专题09 新定义型几何图形问题 -备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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备战2022年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题09 新定义型几何图形问题
【专题训练】
一、解答题
1．（2021·河南信阳市·八年级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是_____________．
（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC=4，AB=5，求GE的长．

【答案】
（1）菱形，正方形．
（2）AD2+BC2=AB2+CD2．
证明：连接AC，BD，设其交点为E．

∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
即∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理，得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）连接CG，BE．

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE．
在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△GAB≌△CAE．
∴∠ABG=∠AEC．
又∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°．
又∵∠BMC=∠AME，
∴∠ABG+∠BMC=90°．
∴CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形．
由（2），得CG2+BE2=CB2+GE2．
∵AC=4，AB=5，
∴由勾股定理，得CB2=9，CG2=32，BE2=50，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73.
∴GE=．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合应用，准确利用性质是解题的关键．
2．（2021·洪泽外国语中学八年级月考）如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；
（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．
【答案】
解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B=20°，
若∠A-∠B=90°，则∠A=110°，
∴∠C=180°-110°-20°=50°，
若∠A-∠C=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=35°；
故 ∠C＝50°或35°；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，
∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，
当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，
∴AC＝CD＝3;
当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，
∴，∴CD＝；
（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，

∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，
∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，
∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，
∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，
∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，
又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，
∴BD＝＝＝3．
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“准互余三角形”的定义并能运用是本题的关键．
3．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径．

【答案】
（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
（2）∵，，
∴AC∥DE，
又∵∥，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD=DE，
∴BD=AC，
∴四边形是垂等四边形．
（3）如图，过点O作，

∵四边形是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：
，
又∵，
∴，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE=，
∴，
∴的半径为4．
【点睛】
本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键．
4．（2021·内蒙古通辽市·九年级学业考试）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗?请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线交于点，.
试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结.已知，求的长.

【答案】
解：（1）是
理由：，
∴在的垂直平分线上.
∵，
∴在的垂直平分线上.
∴垂直平分.
∴四边形为垂美四边形.
（2）如图2，连接AC和BD，
，
，
，
，
.
.
.
；

（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵，
∴AC=，AB=2，CG=，BE=，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=13，
∴GE=.

【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．（2019·河南九年级其他模拟）若△ABC绕点A逆时针旋转α后，与△ADE构成位似图形，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：
如图1，△ABC与△ADE互为“旋转位似图形”．
①若α＝25°，∠D＝100°，∠C＝28°，则∠BAE＝　 　；
②若AD＝6，DE＝7，AB＝4，则BC＝　 　
（2）知识运用：
如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE⊥BD于点E，∠DAC＝∠DBC，求证：△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图3，△ABG为等边三角形，点C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点D为CF延长线上的一点，点E在线段CF上，且△ABD与△ACE互为“旋转位似图形”．若AB＝6，AD＝4，求的值．
【答案】
（1）①∵△ABC和△ADE互为“旋转位似图形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠D＝∠B＝100°，
又∵α＝25°，∠E＝28°，
∴∠BAE＝180°﹣100°﹣25°﹣28°＝27°；
②∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD＝6，DE＝7，AB＝4，
∴，
∴BC＝，
故答案为：27°；；
（2）∵∠DOA＝∠COB，∠DAC＝∠DBC，
∴△DOA∽△COB，
∴，即，
又∵∠DOC＝∠AOB，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠DCA＝∠EBA，
又∵∠ADC＝90°，AE⊥BD，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△AEB绕点A逆时针旋转∠DAE的度数后与△ADC构成位似图形，
∴△ACD和△ABE互为“旋转位似图形”；
（3）∵AC＝AG＝AB＝3，
由题意得：，
∵AD＝4，
∴AE＝2，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴cos∠DAE＝cos60°＝，
∴∠DEA＝90°，
∴由勾股定理可得CE＝，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝2，
∴．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键．
6．（2021·常州市第二十四中学九年级期中）若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．

