重点考点解答题专练--2022年初中数学中考备考二轮专题复习（二）

这是一份重点考点解答题专练--2022年初中数学中考备考二轮专题复习（二），共38页。试卷主要包含了计算，解方程组等内容，欢迎下载使用。
重点考点解答题专练（二）
1．计算：2cos60°﹣tan60°+|﹣1|+20210．
2．（1）计算：
（2）求不等式组的非负整数解．
3．（1）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
（2）先化简，再求代数式的值，其中是不等式组的整数解．
4．（1）解方程组．
（2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的数代入求值．
5．2022年冬奥会在北京和张家口联合举办．乐乐和果果都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．花样滑冰，B．速度滑冰，C．跳台滑雪，D．自由式滑雪．乐乐和果果计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
(1)乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率．
6．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为，将直线沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．

（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．求证：CE＝AF．

8．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于201年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：
【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
甲：40   60   60   70   60   80   40   90   100   60   60   100   80   60   70   60   60   90   60   60
乙：70   90   40   60   80   75   90   100   75   50   80   70     70   70   70   60   80   50   70   80
【整理、描述数据】按如表分数段整理、描述这两组样本数据：




甲
2
12
6
乙
3
10
7
（说明：成绩中优秀为，良好为，合格为．）
【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数，众数如右表所示：其中______．
学校
平均分
中位数
众数
甲
68
60
60
乙
71.5
70

【得出结论】
（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是______校的学生；（填“甲”或“乙”）
（2）估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数有______人；
（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
9．如图，AB为直径，弦BC平分∠DBA，BD与⊙O交于点E，过点C作BD的垂线于D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)如果，OA = 2，求DE的长．
10．学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多95元．某商店有A，B，C三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知B型长度是A型两倍，C型长度是A型三倍（同个型号跳绳长度一样），用80米绳子制作A型的数量比120米绳子制作B型的数量还多5根．
规格
A型
B型
C型
单价（元/条）
4
6
9
(1)求三种型号跳绳的长度．
(2)若购买三种跳绳经费刚好用完，其中A型和B型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为120米，求购买A型跳绳的数量．
(3)若购买的跳绳长度总长度不少于100米，则A型跳绳最多买几条？
11．如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y=kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y=（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）．

(1)求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；
(2)依据图象直接写出当时不等式的解集；
(3)若反比例函数y=与一次函数y=kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．
12．民族要复兴，乡村必振兴2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元．
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．

根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点C坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
13．如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE＝∠CBE，点C在AE的延长线上

(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA＝AO，DE＝5，求GD的长．
14．如图所示，CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．连接DE并延长与直线BC相交于点P，连接OA、OB．

(1)求证：OA⊥OB；
(2)求证：BC＝BP；
(3)若OA＝3，OB＝4，求AD•BC的值．
15．如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线：与双曲线；交于C，两点．

(1)求双曲线的函数关系式及m的值；
(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
16．由于全球汽车芯片短缺汽车生产成本增加，某汽车生产厂商计划提高汽车出厂价格，据市场反馈，某型号汽车出厂价格为8万元/辆时，其月销量为2000辆，且出厂价格每提高1万元/辆，月销量将减少300辆，设该型号汽车每辆出厂价格为x万元（x＞8）时，其月销量为y辆．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若汽车生产商计划该型号汽车的月销量不少于1400辆，在（1）的基础上，请根据函数中y的值随着x值的变化而变化的特点，求该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆多少万元？
17．图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，．

(1)当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．
(2)在H转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，，，，）
18．【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到，若连接，则△AEE' 的形状为______；

【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；

【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系．

19．如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．

(1)求OF的长；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)将△OEF沿射线EB向右上方平移个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点　　（填“能”或“不能”）落在反比例函数（x＞0）的图上．
20．如图，是的直径，点在线段的延长线上，且，点在上，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若为圆上任一动点，的半径为时，当弧长为 时，四边形为菱形，当弧长为 时，四边形为矩形．
21．在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作，，交BC于点E、F．

(1)如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．
(2)如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出的值．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．

