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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置图片课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置图片课件ppt，共20页。PPT课件主要包含了练习1，所以两圆相交，几何方法，代数方法等内容，欢迎下载使用。
一、我们知道，在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想，那就是：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来，就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？ 这节课我们讲直线的代数形式，那就是直线的方程。这是很新鲜的东西，在笛卡尔之前是没有的。
解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因． 首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的局限性越来越明显了．例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置．所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决．实践要求人们研究变动的量．解析几何便是在这样的社会背景下产生的．
总结：在当时以前的几何是定性研究不是定量研究，不是精确的计算。同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗？没有。在空间向量与立体几何中有精确的计算，但向量比解析几何出现得更晚。
其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时的几何与代数都相当完善了．实际上，几何学早就得到比较充分的发展，《几何原本》建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究．但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法．而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科．到16世纪末，韦达(F．Vieta， 1540—1603)在代数中有系统地使用字母，从而使这门学科具有了一般性．它在提供广泛的方法论方面，显然高出希腊人的几何方法．于是，从代数中寻求解决几何问题的一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势．实际上，韦达的《分析术引论》(In artem analyticem isagge)等著作中的一些代数问题，便是为解几何题而列出的．
在初中平面几何中我们学习了圆与圆的位置关系。我们知道初中的平面几何是属于笛卡尔时代之前的数学知识。当笛卡尔把几何与代数联系起来时，我们看看用代数角度研究圆与圆的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景，并且圆与圆的位置关系可以深入的精确的计算吗？这在平面几何中是不可能的事情，在平面几何中判断圆与圆的位置关系是比较肤浅的，数据往往是人造的，比如直接给出圆心距和半径。我们知道笛卡尔之前几何、代数是相互分离，老死不相往来的。
两圆位置关系的代数表示
同学们这些结论需要死记硬背吗？
只要让圆从外离到内含，那两圆位置关系自然呈现。
圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,设
(1) 12 =8厘米;
(2) 12 =7厘米;
(3) 12 =5厘米;
(4) 12 =1厘米;
(5) 12 =0.5厘米;
圆O1和圆2的位置关系怎样?
学习数学就是记住公式然后去套吗？
答：画个图即可判断,这是初中里平面几何即笛卡尔时代前的知识。就算有数据进行计算也是肤浅的人造的不是精确的计算。
已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系？
1.将两圆的方程化为标准方程；
2.求两圆的圆心坐标和半径R、r；
3.求两圆的圆心距d；
4.比较d与R-r，R＋r的大小关系.
这是初中里判断两圆位置关系的方法。但到了高中因为笛卡尔、费马发明了解析几何，所以距离、线长可以精确的计算。这是笛卡尔、费马的功劳
能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位置关系？
利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数：
因为在笛卡尔前代数与几何分离，所以判断两圆位置关系只有几何法即初中的方法。笛卡尔后代数和几何联系在一起，所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或不同的风景吗？有没有多了个新的判定方法？以上就是新方法。
已知圆C1:x2+y2-6x+8y=0和圆C2:x2+y2+2x-3=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系。
画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？
分析：思路1:圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
因为在笛卡尔前代数与几何分离，所以判断两圆位置关系只有几何法即初中的结论。笛卡尔后代数和几何联系在一起，所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或不同的风景吗？有没有多了个新的判定方法？
将C1的方程化成标准方程，得
将C2的方程化成标准方程，得
圆心坐标（3，-4），半径为5。
圆心坐标（-1，0），半径为2。
圆C1与C2的连心线的长为：
圆C1与圆C2的半径长之和为：
r1+r2=5+2=7
圆C1与圆C2的半径长之差为：
r1-r2=5-2=3
思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的△=0,它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当△<0时，两圆是什么位置关系？
思路2:借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.
反思：方法2是初中判断两圆位置关系的方法。到了高中因为笛卡尔、费马发明了解析几何，所以距离、线长可以精确的计算，这是笛卡尔、费马的功劳。在初中平面几何里是做不到的。
3.已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:(1)相切; (2)相交; (3)外离; (4)内含?
