2022年中考数学专题复习：锐角三角函数 解答题专练（含答案）

这是一份2022年中考数学专题复习：锐角三角函数 解答题专练（含答案），共33页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
2022中考数学专题复习 锐角三角函数解答题专练
1．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量G棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测得树的顶端A的仰角为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF=5米，并在F处通过测倾器测得树的顶端A的仰角为30°，测倾器的高度CD=EF=1米已知点FD、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）

2．如图，一架遥控无人机在点 A 处测得某高楼顶点 B 的仰角为 60° ，同时测得其底部点 C 的俯角为 30° ，点 A 与点 B 的距离为60米，求这栋楼高 BC 的长.

3．如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD.已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为 22° ，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为 45° ，求建筑物的高度AD.（结果精确到0.1米，参考数据： sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 ， tan22°≈0.40 ， 2≈1.41 ）

4．石阡县仙人街旅游景区位于城西中灵山之巅，海拔1300米，距离县城15公里，如今被称之为石阡县的“后花园”.其中游玩项目有：世界上最长的空中船型玻璃悬廊（图a）、世界唯有的天然仙人石板街、万亩原生态石板杜鹃花海，等等.图b为空中船型玻璃悬廊的示意图.已知：∠B＝37°，∠C＝30°，CD＝120m，AD⊥BC，求悬廊BD的长.（结果保留整数，3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

5．因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）

6．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC=80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE=45°，∠DBF=31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]

7．如图是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮.如图2，小嘉从摩天轮最低处B出发先沿水平方向向左行走37米到达点C，再经过一段坡度为i=1:2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向左行走50米到达点E.在E处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得点D处的俯角为58°，摩天轮最高处A的仰角为24°.AB所在的直线垂直于地面，垂足为O，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，求AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

8．如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度.如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45°，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40°，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度.（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）

9．如图，某海岸边有B,C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东 30° 方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东 60° 方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）

10．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（ 2 ≈1.4， 3 ≈1.7， 6 ≈2.45，结果精确到个位）．

11．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截.问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.

12．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下：

①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
13．如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

14．“2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）.
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）


15．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE项端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．
（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin42.6°≈1725，cos42.6°≈3445，tan42.6°≈910）

16．在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为 10° ，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为 27° ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据： sin10°≈0.17 ， cos10°≈0.98 ， tan10°≈0.18 ， sin27°=0.45 ， cos27°≈0.89 ， tan27°≈0.51 ）

17．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

18．如图，长方形广告牌架在楼房顶部，边长CD=2m，经测量∠CAH=37°，∠DBH=60°，AB=10m，求GH的长．

（参考数据：tan37°≈0.75， 3 ≈1.732，结果精确到0.1m）



19．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 BC=414m ， AB=300m ，求出点D到AB的距离．（参考数据 sin65°≈0.91 ， cos65°≈0.42 ， tan65°≈2.14 ）




20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=120m，山坡坡度i=1：2，且O、A、B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直高度．（测角仪高度忽略不计，结果保留根号形式）

21．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）

22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732）．

23．2016年12月底我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．
（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3， 3 ≈1.73）


24．如图，国家规定休渔期间，我国渔政船在A处发现南偏西50°方向距A处20海里的点B处有一艘可疑船只，可疑船只正沿北偏西25°方向航行，我国渔政船立即沿北偏西70°方向前去拦截，经过1.5小时刚好在C处拦截住可疑船只，求该可疑船只航行的平均速度．
（结果精确到个位，参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7）

25．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°，求C、D之间的距离（结果保留根号）．

26．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米）




27．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．（结果精确到0.01小时）．
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）







28．如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°．现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米？（结果精确到个位）（参考数据：sin25.6°≈0.4，cos25.6°≈0.9，tan25.6°≈0.5，sin61.4°≈0.9，cos61.4°≈0.5，tan61.4°≈1.8）





29．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行42km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．

（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）

30．某种落地灯如图1所示， AB 为立杆，其高为 84cm ； BC 为支杆，它可绕点 B 旋转，其中 BC 长为 54cm ； DE 为悬杆，滑动悬杆可调节 CD 的长度.支杆 BC 与悬杆 DE 之间的夹角 ∠BCD 为 60° .

