高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练

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6.4.2 正余弦定理(精讲)考法一  余弦定理【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)已知在中，，，，则c等于(    )A． B． C． D．5(2)(2020·江西南昌市)在锐角中，若，，，则(    )A． B． C． D．(3)(2020·全国高一课时练习)已知钝角三角形的三边长分别为，则的取值范围是(    )    A．(-2,6) B．(0,2) C．(0,6) D．(2,6)【答案】(1)A(2)D(3)D【解析】(1)在中,,,,由余弦定理得,所以.故选:A(2)因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得又因为,由余弦定理可得 代入可得所以 故选:D(3)由题：钝角三角形的三边长分别为解得：.故选：D【举一反三】1．(2020·全国高一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，右a=1，c=2，∠B=600，则b=(    )A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】因为，，，则由余弦定理可得．故选：．2．(2020·全国高一课时练习)在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】中设,由余弦定理可得.因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,故选:B.3．(2020·北京人大附中高一期末)在中，，，，则等于(    )A． B．3 C． D．21【答案】A【解析】因为，，，所以，即，故选：A.考法二  正弦定理【例2】(1)(2020·辽宁锦州市·高一期末)在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则角为(    )A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°(2)(2020·湖北黄冈市·高一期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，，则(    )A． B． C． D．(3)(2020·全国高一课时练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于(　　)A． B． C． D．2【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1)由正弦定理得得得，，，得或，故选：B．(2)因为，所以为钝角，，为锐角．由得，所以．故选：B．(3)A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则2．故选：D．【举一反三】1．(2020·和县第二中学)在中，，则(    )A． B．或 C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，，，或.故选：B.2．(2020·吉林长春市实验中学)在中，若，，，则等于(    )A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选：D.3．(2020·合肥市第十一中学高一期末)已知△ABC中，，则b等于(    )A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】由正弦定理，得.故选：D．4．(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】，．，．．由正弦定理可得：，．故选：．5．(2020·湖南岳阳市)在中，若，则角的值为(    ).A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以故选：B考法三  正余弦定理综合运用【例3-1】(射影定理)(2020·安徽和县)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝(    )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，故选：C.【例3-2】(2020·深圳市)在中，角，，的对边分别为，，，若，则(    )A． B． C． D．或【答案】B【解析】因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又因为，所以，故选：B【例3-3】(判断三角形形状)(2020·江苏省)在中，，，则一定是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】中，，, 故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D.【例3-4】(三角形个数判断)(2020·进贤县第一中学)若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据正弦定理可知 ，代入可求得 因为，所以 若满足有两个三角形ABC则 所以 所以选C【举一反三】1．(2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末)在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】因为所以由正弦定理可得，因为，所以因为角A为锐角，所以故选：A2．(2020·四川成都市·双流中学高一开学考试)在中，若，则是(    )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】将，利用正弦定理化简得：，把代入得：，整理得：，即或，，为三角形内角，，，即，则为直角三角形，故选：A.3．(2020·安徽宿州市·高一期末)设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为(    )A．2 B．4 C． D．8【答案】A【解析】∵，∴，化为：.∴，∵，∴，∵，由正弦定理可得，解得，即外接圆的半径为2.故选：A.4．(2020·浙江湖州市)在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则　　A． B． C． D．【答案】D【解析】，由余弦定理可得：，可得，，，可得：，可得：，，由，可得：，，．故选D．5．(多选)(2020·广东高一期末)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是(    )A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解       B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解       D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解【答案】ABC【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.6．(2020·四川省武胜烈面中学校高一期中)若满足，的有两个，则边长的取值范围为A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以 ,因此 ，选D.考法四  三角形的面积公式【例4】(1)(2020·全国高一)在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____.（2）(2020·重庆高一开学考试)在中，，，，则的面积等于      （3）(2020·广东深圳市·宝安第一外国语学校高一期中)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为      【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)根据正弦定理可知，所以，,，所以是等腰三角形，且，.故答案为：(2)由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以． 又，所以．(3)因为A＝ ，b＝1，，所以，所以，由余弦定理得，所以【举一反三】1．(2020·湖南长沙市·高一期末)在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则(   )A．  B．  C．  D． 【答案】D【解析】依题意，解得，由余弦定理得.故选：D.2．(2020·全国高一课时练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.【答案】【解析】∵，由余弦定理可得，化简得，即，∵，∴.又∵a=4，b=6，代入，得，解得或(舍去)，∴.故答案为:3．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高一月考)在中，已知，，的外接圆半径为1，则(    )A． B． C． D．6【答案】C【解析】已知 A=，得sinA= ，∵ b=1，R=1，根据正弦定理，得 ，sinB= ,∵ ，易知B为锐角，∴B= ,∴C= 根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.4．(2020·全国高一专题练习)在中，，，其面积为，则等于( )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由于，故答案为C.