（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF的“弱线”时，求CG的长．
（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．
【答案】
（1）证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，
∴∠ADB＝∠A，
∴BA＝BD，
∴△ABC是“弱等腰三角形”；
（2）如图③，连接EG，
∵BG是△BCF的“弱线”，
∴BG平分∠FBC，
∴∠FBG＝∠GBE，
∵BF＝BE，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（SAS），
∴∠BGF＝∠BGE，
∵BG＝BE，
∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），
∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，
∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，
∴∠CGE＝∠CBG，
∵∠GCE＝∠BCG，
∴△GCE∽△BCG，
∴＝，
∵CE＝4﹣3＝1，
∴CG2＝CE•BC＝1×4＝4，
∴CG＝2；
（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，
∵AD是“弱线”，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DE＝BD，∠B＝∠AED，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠AED＝∠ADB，
∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，
∴∠CED＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝，
∴CE＝CD，CD＝AC，
∴CE＝AC，
∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，
AC＝9CE＝BD，
∴BC＝BD+BD＝BD，
∴AC：BC＝27：17；
②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，
同理可得， ＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，
∵AC＝3CD，
∴AC：BC＝24：17．

【点睛】
考查了圆的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题关键是正确的理解题意，并灵活运用其性质和判定．
7．（2021·江西抚州市·金溪一中九年级一模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（概念感知）
（1）如图1，在中，，，，试判断是否是“准黄金”三角形，请说明理由．

（问题探究）
（2）如图2，是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，连AB接AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是的重心，求的值．
（拓展提升）
（3）如图3，，且直线与之间的距离为3，“准黄金”的“金底”BC在直线上，点A在直线上．，若是钝角，将绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点D．
①当时，则_________；
②如图4，当点B落在直线上时，求的值．

【答案】
解：（1）是“准黄金”三角形．
理由：如图，过点A作于点D，
∵，，
∴．
∴．
∴是“准黄金”三角形．

（2）∵点A，D关于BC对称，
∴，．
∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴．
不防设，，
∵点为的重心，
∴．
∴，．
∴．
∴．
（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如图：

由题意得AE=3，
∵，
∴BC=5，
∵，
∴，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴；
∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，
∴△ACE∽△DAF，
∴，
设，则，
∵∠ACD=30°，
∴，
∴，
解得：
∴．
②如图，过点A作于点E，则．
∵是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，．
分别过点，D作，，垂足分别为点G，F，

∴，，，则．
∵，
∴．
∴．
∴设，，．
∵，
∴，且．
∴．
∴．
∴，解得．
∴，．
∴．
【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据数形结合的思想进行解答．
8．（2021·江苏南通市·八年级月考）定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定的形状，并证明；
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，试求边AB长的最小值．

【答案】
（1）如图，延长交于点，

∵四边形与四边形都为正方形
∴，，．
∴．
∴．
∴，．
∵
∴
即，∴．
∴．
又∵，
∴四边形是等垂四边形．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图，延长交于点，

∵四边形是等垂四边形，，
∴，
∴
∵点E,F,G分别是AD,BC,BD的中点
∴，，，，
∴，，．
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）如图，延长交于点分别取的中点，连接，

则，
由（2）可知是等腰直角三角形，
∴
∴
∴．
∴最小值为．
【点睛】
本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键．
9．（2021·江西九年级一模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直的线段，我们称其互为“等垂线段”． 
知识应用： 在△ABC和△ADE中，AC= BC，AE=DE，且AE （1）如图1，当AE在线段AC上时，线段PC与线段PE是否互为“等垂线段”？请说明理由． 
（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转90°，点D落在AB边上，请说明线段PC与线段PE互为“等垂线段”．
拓展延伸：（3）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转150° ，若BC=3，DE=1，求PC的值．