（1）如图2，当支杆 BC 与地面垂直，且 CD 的长为 50cm 时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 BC 绕点 B 顺时针旋转 20° ，同时调节 CD 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为 90cm ，求 CD 的长.（结果精确到 1cm ，参考数据： sin20°≈0.34 ， cos20°≈0.94 ， tan20°≈0.36 ， sin40°≈0.64 ， cos40°≈0.77 ， tan40°≈0.84 ）
参考答案
1．【答案】解：如图，连接EC并延长交AB于点N，

由题意可得：EN1AB，四边形EFDC、四边形CDBN均是矩形，
∴FD=EC=5米，EF=DC=BN=1米，
设AN=x米，
在Rt△ACN中，∠ACN=45°，∴CN=AN=x米，
在Rt△AEN中，∠AEN=30。∴tan30°= x5+x
解得：x= 53+52
则AB= 53+52 +1= 53+72
答：这棵古树的高度AB为 53+72 米
2．【答案】解：由已知条件得： ∠ABC=30° ，
∠BAC=60°+30°=90° ，
在 RtΔABC 中，
cos∠ABC=ABBC ，
∴BC=ABcos∠ABC=ABcos30°=6032=403 （米）.
答：这栋高楼的高 BC 为 403 米.
3．【答案】解：延长BC交AD于E，

则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x米，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝ AEBE ＝ x24+x ≈0.40，
解得：x＝16，
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝16.6（米），
答：建筑物的高度约为16.6米.
4．【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，CD＝120m，
tan30°=ADCD=AD120=33，
解得AD=403m，
在Rt△ADB中，tanB=ADBD=403BD≈0.75，
∴BD≈40×1.730.75=92415≈92m.
∴悬廊BD的长约为92m.
5．【答案】解：过B作BH⊥AC于H，由题意，

∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米，
在Rt△ABH中，
∵sin∠ABH=AHAB≈0.94，
∴AH=9.4千米
∵cos∠ABH=BHAB≈0.34
∴BH=3.4千米
在Rt△BHC中，
∵∠BHC=90°，
∠HBC=∠C=45°
∴CH=BH=3.4千米
∴AC=9.4+3.4=12.8（千米）
答：AC之间的距离约为12.8千米.
6．【答案】解：在Rt△BCE中，BC=80m，∠BEC=∠DBE=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=∠CBE=45°，
∴CE=BC=80m.
在Rt△BCF中，BC=80m，∠BFC=∠DBF=31°，tan∠BFC=BCCF，
∴80CF≈0.60，
∴CF≈133.3，
∴EF=CF−CE=133.3−80=53.3≈53(m).
答：河宽EF的长约为53m．
7．【答案】解：过C作CM⊥OD于M，过F作FN⊥AB于N，如图所示：

则FN＝EO，ON＝EF，OM＝BC＝37米，BO＝CM，FN//EO，
∴∠EDF＝∠DFN＝58°，
∵斜坡CD的坡度为 i=1:2.4=5:12，CD＝26米，
∴在Rt△CDM中，设CM＝5x，DM＝12x，
CD2=CM2+DM2，即 262=(5x)2+(12x)2，
解得： x=2，
∴BO＝CM＝10（米），MD＝24（米），
∵DE＝50米，
∴FN＝EO＝DE＋MD＋OM＝50＋24＋37＝111（米），
在Rt△DEF中，tan∠EDF＝ EFDE＝tan58°≈1.60，
∴EF≈1.60DE＝1.60×50＝80（米），
∴ON＝EF≈80米，
∴BN＝ON−BO≈70（米），
在Rt△AFN中，∠AFN＝24°，
∵tan∠AFN＝ ANFN＝tan24°≈0.45，
∴AN≈0.45FN＝0.45×111＝49.95（米），
∴AB＝AN＋BN＝49.95＋70≈120（米），
答：AB的高度约为120米.
8．【答案】解：如图，作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，

∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，
设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，
∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，
∴GF＝GC＝5，
∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，
在Rt△BDM中，tan∠BDM＝BMDM=tan40∘，
∴DM＝BMtan40∘≈x0.84，
由题意得，DM﹣DF＝FM，即x0.84−6.3=x，
解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），
答：该塔AB的高度约为38米.
9．【答案】解：方法1：
解：如图1，延长 BC 交 ED 延长线于点F，

由题意得 ∠B=90°,    ∠A=30°,    ∠BED=60° ，
∴∠ADE=∠BED−∠A=30° ， ∠F=90°−∠BED=30° ，
∵∠CDF=∠ADE=30°
∴∠CDF=∠F ，
∴CD=CF ．
在 Rt△BEF 中， ∠BED=60°,    BE=30 ，
∵tan60°=BFBE ，
∴BF=BEtan60°=303 ，
∴CF=BF−BC=303−40 ，
∴CD=303−40 （海里），
答：此时乙船与C码头之间的距离为 (303−40) 海里．
方法2：
解：如图2，

过点D作 DM⊥AB 于点M， DN⊥BC 于点N，则四边形 BMDN 为矩形．
∴DN=BM ．
在 Rt△ABC 中， ∠A=30°,BC=40° ，
∴AC=2BC=80 ， ∠C=90°−∠A=60° ，
AB=BCtan30°=4033=403 ．
∴AE=AB−BE=403−30 ．
∵∠A=30°,∠BED=60° ，
∴∠ADE=∠BED−∠A=30° ，
∴∠A=∠ADE ，
∴DE=AE=403−30 ．
在 Rt△DEM 中， ∠BED=60° ．
∵cos60°=MEDE ，
∴ME=DEcos60°=(403−30)×12=203−15 ， ∴BM=BE−ME=45−203 ．
∴DN=45−203 ．
在 Rt△DEM 中， ∠C=60° ，
∵sin60°=DNCD ，
∴CD=DNsin60°=45−20332=303−40 （海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 (303−40) 海里．
方法3：解：如图2，过点D作 DM⊥AB 于点M, DN⊥BC 于点N，则四边形 BMDN 为矩形．
∴BN=DM,    DN=BM ．
设 EM=x ，则 BM=30−x ，
在 Rt△EDM 中， ∠DME=90° ，
∴tan∠DEM=DMEM ，
∴DM=EM⋅tan60°=3x ， ∴BN=DM=3 ，
∴CN=40−3x ．
在 Rt△CDN 中，
∵∠CND=90°,    ∠C=60°,tanC=DNCN ，
∴DN=3CN∴30−x=3(40−3x)
∴x=203−15 ．
∴CD=2CN=303−40 （海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 (303−40) （海里）．
方法4：
如图3，过点E作 EG⊥AC 于点G，

在 Rt△ABC 中， ∠A=30°,    BC=40 ，
∴AC=2BC=80,    ∠C=90°−∠A=60° ，
AB=BCtan30°=4033=403 ，
∴AE=AB−BE=403−30 ．
在 Rt△AEG 中， ∠A=30° ，
∵cosA=AGAE ，
∴AG=AE⋅cos30°=(403−30)×32=60−153 ，
∵∠A=30°,    ∠BED=60° ，
∴∠ADE=∠BED−∠A=30° ，
∵∠A=∠ADE=30° ，
∴AE=DE ．
∵EG⊥AC 于点G，
∴AD=2AG=120−303 ，
∴CD=AC−AD=80−(120−303)=303−40 （海里）．
答：此时乙船与C码头之间的距离为 (303−40) 海里．
10．【答案】解：如图，过点A作 AD⊥BC 于 D ，