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3<|C1C2|<5,即35,即a>5时,两圆外离.(4)当|C1C2|<3,即0
例2.已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图,以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y),由|MA|= |MB|,得
反思：这是圆的第二定义，即阿波罗尼斯圆。动点到两定点的距离之比是常数，且这常数不等于1，则这动点轨迹是圆。由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼斯发现。
例3已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
①-②,得x-y+4=0.∵A,B两点坐标都满足此方程,∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长：
当两圆交点好求、运算量小时可以用方法1。如果不能因式分解，那就用韦达定理及两点间距离公式的变形。
两圆相切时，两圆圆心的连线过切点；（若两圆相交时，两圆圆心连线垂直平分公共弦）
问两圆方程相减得到什么？
答：得到是一条直线，那这条直线到底是什么东西？
注：这些结论只需了解，因为有助于理解新知识。
答：叫做两个圆的根轴。根轴的特征是：上面任意一个点到两圆的切线长相等。
小结：判断两圆位置关系
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
消去y（或x）
几何方法虽然是古老方法，但可以精确计算圆心距和半径却是从笛卡尔开始
在平面几何中不可能有代数方法，这是笛卡尔的功劳。是相对于几何法多了的新方法。
判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
相交弦及圆系方程问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
一、我们知道，在笛卡尔之前，几何和代数是老死不相往来，各自分开。是笛卡尔让几何代数联系在一起。也就是通过直角坐标系。笛卡儿向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。 其实笛卡尔曾经有个伟大构想，那就是：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。只要把这个方程解出来，就解决了任何问题。我们知道按当代科技这个构想是不能实现的。比如化学、生物学科。就算是数学也不能都归结为方程问题。 把几何问题归结成代数问题这是个很新鲜的想法。 比如点有个坐标，但直线由点组成，所以直线是否有代数形式，这很新鲜的。我们知道在几何中两直线由相交、平行，那反应在代数上会是怎么回事，也是很新鲜的。在几何中有圆，那圆的代数形式是怎样的，在几何中直线与圆有好几种关系，这几种关系如果从代数角度讲会有新鲜的结论吗？ 这节课我们讲直线的代数形式，那就是直线的方程。这是很新鲜的东西，在笛卡尔之前是没有的。
解析几何是17世纪最伟大的数学成果之一，它的产生有着深刻的原因． 首先，生产力的发展对数学提出了新的要求，常量数学的局限性越来越明显了．例如，航海业的发展，向数学提出了如何精确测定经纬度的问题；造船业则要求描绘船体各部位的曲线，计算不同形状船体的面积和体积；显微镜与望远镜的发明，提出了研究透镜镜面形状的问题；随着火器的发展，抛射体运动的性质显得越来越重要了，它要求正确描述抛射体运动的轨迹，计算炮弹的射程，特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星位置．所有这些问题都难以在常量数学的范围内解决．实践要求人们研究变动的量．解析几何便是在这样的社会背景下产生的．
总结：在当时以前的几何是定性研究不是定量研究，不是精确的计算。同学们平面几何或立体几何中有精确的计算吗？没有。在空间向量与立体几何中有精确的计算，但向量比解析几何出现得更晚。
其次，解析几何的产生也是数学发展的大势所趋，因为当时的几何与代数都相当完善了．实际上，几何学早就得到比较充分的发展，《几何原本》建立起完整的演绎体系，阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》则对各种圆锥曲线的性质作了详尽的研究．但几何学仍存在两个弱点，一是缺乏定量研究，二是缺乏证题的一般方法．而当时的代数则是一门注重定量研究、注重计算的学科．到16世纪末，韦达(F．Vieta， 1540—1603)在代数中有系统地使用字母，从而使这门学科具有了一般性．它在提供广泛的方法论方面，显然高出希腊人的几何方法．于是，从代数中寻求解决几何问题的一般方法，进行定量研究，便成为数学发展的趋势．实际上，韦达的《分析术引论》(In artem analyticem isagge)等著作中的一些代数问题，便是为解几何题而列出的．
在初中平面几何中我们学习了圆与圆的位置关系。我们知道初中的平面几何是属于笛卡尔时代之前的数学知识。当笛卡尔把几何与代数联系起来时，我们看看用代数角度研究圆与圆的位置关系看看有什么新鲜的结论或有什么不同的风景，并且圆与圆的位置关系可以深入的精确的计算吗？这在平面几何中是不可能的事情，在平面几何中判断圆与圆的位置关系是比较肤浅的，数据往往是人造的，比如直接给出圆心距和半径。我们知道笛卡尔之前几何、代数是相互分离，老死不相往来的。
两圆位置关系的代数表示
同学们这些结论需要死记硬背吗？
只要让圆从外离到内含，那两圆位置关系自然呈现。
圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,设
(1) 12 =8厘米;
(2) 12 =7厘米;
(3) 12 =5厘米;
(4) 12 =1厘米;
(5) 12 =0.5厘米;
圆O1和圆2的位置关系怎样?