(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)求证：∠ACD＝∠F；
(3)若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
23．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
24．如图，在中，，以AB为直径作分别交AC，BC于点D，E，连结EO并延长交于点F，连结AF．

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形．
(2)连结DE，若的面积为20，，求的直径．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当面积最大时，求出点M的坐标：
(3)若点P在抛物线上，连接PB，当时，请直接写出点P的坐标．

1．
【详解】
解：原式

2．（1）-2；（2）0，1，2，3．
【详解】
解：（1）
=
=
（2）
解不等式①，得，解得，
解不等式②，得，解得
∴不等式组的解集为：
∴非负整数解为：0，1，2，3．
3．（1），-5；（2）
【详解】
解：（1），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，，，0，1，和为；
（2）


，
解不等式组得：，
所以不等式组的整数解是3，
当时，原式．
4．（1）；（2），当时，原式
【详解】
解：（1），
①②，得，
．
把代入②，得，
．
原方程组的解为．
（2）原式

．
当时，
原式．
5．(1)
(2)．
(1)
解：乐乐选择项目“A．花样滑冰”的概率是；
故答案为：；
(2)
解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中乐乐和果果恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴乐乐和果果恰好选择同一项目观看的概率为．
6．（1），；（2），；（3）
（1）将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，并且经过点，代入求得值，且C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，也经过C点，代入可求出C点坐标；
（2）已知B、C两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；
（3）将A、E两点的坐标分别代入抛物线的解析式即可求出相应的值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线与线段AE有一个公共点时的范围．
【详解】
（1）解：将直线沿y轴向上平移3个单位长度后得到，
∵直线经过点，
∴，
则．
C点为抛物线与y轴交点，则C点坐标为，
且经过点，代入得：，则C点坐标为．
（2）解：抛物线经过点和点，
∴，
∴，
，
∴抛物线的函数表达式为，
∴，
∴顶点D的坐标为．
（3）解：∵点E是点D关于原点的对称点，
∴点E的坐标为．
当经过点时，，则，
当经过点时，，则，
结合下面图象可知a的取值范围是．

7．见解析
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴EO=FO，
∵在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴CE=AF．
8．【分析数据】70；【得出结论】（1）甲；（2）140；（3）乙校；理由如下：乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数70高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多
【详解】
解：【分析数据】乙校20名学生成绩出现次数最多的是70，故；
【得出结论】（1）∵甲校的中位数为60分，小明同学的成绩高于此学校的中位数，
∴由表中数据可知小明是甲校的学生，故答案为：甲；
（2）乙校在随机抽取20名学生中优秀成绩在范围内的人数是7，
估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数有：人；
故答案为140
（3）乙校；理由如下：∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数70高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲校多，
∴乙校的成绩较好．
9．(1)见解析
(2)1
（1）如图所示，连接OC，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义推出∠OCB=∠DBC，即可证明，得到∠D+∠OCD=180°，再由BD⊥CD，即可推出∠OCD=90°，即OC⊥CD，则CD是圆O的切线；
（2）如图所示，连接AC，AE，由AB是圆O的直径，得到∠ACB=∠AEB=90°，再由，得到∠ABD=60°，则，求出∠ABC=∠DBC=30°，则，即可求出，由此即可得到答案．
(1)
解：如图所示，连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴，
∴∠D+∠OCD=180°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，
∴CD是圆O的切线；

(2)
解：如图所示，连接AC，AE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵，
∴∠ABD=60°，
∴∠BAE=30°，
∴，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠DBC=30°，
∴，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴，
∴．