在 Rt△ACD 中， ∠ACD=75°−30°=45° ，
AC＝35×40＝1400（米），
则 AD=AC⋅sin45°=7002 （米）．
在 Rt△ABD 中，∠B＝30°，
∴AB=2AD=2×7002=14002≈1960 （米）．
过点 P 作 PE⊥AB ，垂足为 E ，
则AE＝PE·tan45°＝PE，BE＝PE·tan60°＝ 3 PE，
∴PE+3PE=AB=14002 ，
∴(3+1)PE=14002 ，
解得： PE=700(6−2)≈735 ．
综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．
11．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，

∵∠BAC＝75°−30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝ AD2+CD2=2 CD，
∵BC // AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝ BC2−BD2=(2BD)2−BD2=3BD ，
∵AD−BD＝AB，
∴3BD−BD=20 海里，
解得：BD＝10 (3+1) 海里，
∴CD＝ 3BD=(30+103) 海里，
∴AC＝ 2 CD =302+106 （海里），
∴t=302+10620=32+62 小时
答：经过 32+62 小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.
12．【答案】解：设AB＝x米，BC＝y米，

∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴ABED=BCDC ，
∴x1.5=y2 ，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴ABGH=BFHF ，
∴x1.5=y+103 ，
∴y2=y+103 ，
解得：y＝20，
把y＝20代入 x1.5=y2 中得 x1.5=202 ，
解得x＝15，
∴树的高度AB为15米.
13．【答案】解：过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示

在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF= AB·sinα=50×12=25 (m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE =19°30′ ，CD=180m
∴ DE=CD·sin∠DCE≈180×0.33≈59 (m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m.
14．【答案】解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝ BCAB ，cos∠BAC＝ ACAB ，
∴BC＝AB•sin∠BAC＝AB•sin13°≈50×0.22＝11（米）；
AC＝AB•cos∠BAC＝AB•cos13°≈50×0.97＝48.5（米）；
在Rt△ADC中，tan∠DAC＝ CDAC ，
∴CD＝AC•tan∠DAC＝AC•tan38°≈48.5×0.78﹣37.83（米）；
∴BD＝CD﹣BC≈37.83﹣11＝26.83≈27（米），
答：宝塔BD的高约为27米.
15．【答案】解：延长AE交CD于点M，
过点A作AN⊥BC，交BC于点N，

由题意得，∠AMC=∠NCM=∠ANC=90°，
∴四边形AMCN为矩形，
∴NC=AM，NA=CM.
在Rt△EMD中，∠EMD=90°，
∴sin∠EDM=EMED，cos∠EDM=DMED，
∴sin37°=EM20，cos37°=MD20，
∴EM=20⋅sin37°≈20×35=12，
∴DM=20⋅cos37°≈20×45=16.
在Rt△BNA中，∠BNA=90°，
∴tan∠BAN=BNAN，
∴tan42.6°=BN74+16，
∴BN=90tan42.6°≈90×910=81，
∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96.
答：大楼BC的高度约为96米.
16．【答案】解：延长AC交PQ于点E，交MN于点F，

由题意可得，AB=CD=EQ=FN=1.2，∠PEC=∠MFA=90°，∠MAF=10°，∠PCE=27°，AC=10，AE=BQ=EF=QN，
设路灯的高度为xm，则MN=PQ= xm，MF=PE=x-1.2，
在Rt△AFM中，∠MAF=10°，MF= x-1.2， tan∠MAF=MFFA ，
∴ tan10°=x−1.2FA ，
∴ FA=x−1.2tan10° ，
∴ AE=12AF=12⋅x−1.2tan10°=x−1.22tan10° ；
∴CE=AE-AC= x−1.22tan10° -10，
在Rt△CEP中，∠PCE=27°，CE= x−1.22tan10° -10， tan∠PCE=PECE ，
∴ tan27°=x−1.2x−1.22tan10°−10 ，
解得x≈13.4，
∴路灯的高度为13.4m．
答：路灯的高度为13.4m．
17．【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，

