专题03 利用分类讨论思想解决多解题 -备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题03 利用分类讨论思想解决多解题
【典型例题】
1．（2021·江西九年级三模）在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
【答案】3或或
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图

∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC=×8=4，
由勾股定理得，AB=

当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD=，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，

解得，x=
故答案为：3或或.
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

【专题训练】
一、 填空题
1．（2021·江西九年级其他模拟）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为____．

【答案】3，2.5或．
【分析】
分三种情况讨论，再利用等腰三角形的性质进行计算即可．
【详解】
若△PAC是等腰三角形，则分以下三种情况：
①PA=AC=3；

②AP=PC时，则∠A=∠ACP，
∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠B=∠BCP，
∴PC=PB，
∴AP=PB=PC，
∴P为AB的中点，
∵在Rt△ABC中，，
∴AP=2.5；

③PC=AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP=2AD，
∵在Rt△ACD中，AD=AC•cosA，
∴AP=2AC•cosA，
又∵在Rt△ABC中，，
∴，

综上所述，AP的长为3，2.5或．
故答案为：3，2.5或．
【点睛】
本题考查等腰三角形，熟练应用等腰三角形的性质及锐角三角函数是解题关键．
2．（2021·江西九年级其他模拟）在矩形中，边是边的中点，点在射线上运动，若为等腰三角形，则线段的长度等于__________．
【答案】或或
【分析】
先根据矩形的性质及中点的定义得出∠BAD=90°，AE=DE=1，那么△ABE是等腰直角三角形，BE=AB=．再分三种情况讨论：①BP=BE；②PB=PE；③EB=EP．
【详解】
∵矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，
∴∠BAD=90°，AE=DE=1，BD=，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=，
若为等腰三角形，则分：三种情况：
①当时，显然BP=，
∴DP=；
②当PB=PE时，如图，连结AP，

∵PB=PE，AB=AE，
∴AP垂直平分BE，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠EAP=45°，
作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∴PM= PN，
设PM=，
∵，
∴，
解得：，
∴PM=PN=，
∵PN⊥AD，
∴∠BND=90°，
∵∠BAD=90°，
∴PN∥AB，
∴∠NPD=∠ABD=90°，
∴DP=；
③当时，
如图，过点作于点，过点作于点，

在中，，
∵AE=ED，EG∥AF，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵EB=EP，EG⊥BP，
∴，
∴．
综上所述，线段DP的长度等于或或．
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，综合性较强，有一定难度．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
3．（2021·江西九年级二模）已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为_____．
【答案】5或或．
【分析】
△ACF是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解.
【详解】
解：△ACF为等腰三角形有三种情况：
①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，

由题意得OB＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得OC＝10，
∵四边形AOBC为矩形，
∴EF＝5；
②如图②，当AF＝AC＝8时，

由①可知OC＝10，
∵四边形AOBC为矩形，
∴AB＝OC＝10，AC∥OB，
∴△AFC∽△BFE，
∴＝＝，
∴BE＝BF＝10﹣8＝2，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝，
∴＝＝4，
∴EF＝CE＝；
③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，

∴AD＝DF，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝＝，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝＝，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DF＝AD＝，AF＝，BF＝DF﹣BD＝，
∵AC∥OE，
∴△AFC∽△BFE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∵CF＝AC，
∴EF＝BE，
∴EF＝．
综上所述，EF的长为5或或．
故答案为：5或或．
4．（2021·江西九年级一模）已知的半径为，是的弦，点在上，．若点到直线的距离为，则的度数为______．
【答案】，或
【分析】
分三种情况：当PC⊥AB交AB延长线上时，当AB垂直平分OP时，当点C在BA延长线上时，利用三角函数，平行四边形的性质分别求出的度数.
【详解】
如图1，
当PC⊥AB交AB延长线上时，过点O作OE⊥AB于E，
∵，
∴AE=,
∵OA=2，
∴cos∠OAE=，
∴∠OAE=30°，
∴OE=1，
∵PC=1，OE⊥AB，PC⊥AB，
∴PC=OE，PC∥OE，
∴四边形PCEO是平行四边形，
∴OP∥AC，
∴∠OPA=∠PAB，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=∠PAB，
∴∠PAB=15°；
如图2，当AB垂直平分OP时，
∵OP=2，∴PC=1，
∵OA=2，OC=1，
∴∠BAO=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=60°，
∴AC⊥OP，
∴∠PAB=30°；
如图3，当点C在BA延长线上时，可知四边形POEC是平行四边形，
∴OP∥AB，
∴∠AOP=∠OAB=30°，
∵OA=OP，
∵∠PAO=75°，
∴∠PAB=∠PAO+∠OAB=105°，
故答案为：，或.