10．(1)A型4米，B型8米，C型12米
(2)5条
(3)20条
（1）根据题目告知的两个等量关系列出分式方程，求解即可；
（2）根据“A型和B型跳绳条数一样多”且“所有跳绳总长度为120米”，结合（1）得出的跳绳长度，列出二元一次方程组求解；
（3）根据“购买跳绳经费最多95元”且“购买的跳绳长度总长度不少于100米”这两个不等关系列出不等式组求解．
(1)
解：设A型x米，则B型，由题意可得
，
解得
∴A型跳绳长4米，B型跳绳长8米， C型跳绳长12米．
(2)
设购买A型跳绳a条，则购买B型跳绳a条，设购买C型跳绳b条，由题意可得：
得
解得
∴购买A型跳绳5条．
(3)
设购买A型跳绳m条，购买B型跳绳n条，购买C型跳绳t条，
由题意可得
得
化简得
所以
解得，
∴购买A型跳绳最多20条．
11．(1)，图见解析
(2)
(3)见解析
（1）利用待定系数法可求直线AB解析式，可得点C坐标，代入反比例函数解析式可求解；
（2）联立方程组可求点D坐标，利用图象可求解；
（3）分两种情况讨论，由矩形的性质可求解．
(1)
解：∵一次函数y=kx+b过点A（0，4），点B（8，0），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y=-x+4；
∵点C在一次函数图象上，
∴a=-×2+4=3，
∵反比例函数y=（x＞0）经过点C （2，3），
∴m=6，
∴反比例函数解析式为：y=，
图象如图所示：
；
(2)
解：∵反比例函数y=与一次函数y=-x+4交于C、D两点，
∴=-x+4，
∴x1=2，x2=6，
∴点D（6，1），
由图象可得：当2＜x＜6时，y=kx+b的图象在y=图象的上方；
(3)
解：如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，

若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．
12．（1）线下销售模式的解析式为：，线上销售模式的解析式为：；（2）购买这种新产品9千克时，线上和线下销售费用相同，都是36元；（3）选择线上模式购买最省钱．
【详解】
解：(1)线下销售模式的解析式为：；
线上销售模式的解析式为：不超过6千克时，；超过6千克时，；
即；
(2)由图象可得，，解得，，C点坐标为（9，36），实际意义为：购买这种新产品9千克时，线上和线下销售费用相同，都是36元；
(3) 线下销售模式购买这种产品10千克费用为：（元）；
线上销售模式购买这种产品10千克费用为：（元）；
所以，选择线上模式购买最省钱．
13．(1)见解析
(2)10
（1）先证明∠EAB＋∠ABE＝90°，然后再证明∠CBE＝∠EAB，从而可证明∠CBA＝90°；
（2）连接OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到＝＝，即＝，然后解得DG的长即可．
(1)
证明：∵AB是半⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝90°．
∵∠EAB＝∠BDE，∠BDE＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠ABE＝90°，即∠ABC＝90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
(2)
连接OD．

∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠EBD＝∠ABD，
∴∠EBD＝∠BDO．
∴OD∥BE．
∴△GOD∽△GBE．
∴＝．
∵GA＝AO，
∴GA＝AO＝BO，
∴＝＝即＝．
∴GD＝10．
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）如图，连接OE，根据切线长定理可得AD=AE，BE=BC，根据切线的性质可得OD⊥AD，OE⊥AB，OC⊥BC，即可得出点A在∠DOE的角平分线上，点B在∠COE的角平分线上，根据平角的定义即可得答案；
（2）如图，连接CE，根据等腰三角形的性质可得∠BCE=∠BEC，根据CD是直径可得∠CED=90°，可得∠PEB+∠BEC=90°，∠P+∠BCE=90°，即可证明∠P=∠PEB，可得BE=BP，即可得出BC=PB；
（3）如图，连接OE，由（1）可知∠AOB=90°，OE⊥AB，利用勾股定理可求出AB=5，根据两角对应相等可证明△AOE∽△ABO，△BOE∽△BAO，根据相似三角形的性质可得，，即可求出AE、BE的长，根据AD=AE，BC=BE即可得答案．
(1)
如图，连.接OE，
∵CD为⊙O的直径，AD、AB、BC分别与⊙O相切于点D、E、C（AD＜BC）．
∴AD=AE，BE=BC，OD⊥AD，OE⊥AB，OC⊥BC，
∴点A在∠DOE的角平分线上，点B在∠COE的角平分线上，
∴∠DOA=∠EOA，∠COB=∠EOB，
∴∠EOA+∠BOE=∠DOA+∠COB=90°，即∠AOB=90°，
∴OA⊥OB．

(2)
如图，连接CE，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∵CD是直径，
∴∠CED=90°，
∴∠PEB+∠BEC=90°，∠P+∠BCE=90°，
∴∠P=∠PEB，
∴BE=BP，
∴BC＝BP．