【答案】
解：(1)线段PC与线段PE互为“等垂线段”．
理由：如图1，延长EP交BC于点F．

∵∠ACB= ∠AED=90°，
∴DEBC，
∴∠ EDP=∠FBP．
∵点P是线段BD的中点，
∴PB= PD． 
在和中，

∴PF= PE=EF，BF= DE．
∵AC= BC，AE= DE，       
∴AC﹣AE=BC﹣BF，即EC= FC．
又∵∠ACB=90°  ，   
∴△EFC是等腰直角三角形．
∵EP=FP，    
∴PC=PE，PC⊥PE，
∴线段PC与线段PE互为“等垂线段”；
（2）如图2，作BF//DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，

∵DEBF，
∴∠ EDP=∠FBP．
∵点P是线段BD的中点，
∴PB= PD． 
在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．
∵DE=AE，
∴BF=AE．
∵∠CAE=90°，∠AED=90°，
∴EDAC．
，
∴FBAC，
∴，
∴∠CBF=∠CAE．
在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．
∵∠ACB=90°，
∴∠FCE=90°，
∴△FCE是等腰直角三角形．
∵PE=PF，
∴PC⊥PE，PC=PE，
∴线段PC与线段PE互为“等垂线段”；
(3)如图3

作BF// DE，交EP的延长线于点F ，连接CE，CF ，过点E作EH⊥AC交CA的延长线于点H．
当旋转角为150°时，由旋转可知，∠CAE= 150°，DE与BC所夹的锐角为30°，
∴∠FBC=∠EAC=150°．
∵DEBF，
∴∠ EDP=∠FBP．
∵点P是线段BD的中点，
∴PB= PD． 
在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．
∵DE=AE ，
∴BF=AE．
在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．
∵∠ACB=90° ，
∴∠FCE=90°，
∴△FCE是等腰直角三角形．
∵PE=PF，
∴PC⊥PE，PC=PE=EC．
在RtAHE中 ，∠EAH=30° ，AE= DE=1，     
∴HE=，AH=．
又∵AC= BC=3，    
∴CH= AC+AH= 3+ ．   
在RtCEH中，
 由勾股定理得 ，
．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，解直角三角形，掌握全等三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角的三角函数值是基础，能够作出辅助线构造全等三角形是关键．
10．（2021·沈阳市第一二六中学九年级月考）如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点．
（1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点．
（2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，
①求证：CE＝CD；
②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数．
（3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，若△ADE是等腰三角形，直接写出AE的长．

【答案】
（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5
∴DB2＝DC2+DA2
∴点D是△ABC关于点B的勾股点
∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4
∴点E不是△ABC的勾股点
∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5
∴FA2＝FB2+FC2
∴点F是△ABC关于点A的勾股点
∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8
∴点G不是△ABC的勾股点
故答案：B；F．
（2）①证明：如图3中，∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CA2＝CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90°
∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2
∴CB2+CE2＝CB2+CD2
∴CE＝CD
②如图3中，设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α
∵∠AEC＝120°
∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α
∵DA＝DE
∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°
∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180°
解得：α＝50°
∴∠ADE＝90°﹣50°＝40°
（3）∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CE＝CD＝5
i）如图1，若DE＝DA，则DE＝6
过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N
∴∠AME＝∠MND＝90°
∴四边形AMND是矩形
∴MN＝AD＝6，AM＝DN
设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x
∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2
∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2
∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2
解得：x＝，
∴EN＝，AM＝DN＝，
∴ME＝MN﹣EN＝6﹣＝，
∴Rt△AME中，AE＝．
ii）如图2，若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上
过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q
∴AP＝DP＝AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90°
∴四边形CDPQ是矩形
∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3
∴Rt△CQE中，EQ＝
∴PE＝PQ﹣EQ＝1
∴Rt△APE中，AE＝
iii）如图3，若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2
∴∠AEC＝90°
取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上
∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意
综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或．