则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝ AHCH ＝tan30°＝ 33 ，
∴BD＝CH＝ 3 AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ EFAB=FGBG ，
即 1.5AH+1=33AH+6 ，
解得：AH＝（8＋4 3 ）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4 3 ）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4 3 ）m．
18．【答案】解：延长CD交AH于点E，如图所示：


根据题意得：CE⊥AH，设DE=xm，则CE=（x+2）m，
在Rt△AEC和Rt△BED中，tan37°= CEAE ，tan60°= DEBE ，
∴AE= CEtan37° ，BE= DEtan60° ，
∵AE-BE=AB，
∴CEtan37° - DEtan60° =10，即 x+20.75 =10，
解得：x≈5.8，
∴DE=5.8m，
∴GH=CE=CD+DE=2m+5.8m=7.8m．
答：GH的长为7.8m．
19．【答案】解：如图，过点D作 DE⊥AB 于E，过D作 DF⊥BC 于F，则四边形EBFD是矩形，

设 DE=x ，
在Rt△ADE中， ∠AED=90° ，
∵tan∠DAE=DEAE ，
∴AE=DEtan∠DAE=x2.14 ，
∴BE=300−x2.14 ，
又 BF=DE=x ，
∴CF=414−x ，
在Rt△CDF中， ∠DFC=90° ， ∠DCF=45° ，
∴DF=CF=414−x ，
又 BE=CF ，
即： 300−x2.14=414−x ，
解得： x=214 ，
故：点D到AB的距离是214m
20．【答案】解: 作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

在Rt△AOC中，OA=120m，∠CAO=60°，
∴CO=AO•tan60°=120 3 （米）．
设PE=x米，
∵tan∠PAB= PEAE = 12 ，
∴AE=2x．
在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=120 3 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，
∵PF=CF，
∴120+2x=120 3 ﹣x，
解得x=40 3 ﹣40（米）．
答：电视塔OC高为120 3 米，点P的铅直高度为（40 3 ﹣40）米．
21．【答案】解：这辆汽车超速了，理由：过点D作DF⊥CB于点F，过点D作DE⊥AC于点E， 由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，设BF=x，则DF=CF= 3 x，∵BC=200m，∴ 3 x+x=200，解得：x=100（ 3 ﹣1），故BF=100（ 3 ﹣1）m，则BD=200（ 3 ﹣1）m，DC= 2 DF= 2 × 3 ×100（ 3 ﹣1）=（300 2 ﹣100 6 ）m，故DE=（150 2 ﹣50 6 ）m，则AD= 2 （150 2 ﹣50 6 ）=（300﹣100 3 ）m，故AB=AD+BD=300﹣100 3 +200（ 3 ﹣1）=100（ 3 +1）≈273（m），∴ 2737 ≈39（m/s），∵每小时120千米= 1003 ≈33.3（m/s），∵39＞33.3，∴这辆车已经超速．
22．【答案】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，

由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH= CHAH ，
∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6× 33 =2 3 ，
∵DH=1.5，
∴CD=2 3 +1.5，
在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED= CDCE ，
∴CE= CDsin60° =4+ 3 ≈5.7（米），
答：拉线CE的长约为5.7米
23．【答案】解：如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∵在Rt△ACF中，∠ACF=30°，
AF=AC•sin∠ACF=10×sin30°=40× 12 =20（千米），
∴DE=AF=20（千米），
∵在Rt△ABE中，∠BAE=60°，
BE=AB•sin∠BAE=160×sin60°=160× 32 =80 3 （千米），
∴BD=DE+BE=20+80 3 ≈158.4（千米），
∴在Rt△BDC中，BC= BDsin∠BCD = BCsin53° ≈ 158.40.8 =198（千米）．
故舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．