(3)
如图，连接OE，
由（1）可知∠AOB=90°，OE⊥AB，
∵OA＝3，OB＝4，
∴AB==5，
∵∠AEO=∠AOB=90°，∠OAE=∠BAO，
∴△AOE∽△ABO，
∴，
∴AE==，
∵∠BEO=∠OEA=90°，∠OBE=∠ABO，
∴△BOE∽△BAO，
∴，
∴BE==，
∵AD=AE，BE=BC，
∴AD•BC=AE•BE=×=．


15．(1)双曲线的函数关系式为，
(2)点在双曲线上，理由见解答
（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值；
（2）先求出点的坐标，判断即可得出结论．
(1)
解：将点代入中，得，
反比例函数的解析式为，
将点代入中，得；
(2)
解：因为四边形是菱形，，，
，，
，
由（1）知双曲线的解析式为；
，
点在双曲线上．
16．(1)y＝﹣300x+4400（x＞8）
(2)该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元
（1）利用月销售量＝2000﹣300×上涨的价格，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）（方法一）根据月销量不少于1400辆，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（方法二）由k＝﹣300＜0，可得出y随x的增大而减小，结合y的取值范围，即可得出x的最大值．
(1)
解：依题意得：y＝2000﹣300（x﹣8），
即y＝﹣300x+4400（x＞8）．
(2)
解：（方法一）依题意得：﹣300x+4400≥1400，
解得：x≤10．
答：该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．
（方法二）∵k＝﹣300＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵y≥1400，
∴当y取得最小值时，x取得最大值．
∵当y＝1400时，﹣300x+4400＝1400，解得：x＝10，
∴该型号汽车的出厂价格最多应定为每辆10万元．
17．(1)62.8cm
(2)125.8cm
（1）利用弧长公式求解即可．
（2）由题意可知，当 时，点H到地面的距离最大．过点H作HP⊥AB分别交AB、DC延长线于P、K，过点D作DQ⊥AB于点Q．构造直角三角形，利用锐角三角函数，可求出KH，KP的值，相加即是所求．
(1)
解：（1）∵100°≤∠DCH≤180°，
∴旋转角为180°﹣100°＝80°，
∵CM＝MH＝CH＝45，
∴当∠DCH从最小角转动到最大角时，
点M运动的路径长＝＝＝cm．
∴点M运动的路径长62.8cm．
(2)
如图2，

当 时，点H到地面的距离最大．
过点H作HP⊥AB分别交AB、DC延长线于P、K，过点D作DQ⊥AB交AB于点Q．则四边形DQPK是矩形．
∴DQ＝KP
在Rt△ADQ中，cm，
在Rt△CKH中，cm，
∴DQ＝KP＝37.6cm，
∴HP＝HK+KP＝88.2+37.6+＝125.8cm，
∴在线段CH转动过程中，H点到地面l的最大距离为125.8cm．
18．（1）等腰直角三角形；（2）QE=E'P，证明见解析；（3）PC2+BP2=2AP2．
（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，由旋转的性质得出∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，则可得出结论；
（2）证明△DQE≌△BE'P（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，由旋转的性质得出∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD，证出∠BCD=90°，由勾股定理可得出答案．
【详解】
解（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，
∴△AEE′为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（2）QE=E'P．
证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，
∴∠D=∠ABE'，DE=BE'，
∵DQ=BP，
∴△DQE≌△BE'P（SAS），
∴QE=E'P．

（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
由旋转的性质可知∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴PC2+CD2=PD2，
∵AP2+AD2=PD2=2AP2，
∴PC2+BP2=2AP2．
故答案为：PC2+BP2=2AP2．
19．(1)
(2)
(3)不能
（1）连接，由，进而求得OF；
（2）由直线垂直平分线段，求出BF的长，直角三角形BFC中由勾股定理求出FC的长，进而求出D点的坐标，代入函数求出k；
（3）利用正弦和余弦三角函数求出EF平移后的中点坐标，代入反比例函数验证即可；
(1)
解：如图，连接，
由矩形的性质可知，，
∴，
∴，即，
∴．