【点睛】
本题考查了对新概念的理解，首先根据题干理解勾股点的定义，本题还用到了矩形的性质、三角形内角和定理等知识点，是综合性很强的一道题.
11．（2021·浙江宁波市·九年级零模）当一个角固定不变，而某种图形在该角的内部变化，则我们称这个角为墙角．
（1）如图1，墙角=30°，如果AB=3，长度不变，在角内滑动，当OA=6时，则求出此时OB的长度．
（2）如图2，墙角=30°，如果在AB的右边作等边，AB=3，长度不变，滑动过程中，请求出点O与点C的最大距离．
（3）如图3，墙角=时，如果点E是一条边上的一个点，=90°，其两条边与另一条边交于点F与点D，求的最大值．

【答案】
（1）如图1，过A点作AE⊥OB，

∵∠O=30°，OA=6
∴AE=
又AB=3，AE⊥OB
∴B点与E点重合
∴
（2）如图2，在C点的另一侧作等边三角形ABO＇，连接O O＇，连接O＇C交AB于点，则∠A O＇B=60°，以O＇为圆心，以3为半径作圆，则A、B点在圆上，又因为∠AOB=30°=∠A O＇B，故O点在圆上，当O、O＇、C三点共线时，点O与点C的距离最大．

∵△ABC、△AB O＇为等边三角形
∴四边形AO＇BC为菱形
∴O＇C 与AB互相垂直平分，AD=，∠CAD=60°
∴CD=
∴O＇C=2CD=
∴当O、O＇、C三点共线时，点O与点C的最大距离为当OO＇+O＇C
（3）如图：过点F做FGOE与点G，过点D做DHOE与点H，

∴∠DHE=∠FGE=90°
∵=，设FG=3a，DH=3b，则OG=4a，OH=4b，GH=4b-4a ()
∵=90°
∴∠DEH+∠FEG=90°，∠FEG+∠EFG=90°
∴∠DEH=∠EFG=
∴∽
∴
∴
即
∴
∵
∴
化简后得到：
∵，
∴，
∴
∴
∵FG//DH，
∴===
【点睛】
本题考查的是新定义问题，综合利用三角函数、相似三角形的性质与判断、圆的性质等解答，难度较大，正确的添加辅助线，根据圆或相似三角形是解答的关键．
12．（2019·江西南昌市·八年级期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．
观察发现：如图1，对垂四边形ABCD四边存在数量为： AD2+BC2＝AB2+CD2．
应用发现：如图2，若AE，BD是△ABC的中线，AE⊥BD，垂足为O，AC=4，BC=6，求AB=
应用知识：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝，AB＝求GE长．
拓展应用：如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=4，AB=3，求AF的长

【答案】
应用发现：
连接DE，如图所示：

∵AE，BD是△ABC的中线，AC=4，BC=6，
∴AD=2，BE=3，DE=，
∵AE⊥BD，垂足为O，
∴四边形ABED是对垂四边形，
∴AB2+DE2=AD2+BE2，
∴AB2+=22+32，
∴AB=；
应用知识：
连接CG、BE，如图所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是对垂四边形，
∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC＝，AB＝，
∴BC=1，CG=，BE=，
∴22+=12+GE2，
∴GE=3；
拓展应用：
（3）如图，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，连接PH，

∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∴四边形APHE是对垂四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=AD，BF=BC，
∴AE=BFAD=2，
又∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
∴EP分别是△AFE的中线，
在△AEH和△CFH中，
，
∴△AEH≌△CFH（AAS），
∴EH=FH，
∴AH分别是△AFE的中线，
∴PH=，EH=，
∵四边形APHE是对垂四边形，
∴PH2+AE2=EH2+AP2，
∴12+22=+AP2，
∴AP=，
又∵EP分别是△AFE的中线，
∴AF=2AP=．
【点睛】
考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，解题关键是正确理解对垂四边形的定义和灵活运用勾股定理．
13．（2019·浙江杭州市·九年级期中）定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．

