专题06 圆的综合问题 -备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练

专题06 圆的综合问题

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·柳州市柳林中学中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．

（1）求证：△ACD∽△CFD；

（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；

（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

2．（2021·四川中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．

（1）求证：BP是⊙O的切线；

（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；

（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．

3．（2021·广东广州市·中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．

（1）求证：是的平分线；

（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．

4．（2021·辽宁盘锦市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，交于点，连接，过点作，垂足为，．

（1）求证：；

（2）点在的延长线上，连接．

①求证：与相切；

②当时，直接写出的长．

5．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．

（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；

（2）求证：AB•AC＝2R•h；

（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．

6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

7．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．

（1）求证：与相切；

（2）若，求的长；

（3）请用线段、表示的长，并说明理由．

8．（2021·广西中考真题）如图，在中，以为直径的交于点连接且连接并延长交的延长线于点与相切于点．

（1）求证：是的切线：

（2）连接交于点，求证：；

（3）若，求的值．

9．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，是的直径，直线与相切于点，直线与相切于点，点（异于点）在上，点在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：；

（3）如图，连接并延长与分别相交于点、，连接．若，，求．

10．（2021·湖北孝感市·中考真题）已知内接于，，的平分线与交于点，与交于点，连接并延长与过点的切线交于点，记．

（1）如图1，若，

①直接写出的值为______；

②当的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为______；

（2）如图2，若，且，，求的长．

11．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图所示：与的边相切于点C，与、分别交于点D、E，．是的直径．连接，过C作交于G，连接、，与交于点F．

（1）求证：直线与相切；

（2）求证：；

（3）若时，过A作交于M、N两点（M在线段上），求的长．

12．（2021·江西中考真题）已知的两边分别与圆相切于点，，圆的半径为．

（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；

（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；

（3）若交圆于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．

13．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）我们知道，顶点坐标为(h，k)的抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．今后我们还会学到，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，如：圆心为P(﹣2，1)，半径为3的圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝9．

（1）以M(﹣3，﹣1)为圆心，为半径的圆的方程为　       ．

（2）如图，以B(﹣3，0)为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC，垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC＝．

①连接EC，证明：EC是⊙B的切线；

②在BE上是否存在一点Q，使QB＝QC＝QE＝QO？若存在，求点Q的坐标，并写出以Q为圆心，以QB为半径的⊙Q的方程；若不存在，请说明理由．

14．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，⊙M为△BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q，DN＝4，BN＝6．

（1）求BC，CD；

（2）点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒3个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停止，过点H作HI∥BD交AC于点I，设运动时间为t秒．

①将△AHI沿AC翻折得△AI，是否存在时刻t，使点恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；

②若点F为线段CD上的动点，当△OFH为正三角形时，求t的值．

15．（2021·四川广元市·中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为的切线；

（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．

①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．

②若，求的值．

16．（2021·黑龙江哈尔滨市·中考真题）已知是的外接圆，AD为的直径，，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点D作，交于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若的面积为，求线段CG的长．

17．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若，，求⊙O的半径；

（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．

18．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）求证：＝．

（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四边形CHQE的面积．

19．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

20．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，

（1）求证：△BEF是直角三角形；

（2）求证：△BEF∽△BCA；

（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

21．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．

（1）求的值；

（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形的面积．

22．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比．如图，圆内接正五边形，圆心为O，与交于点H，、与分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证：是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出的形状；

（2）求证：，且其比值；

（3）由对称性知，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求的值．

23．（2021·浙江宁波市·中考真题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．

（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．

①求∠AED的度数；

②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．

24．（2021·陕西中考真题）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是_____．

问题探究

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．