专题07 一元二次方程-备战2022年中考数学母题题源解密（广东专用）（原卷版）

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专题07 一元二次方程【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）方程 x2-4x=0的实数解是 ____．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文2】（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文3】（2021·广东深圳·中考真题）已知方程的一个根是1，则m的值为________．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文4】（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k的取值范围.   一、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式  一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.5. 一元二次方程根的判别式的逆用    在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.6.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 7.一元二次方程的根与系数的关系的应用    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩ (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．8、列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.（2）解决应用题的一般步骤：　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）　　　答(写出答案，切忌答非所问).要点： 列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题；　　　二是把握问题中的等量关系；　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 9、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.  2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)  3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.  传播问题 设平均一个人传染了x个人．则第一轮后共有（1+x）个人患了流感，第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患了流感. 7.计数（握手问题） 例：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，可得到方程可化为x2－x－30=0解得 x1=6,    x2=－5     (舍去)所以应邀请6个球队参加比赛.          8.除了上述实际问题还有以下问题（例题分析）1．如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）A． B．C． D．2．参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，共签署了45分合同，则有（    ）家公司参加了商品交易会．A．8 B．9 C．10 D．113．某一航空公司有若干个机场，每两个机场之间都开辟一条航线，一共开辟了6条航线，则这个航空公司共有飞机场（      ）个．A．3 B．4 C．5 D．64．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ）A．8人 B．9人 C．10人 D．11人5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝10566．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手（每两人只握一次），大家一共握了21次手，设参加这次聚会的同学共有人，根据题意得方程（　　）A． B． C． D．7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（    ）A．（1＋x）2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝918．一个容器盛满纯药液千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满水，此时容器内的纯药液利下千克，那么每次倒出的药液是（   ）A．千克 B．千克 C．千克 D．千克9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    )A．9人 B．10人 C．11人 D．12人10．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（ ）A．64 B．75 C．53或75 D．64或7511．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元一、单选题1．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    )A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣23．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ）A．化为 B．化为C．化为 D．化为4．若x1、x2是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）A．2020 B．2019 C．2029 D．20285．某工厂第一季度的产值为1000万元，第二季度的产值比第一季度的产值增长了，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了，第三季度的产值为1210万元，则根据题意可列方程（    ）A． B．C． D．6．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　）A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．＝727．关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ）A．两个正根 B．两个负根C．一个正根，一个负根 D．无实数根8．关于x的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（　　）A．当a＝时，方程的两根互为相反数B．当a＝0时，方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根，则a≠0且a≤D．若方程有实数根，则a≤9．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（    ）A．个 B．个 C．个 D．个10．若关于x的不等式组的解集为x≤﹣2，关于x的一元二次方程ax2﹣3x＋1＝0有两个不相等的实数根，则符合条件的整数a有（    ）个．A．3 B．4 C．5 D．611．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面是修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝54012．对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（    ）A． B． C． D．  二、填空题13．方程是关于x的一元二次方程，则_________．14．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是______．15．已知是一元二次方程x2－4x－7＝0的两个实数根，则的值是________．16．若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．17．若x＝3是一元二次方程x2＋mx＋6＝0的一个解，则方程的另一个解是________．18．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划共计持续7天，每天安排4场比赛．则比赛组织者共邀请了______支球队；19．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝kx与反比例函数的图象交于A，B（-2，a）两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y＝交于P，Q两点（Q点在第四象限），若以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是_______．21．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是__________①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则或；③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程 22．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中说法正确的有______（填序号）． 三、解答题23．解方程： （1）4（x﹣1）2＝9；           （2）x2+8x+15＝0；（3）25x2+10x+1＝0；           （4）x2﹣3x+1＝0．24．解方程：（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；（2）x2﹣10x+16＝0；（3）2x2﹣x﹣2＝0．     25．关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．     26．已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求的取值范围．      27．（1）解方程；（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．         28．关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．         29．关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围：（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．         30．某网店销售一种商品，进价为每件30元，市场调查中发现这种商品每天的销售量（件）与每件商品的销售价元（）满足一次函数关系式．当销售价为32元时，每天销售280个；销售价为40元时，每天销售200个．（1）求关于的函数关系式；（2）如果要保证网店每天销售这种商品获利2000元，为使顾客得到更大实惠，那么这种商品的销售单价应定为多少元？                31．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？       32．某建材销售公司在2019年第一季度销售两种品牌的建材共件，种品牌的建材售价为每件元，种品牌的建材售价为每件元（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于万元，求至多销售种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将种品牌的建材在上一个季度的基础上下调种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨；同时，与问中最低销售额的销售量相比，种品牌的建材的销售量增加了，种品牌的建材的销售量减少了结果2019年第二季度的销售额比问中最低销售额增加，求的值．     33．（1）课本情境:如图，已知矩形AOBC，AB＝6cm，BC＝16cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点B运动，与点P同时结束运动，出发　 　时，点P和点Q之间的距离是10cm；（2）逆向发散:当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？（3）拓展应用：若点P沿着AO→OC→CB移动，点P，Q分别从A，C同时出发，点Q从点C移动到点B停止时，点P随点Q的停止而停止移动，求经过多长时间△POQ的面积为12cm2？