高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用巩固练习

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6.4.3 正余弦定理的实际运用(精练)【题组一 正余弦定理的综合运用】1．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知的内角，，的对边分别是，，，且．(1)求的大小；(2)若的面积等于，，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵，由余弦定理得，∵，∴．(2)因为，所以，又，故，于是，∴，，所以．2．(2020·霍邱县第一中学高一期末)在中，分别为内角所对的边长，，.(1)求角的大小；(2)求的面积.【答案】(1) ；(2) 【解析】(1)由内角和定理得，因为，故，因为，所以.所以根据正弦定理得：，因为，，所以，所以.(2)由(1)得，，所以.3．(2020·三门峡市外国语高级中学高一期中)已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.(1)求角的大小；(2)若边长，求的周长最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，根据正弦定理得，，即，由余弦定理得.又，所以；(2)，，，由正弦定理得，可得：，，，由可得，可得..因此，的周长的最大值为.4(2020·四川高一月考(文))已知的内角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.【答案】(1)；(2)有最大值，此时为等腰三角形.【解析】(1)由正弦定理及已知得到，又，所以，从而，所以，又在中，，所以.又，所以.(2)由(1)及正弦定理知道，所以，.所以.因为，所以.从而.因为，所以当时，有最大值，此时，为等腰三角形.5．(2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.(1)求角B；(2)求周长的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，由正弦定理，得，∴，即，又，∴，又得.(2)在中，，由正弦定理，，.6．(2020·安徽和县·高一期末(理))在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，得，由余弦定理得．又为的内角，所以. (2)由正弦定理得，即有，. 所以因为，所以，所以，所以即.故的取值范围为．7．(2020·浙江高一期末)在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，结合余弦定理，可得：，∴，∴又∵，∴(2)因为，，所以，所以，所以∵是锐角三角形，所以，解得∴,∴∴,∴综上，的取值范围是8．(2020·浙江高一期末)在中，角，，的对边分别为，，，.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)因为， 由正弦定理可得，即为.由余弦定理可得，因为，所以.(Ⅱ)在中由正弦定理得，又，所以，，所以， ，，因为为锐角三角形，所以，且，所以且，所以且，所以，所以，所以周长的取值范围是.9．(2020·四川省成都市盐道街中学高一期中)已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．(1)求．(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)，由正弦定理可得：，，，，，，，．(2)由，，由余弦定理得，，即有，，故的面积为．10．(2021·湖南益阳市·高二期末)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题(2)中，并完成问题的解答．问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若________，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)，由正弦定理可得，又，，又由已知，，由．(2)①若选择，由余弦定理得：，，，．②若选择，由余弦定理得：，整理得：，解得：，或(舍去)，．③若选择，则，由正弦定理得：，．．【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】1．(2020·浙江)已知函数.(1)求函数的最小正周期和最小值；(2)中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.【答案】(1)最小正周期为；最小值为.(2)，【解析】(1).所以的最小正周期，的最小值为.(2)因为，所以，又，，所以，得，因为，由正弦定理得，由余弦定里得，又，所以，.2．(2020·河南新乡市)已知函数．(1)求函数在上的最大值和最小值；(2)在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)．【解析】(1)(3分) ， ， ， 所以的最大值为，最小值为．(2)因为，即 ， ， ， 又在中，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，即，所以．3．(2021·柳州市第二中学高二期末(理))已知函数，.(1)求函数的最小值和最小正周期；(2)已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.【答案】(1)函数的最小值为，最小正周期为；(2)，.【解析】(1)由于函数，故函数的最小值为，最小正周期为.(2)中，由于，又，所以，∴.又向量与共线，所以.由正弦定理得，且.故有，化简可得，又，∴，∴.又，可得，解得，.4．(2020·江西南昌市·高一月考)已知，函数.(Ⅰ)求函数零点；(Ⅱ)若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(Ⅰ)由条件可知，所以函数零点满足,由，解得． (Ⅱ)由正弦定理得，由(Ⅰ)，而，得，又，得，代入上式化简得： 又在锐角中，有，则有，即：.5．(2021·江西新余市·高三期末(文))已知函数中，角的对边分别为，且．(1)求的单调递减区间；(2)若，求三角形中的值．【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题又故的单调递减区间为(2)由题意知，又，故，依题意，在三角形中，由余弦定理故.6．(2020·全国)已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.【答案】(1)，；(2)①，；②.【解析】解：(1)，最小正周期．