【培优压轴】备战中考数学中的旋转问题 专题03 特殊的平行四边形中的旋转问题

一、与平行四边形有关的旋转

【例1】平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOB=60°，AO=1，AC=2，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，则旋转后点C的对应点C′的坐标为__________．

【答案】（，2）或（-，-2）

【解析】如图，

∵∠AOB=60°，把平行四边形AOBC绕点O逆时针旋转，使点A落在y轴上，

∴∠A′EC′=90°，

∵∠A′C′B=60°，∴∠A′C′E=30°，

∵A′E=1，A′C′=2，∴EC′=，A′E=1，∴C′（，2），

∵点A′与A″关于原点对称，∴点C″与C′关于原点对称．

∴点C″（−，−2）．故答案为：（，2）或（−，−2）．

二、与菱形有关的旋转[来源:Z_X_X_K]

【例2】如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为__________．

【答案】（-1，-1）

三、与矩形有关的旋转

【例3】如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为

A．（3，4）或（2，4）      B．（2，4）或（8，4）

C．（3，4）或（8，4）      D．（3，4）或（2，4）或（8，4）

【答案】D

【解析】（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；

（2）OD是等腰三角形的一条腰时：

①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

在直角△OPC中，CP=，[来源:Z+X+X+K]

则P的坐标是（3，4）．

②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，

如图，过D作DM⊥BC于点M，

【名师点睛】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．

1．如图，正方形OABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，则点C′的坐标为

A．（）       B．（-）

C．（，-）      D．（2，2）

2．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为

A．        B．

C．        D．

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为

[来源:Zxxk.Com]

A．（-）       B．（-）

C．（-）       D．（-）

4．如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为__________．

5．如图，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数（为常数，）的图像上，将矩形绕点按逆时针方向旋转90°得到矩形，若点的对应点恰好落在此反比例函数的图像上，则的值是__________．

6．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线，若，则点E的坐标是__________．

7．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为．[来源:]

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．

①求证；

②求点的坐标．

（3）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．

1．【答案】A

2．【答案】D

【解析】由题意可知=AD=2，CD==2，AO=OB=1，

在Rt△AOD′中，根据勾股定理求得，由即可得点的坐标为，故选D．

3．【答案】A

【解析】如图，过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，

由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，

∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，

∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，

则（3x）2+（4x）2=9，

解得x=±（负数舍去），

则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（-）．故选A．

4．【答案】（-1，）

【解析】如图，连接AM，

∴DM=AD·tan∠DAM=1×=，

∴点M的坐标为（-1，），故答案为：（-1，）．

5．【答案】

【解析】设A（m，n），则OB=m，OC=n．∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，∴O′C′=n，B′O′=m，∴O′（m+n，n-m）．∵A，O′在此反比例函数图象上，∴（m+n）（n-m）=mn，∴m2+

mn-n2=0，∴m=n，∴=，（负值舍去），∴的值是．故答案为：．

6．【答案】

【解析】如图，过点E作EG⊥BC于点G，

7．【解析】（1）∵点，点，∴．

∵四边形是矩形，

∴．

∵矩形是由矩形旋转得到的，∴．

在Rt△中，有，

∴.

∴．

∴点的坐标为（1，3）．

（2）①由四边形是矩形，得，

又点在线段上，得．

由（1）知，，又，

∴．

②由，得．

又在矩形中，，

∴，∴，∴．

设，则．

在中，有，

∴，解得，∴，

∴点的坐标为．

（3）．