学习数学就是记住公式然后去套吗？
答：画个图即可判断,这是初中里平面几何即笛卡尔时代前的知识。就算有数据进行计算也是肤浅的人造的不是精确的计算。
已知两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何根据圆的方程判断圆与圆的位置关系？
1.将两圆的方程化为标准方程；
2.求两圆的圆心坐标和半径R、r；
3.求两圆的圆心距d；
4.比较d与R-r，R＋r的大小关系.
这是初中里判断两圆位置关系的方法。但到了高中因为笛卡尔、费马发明了解析几何，所以距离、线长可以精确的计算。这是笛卡尔、费马的功劳
能否根据两个圆的公共点个数判断两圆的位置关系？
利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数：
因为在笛卡尔前代数与几何分离，所以判断两圆位置关系只有几何法即初中的方法。笛卡尔后代数和几何联系在一起，所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或不同的风景吗？有没有多了个新的判定方法？以上就是新方法。
已知圆C1:x2+y2-6x+8y=0和圆C2:x2+y2+2x-3=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系。
画出圆C1与圆C2以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？
分析：思路1:圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
因为在笛卡尔前代数与几何分离，所以判断两圆位置关系只有几何法即初中的结论。笛卡尔后代数和几何联系在一起，所以除了单单几何法还有什么新鲜的判断方法或不同的风景吗？有没有多了个新的判定方法？
将C1的方程化成标准方程，得
将C2的方程化成标准方程，得
圆心坐标（3，-4），半径为5。
圆心坐标（-1，0），半径为2。
圆C1与C2的连心线的长为：
圆C1与圆C2的半径长之和为：
r1+r2=5+2=7
圆C1与圆C2的半径长之差为：
r1-r2=5-2=3
思考：在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的△=0,它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当△<0时，两圆是什么位置关系？
思路2:借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和r1+r2或两半径的差的绝对值|r1-r2|的大小关系，判断两圆的位置关系.
反思：方法2是初中判断两圆位置关系的方法。到了高中因为笛卡尔、费马发明了解析几何，所以距离、线长可以精确的计算，这是笛卡尔、费马的功劳。在初中平面几何里是做不到的。
3.已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:(1)相切; (2)相交; (3)外离; (4)内含?
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.(2)当3<|C1C2|<5,即3
例2.已知圆O的直径AB=4,动点M与点A的距离是它与点B的距离的 倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图,以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y),由|MA|= |MB|,得
反思：这是圆的第二定义，即阿波罗尼斯圆。动点到两定点的距离之比是常数，且这常数不等于1，则这动点轨迹是圆。由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼斯发现。
例3已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
①-②,得x-y+4=0.∵A,B两点坐标都满足此方程,∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长：
当两圆交点好求、运算量小时可以用方法1。如果不能因式分解，那就用韦达定理及两点间距离公式的变形。
两圆相切时，两圆圆心的连线过切点；（若两圆相交时，两圆圆心连线垂直平分公共弦）
问两圆方程相减得到什么？
答：得到是一条直线，那这条直线到底是什么东西？
注：这些结论只需了解，因为有助于理解新知识。
答：叫做两个圆的根轴。根轴的特征是：上面任意一个点到两圆的切线长相等。
小结：判断两圆位置关系
两圆心坐标及半径（配方法）
圆心距d（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
消去y（或x）
几何方法虽然是古老方法，但可以精确计算圆心距和半径却是从笛卡尔开始
在平面几何中不可能有代数方法，这是笛卡尔的功劳。是相对于几何法多了的新方法。
判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
相交弦及圆系方程问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
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