因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为．(2)因为，又，所以，所以，①又因为，由正弦定理可得，，②由①②可得，．由正弦定理可得，所以，又所以所以7．(2020·山东)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1由解得：，故函数的单调递增区间为．(2)，，又，，，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【题组三 正余弦定理在几何中的运用】1．(2020·湖北武汉市·高一期末)如图，在中，点在边上，，，．(Ⅰ)求边的长；(Ⅱ)若的面积是，求的值．【答案】(1)2(2)【解析】(Ⅰ)在中，设，则由余弦定理得：即：，解之得：即边的长为2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得为等边三角形，作于，则，∴，故 ，，∴在中，由余弦定理得：∴在中由正弦定理得：  ，∴，∴2．(2020·江西)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝，求AB的长．【答案】(1) ；(2)4.【解析】(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.因为D∈(0，π)，所以sin D＝＝.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2.因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.3．(2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考)在中，D为上一点，，，，.(1)求角B；(2)求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以；(2)在中，，所以因为，所以，在中，由余弦定理得，所以.4．(2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试)如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值. 【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为，且，所以，在中，,所以,所以，所以 因为在中，，所以 因为是的内角所以.(2)在中，，因为是等腰直角三角形，所以，，所以平面四边形的面积 因为，所以 所以当时，， 此时平面四边形的面积有最大值5．(2020·福建泉州市·高一期末)在平面四边形中，，.(1)求；(2)若，，求的面积.【答案】(1)；(2)；【解析】(1)由题，在中，根据正弦定理，，因为，．所以，，．(2)由(1)可知，．，中，，，，中，，，解得或(舍，的面积．【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】1．(2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，，，，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，∴，解得：.故选：B.2．(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，由题意，∴，在中，，即，．∴，(米/秒)．故选B．3．(2020·邵东市第一中学高一月考)如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=(    )A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米【答案】D【解析】依题意，过点作于，于，，米，米，依题意，在中，，，在中，，，在中，米，米，故选：D．4．(2020·雅安市教育科学研究所高一期末)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(  )A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得 ，所以．故选A．【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型．(1)如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量，及角，由余弦定理可得 ．(2)如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得．(3)如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．                                图1                             图2                               图35．(2020·成都市实验外国语学校(西区)高一期中)如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.【答案】【解析】由题意知：，，，则在中，利用余弦定理知：，代入数据，得，解得：，则从到所用时间为，则，即.故答案为：.6．(2020·和县第二中学高一期中(文))和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.【答案】30【解析】设塔高，在中，由已知可得，在中，由已知，在中，由余弦定理可得，即，解得(负值舍去)．故答案为：307．(2020·广东云浮市·高一期末)在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．
 【答案】【解析】由题设可知，在中，，，所以，由正弦定理得，即，解得．故答案为：.8．(2020·山东济宁市·高一期末)如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.【答案】【解析】在中，因为，，，由余弦定理得，整理得，解得或(舍去)，在中，因为，，所以，由正弦定理得： ，所以.故答案为：9．(2020·山东临沂市·高一期末)如图，在四边形ABCD中，已知，，，，19．(2020·苏州新草桥中学高一期中)如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：(1)轮船D与观测点B的距离；(2)救援船到达D点所需要的时间．【答案】(1)海里；(2)1小时.【解析】(1)由题意可知：在中，，，则，由正弦定理得：，由，代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.(2)在中，，，，由余弦定理得：，，，即该救援船到达点所需的时间小时.