【点睛】
此题考查圆的垂径定理，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数.
5．（2019·江西中考模拟）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
【答案】3.6或4.32或4.8
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，
故答案为3.6或4.32或4.8．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
6．（2019·江西）有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．
【答案】25°或40°或10°
【解析】
【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，
对于△ABD可能有
①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，
∠C=（180°-100°）=40°，
②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，
∠C=（180°-130°）=25°，
③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，
∠C=（180°-160°）=10°，
综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°
故答案为25°或40°或10°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
7．（2021·江西九年级二模）菱形ABCD中，∠ABC=30°，AC⊥BD，点E在对角线BD上，∠AED=45°，P是菱形上一点，若△AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tan∠APE的值为________．
【答案】1或或
【分析】
本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质求解边长比例．
【详解】
∵菱形ABCD，∠ABC=30°，AC⊥BD
∴∠BAC=75°
连接CE，并延长CE交AB于点P1，如下图所示
当∠AED=45°时，∠BAE=30°，△AEC与△AEP1为直角三角形
在△AEP1中，tan∠AP1E=tan60°=
在△AEC（即△AEP2，此时点P2与点C重合）中，tan∠AP2E=tan45°=1
在△AEP3中，∠EAP3=90°，此时CP1∥AP3
设OA=，那么EC=AE=，EP1=
所以AP3=CP1=+，tan∠AP3E==÷(+)=．
综上，tan∠APE的值为1或或．

【点睛】
本题考点极其丰富，利用分类讨论分析题干要保证不重不漏，出现特殊角度时需要辅助线构造特殊三角形，巧妙利用特殊三边比例关系解答本题．
8．（2021·江西九年级二模）菱形中，，点在对角线上，，P是菱形上一点，若是以为直角边的直角三角形，则的值为_____________．
【答案】或1或
【分析】
分三种情况：（1）当点P在AB边上时，如图1，利用菱形的性质和三角形的外角性质可得∠APE=60°，进而可得结果；（2）当点P在BC边上时，如图2，利用菱形的性质和ASA可证△ABE≌△PBE，进一步即可推出∠EAC=∠APE=45°，于是可得结果；（3）当点P在CD边上时，设AP交BD于点G，连接CE、CG、AC，如图3，利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形AECG是正方形，根据菱形的性质易得△APD是底角为30°的等腰三角形，进而可得∠APC=60°，即得∠GCP=30°，在Rt△GCP中，设GP=a，则，则AE、AP可用含a的代数式表示，于是可得答案．
【详解】
解：分三种情况：
（1）当点P在AB边上时，如图1，∵四边形ABCD是菱形，，
∴∠ABD=∠CBD=15°，
∵，
∴∠BAE=30°，
∵∠AEP=90°，
∴∠APE=60°，
∴；

（2）当点P在BC边上时，如图2，∵∠AEP=90°，
∴，∴∠AEB=∠PEB=135°，
又∵BE=BE，∠ABD=∠CBD，
∴△ABE≌△PBE（ASA），
∴BA=BP，EA=EP，
∴P、C两点重合，∠EAC=∠APE=45°，
∴；

（3）当点P在CD边上时，设AP交BD于点G，连接CE、CG、AC，如图3，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，
∴EA=EC，GA=GC，∠CED=∠AED=45°，
∵∠EAP=90°，∴∠AGE=∠AED=45°，
∴AE=AG，
∴AE=EC=CG=GA，
∴四边形AECG是正方形，
∵AD∥BC，，∴∠BAD=150°，
∵∠BAE=30°，∠EAP=90°，∴∠DAP=30°，
∴∠APC=60°，∴∠GCP=30°，