24．【答案】解：如图，作BD⊥AC于点D，

∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=60°，
∴∠ABD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠CAB=20×sin60°=20× 32 =10 3 ，
在Rt△BCD中，BC=BD÷cos∠CBD=10 3 ÷cos45°=10 3 ÷ 22 =10 6 ，
∴可疑船只航行的平均速度 1061.5 ≈16（海里/小时）．
25．【答案】解：∵由题意可得∠EAD=45°，∠FBD=30°，又∵∠DAC=15°，∴∠EAC=60°，∵AE∥BF，∴∠FBC=∠EAB=60°，∴∠DBC=30°，∴∠BDA=∠DBC﹣∠DAB=30°﹣15°=15°，∴∠BDA=∠DAB，∴AB=DB=2km，∴∠ADB=15°，∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=15°+15°=30°；过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°= 3 ，BO=2×cos60°=1．在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= 33 ，∴CD=DO﹣CO= 3 ﹣ 33 = 233 （km）．即C，D之间的距离 233 km．
26．【答案】解：作EF⊥AC，
根据题意，CE=18×15=270米，
∵tan∠CED=1，
∴∠CED=∠DCE=45°，
∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，
∴EF=12CE=135米，
∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，
∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，
∴AE=1352≈190.4米
​
27．【答案】解：（1）∵BD∥AE，
∴∠DBA+∠BAE=180°，
∴∠DBA=180°﹣72°=108°，
∴∠ABC=108°﹣78°=30°；
（2）作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，
∵∠ABC=30°，
∴AH=12AB=12，
∵sinC=AHAC，
∴AC=AHsinC=12sin45°=122．
则A到出事地点的时间是：12230≈2×1.4145≈0.57小时．
答：约0.57小时能到达出事地点．
​
28．【答案】解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA=90°，
∵∠A=45°，
∴AF=DF，
设EF=x，
则tan25.6°=EFBF=0.5，
故BF=2x，
则AF=50+2x，
故tan61.4°=DFBF=50+2x2x=1.8，
解得；x≈31，
故DE=50+31×2﹣31=81（m），
答：塔高DE大约是81米．
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29．【答案】（1）解：依题意知： ∠PAB=45°， ∠PBG=15°， ∠GBC=75°
过点B作 BD⊥AP于D点，

∵∠DAB=45°， AB=42
∴AD=BD=4
∵∠ABD=∠GBD=45°， ∠GBP=15°
∴∠PBD=60°
∵BD=4
∴PD=43
∴PA=(4+43)km
（2）解：∵∠PBD=60°， BD=4
∴PB=8
过点P作 PE⊥BC于E
∵∠PBG=15°， ∠GBC=75°
∴∠PBE=60°
∵PB=8
∴BE=4， PE=43
∵BC=12
∴CE=8
∴PC=47km
30．【答案】（1）解：过点 D 作 DF⊥BC 交 BC 于 F ，

∵ ∠FCD=60° ， ∠CFD=90°
∴ FC=CD×cos60° ，
=50×12 ，
=25(cm) ，
∴ FA=AB+BC−CF=84+54−25=113(cm) ，
答：点 D 距离地面113厘米；
（2）解：过点 C 作 CG 垂直于地面于点 G ，
过点 B 作 BN⊥CG 交 CG 于点 N ，
过点 D 作 DM⊥CG 交 CG 于点 M ，

∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ BC=54(cm) ，将支杆 BC 绕点 B 顺时针旋转 20° ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ CN=BC×cos20° ，
=54×0.94 ，
=50.76(cm) ，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ MN=CN+MG−CG=50.76+90−134.76=6(cm) ，
∵ MN=6(cm) ，
∴ CM=CN−MN=44.76(cm) ，
∵ CM=44.76(cm) ，
∴ CD=CM÷cos40° ，
=44.76÷0.77 ，
≈58(cm) ，
答： CD 长为58厘米.