（1）如图1，中，，，点在上，于点，于点，连接，求证： 是“半高”三角形；
（2）如图2，是“半高”三角形，且边上的高是“半高”，点在上，交于点，于点，于点．
①请探究，，之间的等量关系，并说明理由；
②若的面积等于16，求的最小值．
【答案】
解：（1）证明：由题意可证得，
∴，
∴，
由题意可证得四边形为矩形，∴，
∴，
∴是“半高”三角形．
（2）①．理由如下：
如图，过作于，交于，

∵是“半高”三角形，且边上的高是“半高”，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可证得四边形是矩形，有，，
∴，
即．
②∵，故，
设，由①得，
∴，
∴当时，取得最小值．
【点睛】
本题是三角形的综合题，考查的是新定义：“半高”三角形，涉及到相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理及新定义的理解和运用等知识，解决问题的关键是作辅助线解决问题．
14．（2021·江苏扬州市·八年级期中）阅读下列材料：如图(1)，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则把这样的四边形称之为筝形．
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)．
① ；② ．
(2)如图(2)，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
(3)如图(3)，在筝形ABCD中，AB=AD=26，BC=DC=25，AC=17，求筝形ABCD的面积．

【答案】
（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝∠ADC，
故答案为：∠BAC＝∠DAC；∠ABC＝∠ADC
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC＋∠AEB＝∠AFC＋∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD．
∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS）．
∴AB＝AD，BE＝DF．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）如图

∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴S△ABC＝S△ADC．
过点B作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2−AH2＝262−AH2．
在Rt△CBH中，BH2＝CB2−CH2＝252−（17−AH）2．
∴262−AH2＝252−（17−AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝=24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积=2S△ABC＝408．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，解本题的关键是理解筝形的定义．
15．（2021·四川麓山师大一中八年级月考）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是垂美四边形；
②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【答案】
（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形BCGE是垂美四边形；
②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，
∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了新概念“垂美四边形”、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；正确理解新概念“垂美四边形”、证明三角形全等是解题的关键．
16．（2021·浙江绍兴市·九年级期中）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．
(1)求证：△ABC是半直角三角形；
(2)求证：∠DEC=∠DEA；
(3)若点D的坐标为(0，8)，求AE的长．

【答案】
（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=45°，
∵∠ABE=∠ADE=45°，
∴△ABC是半直角三角形
（2）∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC
（3）如图1，连接AM，ME，

设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0，8），
∴OM=8﹣r，
由OM2+OA2=MA2得：（8﹣r）2+42=r2，
解得r=5，
∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，
∴.
【点睛】
此题考查圆的有关性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考压轴题．
17．（2021·江西南昌市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度时，它能够与反比例函数的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是________；
②已知，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数的图象上，AB与y轴交于点M，，，试问此时曲边四边EFGH存在吗？请说明理由．

【答案】
解：（1）①∵以原点为中心的正方形的边长为，
∴点的纵坐标为
∵点在反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∵存在曲边四边形EFGH，在反比例函数的图象上
∴
∴
又∵
∴的取值范围是：
②结论：此时不存在曲边四边形
理由：将正方形绕点顺时针旋转后位置如图：

∵以原点为中心的正方形的边长为
∴正方形的对角线为
∴
∴的中点的坐标为
∵对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点
当时，
∴
∴此时不存在曲边四边形．
当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，若存在曲边四边形，则旋转任意角度时，存在曲边四边形
对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点
当，时，存在曲边四边形
∴
∴使曲边四边EFGH存在的k的取值范围是：．
③将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，如图所示，

由正方形和双曲线的对称性可知，E，G关于原点对称，F，H关于原点对称
即OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，曲边四边形是中心对称图形．
（2）存在，理由如下：