在Rt△GCP中，设GP=a，则，
∴，
∴，
综上，或1或．
故答案为：或1或．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及解直角三角形的有关知识，综合性强，具有一定的难度，全面分类、正确添加辅助线、熟练掌握菱形的性质和正方形的判定和性质是解题的关键．
9．（2021·江西九年级一模）菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为_____．
【答案】6或2或3﹣．
【解析】
【分析】
连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据PE=EH求解即可.
【详解】
解：如图所示：连接EP交AC于点H．

∵菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°．
在△ECH和△PCH中 ，
∴△ECH≌△PCH．
∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH．
∴OC=EC=.
∴EH=3,
∴EP＝2EH＝6．
如图2所示：当P在AD边上时，△ECP为等腰直角三角形，则 ．

当P′在AB边上时，过点P′作P′F⊥BC．
∵P′C＝2，BC＝4，∠B＝60°，
∴P′C⊥AB．
∴∠BCP′＝30°．
∴ ．
∴ ．
故答案为6或2或3﹣．
【点睛】
本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
10．（2018·江西中考真题）在正方形中，=6，连接,,是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ .
【答案】2， ，
【分析】
根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形进行求解即可得.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，AC=BD=6；
如图1，当点P在AD上时，∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，∴AP=2；

如图2，当点P在AB上时， ∵∠PAD=90°，∴AP2+AD2=AP2，
∵AD=6，PD=2AP，∴AP2+36=4AP2，∴AP=；

如图3，当点P在AC上时，作PN⊥AD于点N，设AN=x，则有DN=6-x，PN=x，
由勾股定理则有AP=x，PD=，
∵PD=2AP，
∴=2x，
∴x=或x=（不符合题意，舍去），
∴AP=x=，

当点P在其余边可对角线上时，不存在可以使PD=2AP的点，
综上，AP的长为2， ，，
故答案为2， ，.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形.
11．（2017·江西中考真题）已知点A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A'．若点A'到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点A'的坐标为 ．
【答案】
【详解】
解：由点A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7，
分两种情况：
（1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：
①当A'E：A'F=1：3时，
∵A'E+A'F=BC=4，
∴A'E=1，A'F=3，
由折叠的性质得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=，
∴A'（，3）；
②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）；

（2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2，
∴A'F=EF=BC=2，
由折叠的性质得：OA'=OA=4，
在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，
∴A'（2，﹣2）；
故答案为（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、坐标与图形性质；3、矩形的性质
12．（2016·江西中考真题）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．

【答案】或或5
【详解】
如图所示：
①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=；
②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为或或5；
故答案为或或5．

13．（2021·江西九年级二模）如图，在菱形中，，是上一点，，点在菱形的边上运动（不与顶点重合）．当时，的度数为__________．

【答案】或或 ；
【分析】
利用ABCD为菱形,，，所以∠ABE=30°，∠AEB=105°，所以∠BAE=75°，再分别讨论P在AB上,P在BC上,P在AD上时求出∠AEP的度数即可．
【详解】
解:① 当P在边AB上时，如图；
∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABE=30°，
又∠AEB=105°，
∴∠BAE=180°－105°－30°=45°，
∵AE=EP，
∠APE=PAE=45°，
∴∠AEP=180°－45°－45°=90°；

②当P在边BC上时，
连接CE，
∵ABCD为菱形
∴BD垂直平分AC
∴EA=EC
∴∠EAC=∠ECA，又∠BAC=∠BCA
∴∠BAE=∠BCE=180°－105°－30°=45°，
∵AE=EP，又EA=EC，
∴EP=EC，
∴∠EPC=∠ECP，
设∠BEP=x，
∴∠EPC=∠EBP+∠BEP=30°+x，
∴∠ECP=30°+x，
∴30°+x=45°，
∴x=15°，
∴∠AEP=105°+15°=120°；

