2 D．m （m﹣1）＝m2﹣m
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、m4与m3，无法合并，故此选项错误；
B、（m4） 3＝m12，故此选项错误；
C、2m5÷m3＝2m2，故此选项错误；
D、m （m﹣1）＝m2﹣m，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径 P为⊙O外一点，PC切⊙O于C，PB与⊙O交于A、B两点．若PA＝1，PB＝5，则PC＝（　　）

A．3 B． C．4 D．无法确定
【分析】求出半径的长，求出PO长，根据切线的性质求出∠PCO＝90°，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：∵PA＝1，PB＝5，
∴AB＝PB﹣PA＝4，
∴OC＝OA＝OB＝2，
∴PO＝1+2＝3，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO＝90°，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和切线的性质，能熟记切线的性质的内容是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：
每天用零花钱（单位：元）
1
2
3
4
5
人数
2
4
5
3
1
则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（　　）
A．3，3 B．5，2 C．3，2 D．3，5
【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：这15名同学每天使用零花钱的众数为3元，
中位数为3元，
故选：A．
【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
【分析】根据题意列出方程求出答案．
【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：
+＝1．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．
6．（3分）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（　　）

A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，即＝，
解得，DE＝3.6，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（　　）

A．18° B．28° C．36° D．38°
【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，
∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝18°，
∵AE⊥BD，
∴∠BFA＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（3分）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．
9．（3分）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点
B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点
C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动
D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大
【分析】利用△＝（2k﹣1）2+3＞0可对A进行判断；利用点（﹣，﹣）满足抛物线解析式可对B进行判断；先求出抛物线顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则根据二次函数图象上点的坐标特征可对C进行判断；先表示出抛物线的对称轴方程，然后利用二次函数的性质可对D进行判断．
【解答】解：A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；
B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（﹣，﹣），所以B选项错误；
C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，所以C选项正确；
D、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣k，抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（　　）

A．5+3 B．2+2 C．7 D．
【分析】延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．

∵BE＝BA，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，
∴∠BAD＝∠E，
∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ADB∽△EDA，
∴，
∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，
∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，
∴16+4a﹣32＝a2﹣72，
解得a＝2+2或2﹣2（舍弃）．
∴AB＝2+2，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝　3（x+y）2　．
【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【解答】解：3x2+6xy+3y2，
＝3（x2+2xy+y2），
＝3（x+y）2
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为　　．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果，
∴2个球颜色不同的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）分式方程的解是　x＝﹣1　．
【分析】观察分式方程得最简公分母为x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣1），得
2x＝x﹣1，
解得x＝﹣1．
检验：把x＝﹣1代入x（x﹣1）＝2≠0．
∴原方程的解为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为　πcm　．
【分析】先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：设扇形的半径为Rcm，
∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，
∴＝12π，
解得：R＝2，
∴弧长为＝π（cm），
故答案为：πcm．
【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．
15．（4分）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7，则a的取值范围是　7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1　．
【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为＜x≤4，
∵关于x的不等式组的所有整数解的和为7，
∴当时，这两个整数解一定是3和4，
∴，
∴7≤a＜9，
当时，整数解是﹣2，﹣1，0，1，3和4，
∴﹣3，
∴﹣3≤a＜﹣1，
∴a的取值范围是7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．
故答案为：7≤a＜9或﹣3≤a＜﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　或　．
【分析】根据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴BC＝＝12，
根据题意，分两种情况：
①如图，

若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，
CD＝ED，
连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝5，
BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
设CD＝DE＝x，
则BD＝BC﹣CD＝12﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+82＝（12﹣x）2
解得x＝，
∴CD＝；
②如图，