如图所示，连接OB，OA，OD，作ON⊥AB于N，AP⊥y轴于P，DQ⊥x轴于Q，
∵ABCD为正方形，
∴OA⊥OB，OA⊥OD，OA=OB=OD，
即△OAB为等腰直角三角形
∴ON=AB=AN=4，
∴MN=AN-AM=4-1=3
∴OM=
∵∠ONM=∠APM=90°，∠OMN=∠AMP
∴△ONM∽△AMP
∴，即
∴AP=，PM=
∴OP=OM+PM=，则A点坐标为
∴
则反比例函数为
由正方形的对称性和旋转的性质可得△OAP≌△ODQ
∴OQ=OP=，DQ=AP=
∴D点坐标为
设直线AD解析式为
将A，D代入得
解得，
∴直线AD解析式为
令
整理得

则方程有两个不相等的实数根，
∴直线AD与反比例函数有两个不同的交点
∴曲边四边EFGH存在
【点睛】
本题考查了正方形的性质、反比例函数图象与性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质，是一道新定义问题．
18．（2019·湖南师大附中博才实验中学） 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”
（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______．
（2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度．
（3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值．

【答案】
解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”、“矩形”是完美四边形．
故答案为：“正方形”、“矩形”．
（2）∵关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0，有实数根，
∴△=(m+3)2-4×(5m2-2m+13)=-4(m-1)2≥0，
∴m=1，△=0，
∴方程为：x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
∴AD=DC=2，
当点D在AC的下方，如图1中，

∵四边形ABCD是完美四边形，
∴BD•AC=CD•AB+BC•AD，
∴3BD=4+5，
∴BD=3．
当点D在AC上方时，点D在线段BC上，不符合题意．
∴满足条件的BD的长为3；
（3）如图2中，
由完美四边形的定义以及托勒密定理的逆定理可知：四边形EFGH是圆的内接四边形，圆心是EC的中点O．
∵∠EFG=90°，EF=6，FG=8，
∴EG==10，
当点H是的中点时，△EGH的面积最大，此时四边形EFGH的面积最大，
∴HG=HE=5，
∴四边形的面积的最大值=×6×8+×5×5=49．

【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了完美四边形的定义，一元二次方程的根的判别式，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19．（2021·江苏苏州市·九年级期中）如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题：
（1）四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论；
（2）若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长；
（3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM的度数，并说明你的理由．

【答案】
解：（1）四边形是的内接正方形，理由是：
如图2中，由画图可知，
四边形是矩形，，
△，

同理可得：，

，
，
四边形是正方形，即四边形是的内接正方形；
（2）如图1，过作于，交于，设正方形的边长为，

为等边三角形，边长，
高线，
四边形是正方形，
，
，
即，解得：，
答：内接正方形的边长是；
（3）如图3中，结论：．

理由：设，，则，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
20．（2021·广州市育才中学九年级期中）若点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．当三角形的最大角小于120°时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“．即PA+PB+PC最小．
（1）如图1，向△ABC外作等边三角形△ABD，△AEC．连接BE，DC相交于点P，连接AP．
①证明：点P就是△ABC费马点；
②证明：PA+PB+PC＝BE＝DC；
（2）如图2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　 　．

【答案】
（1）①如图1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N设AB交 CD于O．

∵△ADB，△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAB＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴•CD•AM＝•BE•AN，
∴AM＝AN，
∴∠APM＝∠APN，
∵∠AOD＝∠POB，
∴∠OPB＝∠DAO＝60°，
∴∠APN＝∠APM＝60°，
∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，
∴点P是就是△ABC费马点．
②在线段PDA上取一点T，使得PA＝PT，连接AT．

∵∠APT＝60°，PT＝PA，
∴△APT是等边三角形，
∴∠PAT＝60°，AT＝AP，
∵∠DAB＝∠TAP＝60°，
∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，
∴△DAT≌△BAP（SAS），
∴PB＝DT，
∴PD＝DT+PT＝PA+PB，
∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．
（2）如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．

∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中，
，
∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝3
∴MF＝DF＝，
∴NF＝MN+MF＝4＝，
∴ND＝＝＝，
∴MO+NO+GO最小值为，
故答案为，
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
21．（2021·湖南长沙市·九年级月考）定义:有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”.例如:凸四边形中，若，则称四边形为准平行四边形.
（1）如图①，是上的四个点，，延长到，使.求证:四边形是准平行四边形；
（2）如图②，准平行四边形内接于，，若的半径为，求的长；

（3）如图③，在中，，若四边形是准平行四边形，且，请直接写出长的最大值.
【答案】
（1）∵
∴∠ABC=∠BAC=60°
∴△ABC为等边三角形，∠ACB=60°
∵∠APQ=180°-∠APC-∠CPB=60°
又AP=AQ
∴△APQ为等边三角形
∴∠AQP=∠QAP=60°
∴∠ACB=∠AQP
∵∠QAC=∠QAP+∠PAB+∠BAC=120°+∠PAB＞120°
故∠QBC=360°-∠AQP-∠ACB-∠QAC＜120°
∴∠QAC≠∠QBC
∴四边形是准平行四边形
（2）连接BD，过B点作BE⊥AC于E点

∵准平行四边形内接于，
∴∠ABC≠∠ADC，∠BAD=∠BCD
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD=∠BCD=90°
∴BD为的直径
∵的半径为5
∴BD=10
∵BC=CD,∠BCD=90°
∴∠CBD=∠BDC=45°
∴BC=BD sin∠BDC=10 ，∠BAC=∠BDC=45°
∵BE⊥AC
∴∠BEA=∠BEC=90°
∴AE=ABsin∠BAC=6
∵∠ABE=∠BAE=45°
∴BE=AE=
在直角三角形BEC中，EC=
∴AC=AE+EC=
（3）在中，
∴∠ABC=60°
∵四边形是准平行四边形，且
∴∠ADC=∠ABC=60°
延长BC 到E点，使BE=BA，可得三角形ABE为等边三角形，∠E=60°，过A、E、C三点作圆o，因为∠ACE=90°，则AE为直径，点D在点C另一侧的弧AE上（点A、点E除外），此时，∠ADC=∠AEC=60°，连接BO交弧AE于D点，则此时BD的长度最大.
在等边三角形ABE中，∠ACB=90°，BC=2
∴AE=BE=2BC=4
∴OE=OA=OD=2
∴BO⊥AE
∴BO=BEsin∠E=4
∴BD=BO+0D=2+
即BD长的最大值为2+

【点睛】
本题考查的是新概念及圆的相关知识，理解新概念的含义、掌握圆的性质是解答的关键，本题的难点在第（3）小问，考查的是与圆相关的最大值及最小值问题，把握其中的不变量作出圆是关键.
22．（2021·广东深圳市·九年级二模）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周长为12．
【答案】
（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为菱形，正方形；
②如图，

当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，
故答案为不是；
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2﹣≤OE2≤2﹣，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤；
（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），
∵a＞0，c＜0，
∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，
∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，
S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，
∵，，
∴，
∴=2，
∴a=1，
∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，
∵，
∴S=S1+S2+2，
∴﹣c=﹣，
∴
∴
∴b=0，
∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），
∴四边形ABCD是菱形，
∴4AD=12，
∴AD=3，
即：AD2=90，
∵AD2=c2﹣c，
∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍），
即：y=x2﹣9．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．
23．（2021·浙江省临海市临海中学九年级期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段 .
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上)，请作出这个圆，并说明你的理由.友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由.若此时AB＝3，BD＝，求BC的长.

【答案】
（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）
作图如图；
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上.
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，EC＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上.
∵AM平分∠BAD，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形.
∵点BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴＝6.
，
，
，
∵，
∴＋＝6＋2BC，
∴BC＝5或BC＝－3(舍去)，
∴BC＝5.
当菱形的一个角为直角时就成为正方形，根据面积之间的关系可以求得BC＝5.