③当P在边CD上时，
由②可得EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA=60°－45°=15°，
∴EC=EP，
∴∠ECP=∠EPC=60°+15°=75°，
∴∠CEP=180°－75°－75°=30°，
又∠AED=∠CED=75°，
∴∠PED=75°－30°=45°，
∴∠AEP=75°+45°=120°；

④当P在边AD上时，
∠EAD=15°+60°=75°，
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=75°，
∴∠AEP=180°－75°－75°=30°，
综上可得∠AEP=30°或90°或120°，
故答案为：30°或90°或120°．

【点睛】
本题考查了等腰三角形求角度的分类讨论问题，考查点有菱形的性质，等腰三角形性质，解题关键在于利用菱形及等腰三角形的性质，通过不断的导角求解，注意在求解过程中要进行分类讨论．
14．（2017·江西中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于_________________．

【答案】或或.　
【解析】
试题分析：本题需要根据等腰三角形的性质进行分类讨论，当BE=BP时，则BP=；当BP=PE时，则BP=；当BE=EP时，则BP=.
点睛：本题主要考查的就是等腰三角形的性质以及分类讨论思想的应用.同学们在解答动点产生等腰三角形的时候，我们一定要注意分类讨论思想的应用.将三角形的各边用含未知数的代数式来进行表示，然后找出相等的两条边，从而求出未知数的值得出答案.在解答分类讨论的题目时，一定要注意分类的依据.
15．（2018·江西中考模拟）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为_____．

【答案】8或2或2
【详解】
分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：

∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8；
（2）当AE=EF=4时，如图：

则BE=5﹣4=1，
BF=，
∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2；
（3）当AE=EF=4时，如图：

则DE=7﹣4=3，
DF=，
∴S△AEF=AE•DF=×4×=2；
16．（2019·江西九年级其他模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t=_____s时，△PAB为等腰三角形．

【答案】5或8或
【分析】
求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，
由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；

②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；

③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，

在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，
AP2=32+（4﹣AP）2，
AP=；
t=÷1=（s），
故答案为5或8或．
【点睛】
考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．
17．（2021·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图，已知点，，，连接，得到四边形．点在边上，连接，将边沿折叠，点的对应点为点，若点到四边形较长两对边的距离之比为．则点的坐标为_______．

【答案】(，3)或(，1)或(，－2)
【分析】
由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=8，分两种情况：（1）当点P在矩形AOBC的内部时，又分两种情况PE：PF=1:3和PE：PF=1:3时，在Rt△OPF中，利用勾股定理得出OF，即可得解；（2）当点P在矩形AOBC的外部时，此时点P在第四象限，同样利用线段比和勾股定理即可得出点P坐标.
【详解】
∵点，，，
∴BC=OA=4，OB=AC=8，
分两种情况：
（1）当点P在矩形AOBC的内部时，过点P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图所示：

当PE：PF=1:3时，
∵PE+PF=OA=4
∴PE=1，PF=3
由折叠得，OP=OA=4
在Rt△OPF中，
∴
当PE：PF=3:1时，
同理，得
（2）当点P在矩形AOBC的外部时，此时点P在第四象限，过点P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图所示：

∵PE：PF=3:1，则PF：EF=1:2
∴
由折叠，得OP=OA=4
在Rt△OPF中，
∴
综上，点P的坐标为(，3)或(，1)或(，－2).
故答案为：(，3)或(，1)或(，－2).
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识以及分类讨论的数学思想，解题关键是熟练掌握折叠的性质和勾股定理.
18．（2019·江西中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是____.

【答案】1或或2﹣．
【分析】
过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】
①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM＝MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG＝GD＝1，
∵AG∥EC，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CE＝AG＝1，
∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．

②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，
∵DF⊥AE，AD＝2，
∴∠DAE＝30°，
∴∠AEB＝30°
则BE＝
∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；

③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB＝1，BE＝x，
∴AE＝，
AF＝，
∵△ADF∽△EAB，
∴，
，
x2﹣4x+1＝0，
解得：x＝2﹣或2+（舍弃），
∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．
故答案为1或或2﹣．

【点睛】
本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（2019·江西九年级一模）在正方形ABCD中，.点E是BC的中点，连接AE，点M是AE上一点，连接MD，MC，若是等腰三角形，则AM的长为________.