若∠EDB＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
∠AEF＝∠B，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝，
设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝5﹣x，BD＝12﹣x，
∴＝，
解得x＝．
∴CD＝．
综上所述，CD的长为或．
【点评】本题考查了翻折变换，综合运用勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质解答，解题关键是根据题意分两种情况讨论．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）先化简再求值：（﹣）•，其中a＝1，b＝2．
【分析】先把分式化简后，再把a、b的值代入求出分式的值．
【解答】解：原式＝•
＝
＝a﹣b，
当a＝1，b＝2时，
原式＝1﹣2＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练化简分式是解题的关键．
18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有　10　人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有　20　人．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．
【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出女生最喜欢“踢毽子”项目的人数，然后根据扇形统计图中的数据，可以计算出男生最喜欢“乒乓球“项目的人数；
（2）根据（1）中的结果，可以得到女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据和该校有男生450人，女生400人，可以计算出该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．
【解答】解：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7＝10（人），男生最喜欢“乒乓球“项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）＝50×40%＝20（人），
故答案为：10，20；
（2）由（1）知，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，
补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）450×28%+400×
＝126+72
＝198（人），
答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生一共有198人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．
（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝，求AE的长．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD，根据平行线的性质求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）连接BE，根据圆周角定理求出∠B＝∠ADE，解直角三角形求出即可．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵∠AED＝45°，
∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠AED＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDO＝∠AOD＝90°，
即OD⊥CD，
∵OD过O，
∴直线CD与⊙O相切；

（2）解：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵由圆周角定理得：∠B＝∠ADE，
sin∠ADE＝，
∴sin∠ADE＝sinB，
∵sinB＝，
∵⊙O的半径为12，
∴＝，
解得：AE＝18．
【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，平行线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得出∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；由∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出＝，求出DE＝12．证出AE⊥AD，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6，
∴AE＝＝＝6．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键判定三角形相似．
21．（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1＝的图象上，且sin∠BAC＝
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标；
（3）有一直线y2＝kx+10与y1＝交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．
【分析】（1）本题需先根据C点的坐标在反比例函数y1＝的图象上，从而得出k的值，再根据且sin∠BAC＝，得出AC的长；
（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC＝∠DCB，从而得出CD的长，根据点B的位置即可求出正确答案；
（3）解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（2，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴6＝，解得k＝12，
∵sin∠BAC＝
∴sin∠BAC＝＝，
∴AC＝10；
∴k的值和边AC的长分别是：12，10；
（2）①当点B在点A右边时，如图，

作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCB，
又∵sin∠BAC＝，
∴tan∠DAC＝，
∴＝，
又∵CD＝6，
∴BD＝，
∴OB＝2+＝，
∴B（，0）；
②当点B在点A左边时，如图，

作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠B+∠A＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠DAC＝∠DCB，
又∵sin∠BAC＝，
∴tan∠DAC＝，
∴＝，
又∵CD＝6，
∴BD＝，BO＝BD﹣2＝，
∴B（﹣，0）
∴点B的坐标是（﹣，0），（，0）；
（3）∵k＝12，
∴y2＝12x+10与y1＝，
解得，，，
∴M（，18），N点（﹣，﹣8），
∴﹣≤x＜0或x≥时，y2≥y1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
22．（12分）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．
（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；
（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；
（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；
（2）画出函数图象，根据函数图象作答；
（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，进而得m的最小值和n的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，
把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，
∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；

（2）解方程组得或，
∴B（1，3），
作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：

由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1，
∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1；

（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，
∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；
v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，
∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，
∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．
23．（12分）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝时，求的值．

【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△CBE．得出∠A＝∠ECB；
（2）得出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，证明△ABD∽△CBE，则∠BAD＝∠BCE＝45°，可得出结论；
（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，设DM＝MC＝a，得出DN＝2a，CE＝a，证明△CEF∽△NDF，可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．
∵∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
∴∠A＝∠ECB；
（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，
∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴，
∴，
∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴CE∥AB；
（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，

∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠DCM＝45°，
∴∠MDC＝∠DCM＝45°，
∴DM＝MC，
设DM＝MC＝a，
∴a，
∵DN∥AB，
∴△DCN为等腰直角三角形，
∴DN＝DC＝2a，
∵tan∠DEC＝，
∴ME＝2DM，
∴CE＝a，
∴，
∵CE∥DN，
∴△CEF∽△NDF，
∴．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．
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日期：2021/3/18 9:40:20；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.com；学号：24117471