【答案】或或
【分析】
根据是等腰三角形，分三种情况：（1）；（2）；（3）；如图（见解析），（1）根据正方形和等腰三角形的性质得出点M是AE的中点，再根据勾股定理求出AE的长，从而可知AM的长；（2）利用相似三角形的判定定理与性质得出，再在中，利用勾股定理可求出ME的长，从而可得AM的长；（3）先根据正方形和等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理与性质可得，从而可得AH的长，由此可得AM的长.
【详解】
（1）如图①，当时
过点M作于点N，则MN垂直平分CD
在正方形ABCD中，

点M是AE的中点
，

；
（2）如图②，当时
过点M作于点G，则





设，则
在中，
，即
解得（舍去），
.
；
（3）如图③，当时，则
过点D作于点H，则



，即


综上，AM的长为或或
故答案为：或或.

【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，依据题意，分三种情况讨论是解题关键.
20．（2019·江西）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=kx上，则k值可以是_____．

【答案】10或12或8．
【解析】
【分析】
当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线y=kx，即可求得k的值．
【详解】
∵点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），
∴当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；
当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP=OP2-CP2=3，P的坐标是（3，4）；
当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）．
∵点P在双曲线y=kx上，
∴k=2.5×4=10或k=3×4=12或k=2×4=8，
故答案为10或12或8．
【点睛】
本题考查了对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及反比例图象上点点坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解题的关键．
21．（2018·江西中考模拟）如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为_____cm2．

【答案】18或3 或12
【解析】
分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：
（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；
（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．
详解：分三种情况计算：
（1）当AE=AF=6时，如图：

∴S△AEF=AE•AF=×6×6=18（cm2）；
（2）当AE=EF=6时，如图：

则BE=7-6=1，BF=，
∴S△AEF=•AE•BF=×6× =3（cm2）；
（3）当AE=EF=6时，如图：

则DE=8-6=2，
DF=，
∴S△AEF=AE•DF=×6×4=12（cm2）；
故答案为：18或3或12．
点睛：本题主要考查了勾股定理的运用，矩形的性质，三角形的面积，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．
22．（2017·江西九年级三模）如图在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB＝2，CD＝，∠D＝30°．∠MON＝60°，其顶点O在CD边上运动，并保持OM始终经过点B，设ON与AD边所在的直线交于点P，则当AP＝______时，△OBC为等腰三角形．

【答案】
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，则有四边形ABFE要矩形，∴EF=AB=2，AE=BF，∵AB//CD，AD=BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE=CF，∠C=∠D=30°，∴∠DAB=∠ABC=150°，∵CD=2+4 ，∴DE=CF=2，∴AD=BC=4；

有三种情况：
①如图1，当BO=CO时，此时∠OBC=∠C=30°，∴∠ABO=120°，∵∠MON=60°，∴∠ABO+∠MON=180°，∴AB//ON，∴点P与点D重合，∴AP=AD=4；

②如图2，当CO=CB=4时，DO=2+4-4=4-2，∵∠C=30°，∴∠BOC=75°，∵∠MON=60°，∴∠NOD=45°，过点P作PH⊥DC，垂足为H，则有PH=OH，∵∠D=30°，∴DH= PH，∴DO=DH+HO= PH+PH=4-2，∴PH=7-3 ，∴PD=2PH=14-6，∴AP=AD-PD=4-（14-6）=6-10；

③如图3，当BO=BC=4时，∠BOC=∠C=30°，∴∠OBC=120°，
∴OC=BC=4，∴OD=4+2-4=2，又∵∠MON=60°，∴∠POD=90°，∵∠D=30°，∴PD= = ，∴AP=AD-PD=4=；

综上：AP的长为.
点睛：本题主要考查等腰三角形的判定、勾股定理等，能正确地分三种情况和画出图形是解题的关键.