(2)
解：如图，
∵，，
∴直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入，得，
故反比例函数的解析式为；

(3)
解：B（8，4），则E（4，2），
又F（5，0），则EF中点坐标为（，1），
直角三角形BOC中由勾股定理得OB=
∴sin∠BOC=，cos∠BOC=，
将△OEF沿射线EB向右上方平移个单位长度，
则x轴上坐标向右平移距离为：×cos∠BOC=1，
则y轴上坐标向上平移距离为：×sin∠BOC=，
∴平移后EF中点坐标为（，），
x=，代入得y=≠，
故平移后EF中点坐标不能落在反比例函数上；
20．(1)见解析
(2)cm；cm
（1）添加辅助线，，若要证明是的切线，则问题转化为证明即可．其中，圆的半径都相等，得出，由三角形外角的性质求得，△是等边三角形，最后利用得出即可证明．
（2）若要的长度，根据弧长公式可知，需求圆的半径和圆心角即可．①由（1）知，利用圆心角的性质、圆周角定理、菱形的性质求出，，再由弧长公式得出结果；②由（1）可知，四边形是矩形时，，再由弧长公式得出结果．
(1)
解：如图连接，．

，
，
，
，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
是的切线．
(2)
①的长为cm时，四边形是菱形．

四边形是菱形，，
，
的长cm．
②当四边形是矩形时，易知，
的长cm．

故答案为：cm，cm．
21．(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)
（1）由直角三角形的性质可得BO＝AO＝OC，可得∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，由平行线的性质可证∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，可得结论；
（2）由“SAS”可证△AOD≌△COF，可得AD＝CF；
（3）由相似三角形的性质可得，设AC＝2x，由直角三角形的性质和勾股定理求出OB，OA即可求解．
(1)
证明：∵∠BAC＝90°，点O为斜边BC的中点，
∴BO＝AO＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ODF＝∠OFD，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠OED＝∠OBA，∠ODE＝∠OAB，∠ODF＝∠OAC，∠OFD＝∠OCA，
∴∠OED＝∠ODE，∠ODF＝∠OFD，
∴EO＝DO，FO＝DO，
∴EO＝FO，
∴点O是线段EF的中点；
(2)
解：AD＝CF，理由如下：
∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴OD＝OF，∠AOD＝∠COF，
又∵AO＝CO，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
(3)
解：如图1，旋转前，∵DE∥AB，
∴，
∴，
如图3，旋转后，∵将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，
∴∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD∽△BOE，
∴，
如图3，过点A作AH⊥BC于H，

设AC＝2x，
∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝60°，BC＝4x，
∵AH⊥BC，
∴∠CAH＝30°，
∴CH＝AC＝x，AH＝CH＝x，
∵点O是斜边BC的三等分点，
∴BO＝x，CO＝，
∴OH＝，
∴AO＝=＝，
∴＝＝．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）连接OC，根据直径所对的角是直角及等腰三角形转换得∠BCF +∠OCB=90°，即可得证
（2）根据同弧或等弧所对的角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化得证
（3）利用勾股定理列方程计算得出OH的长度，再利用中位线的性质得出AD的长度
(1)
解：如图，连接OC

∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠ACO
∵∠BCF=∠BAC
∴∠BCF +∠OCB=90°
∴∠OCF=90°
∴OC⊥CF
∴CF是⊙O的切线
(2)
∵点C是劣弧BD中点

∴∠CAD=∠BAC
∵∠BCF=∠BAC
∴∠CAD=∠BCF

∴∠CAD=∠CBD
∴∠BCF=∠CBD
∴CF∥BD
∴∠ABD=∠F

∴∠ACD=∠ABD
∴∠ACD=∠F
(3)
，

∴点H为BD的中点
∵AB＝10，BC＝6

设OH=x，则CH=5-x，根据勾股定理得


解得：

∵OH是中位线
∴
23．(1)点B的坐标为
(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．
（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；
（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；
②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；
③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．
(1)
解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
(2)
解：①时，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
②抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，，
设点坐标为，
，
，
即，
，
解得，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
③有最大值，点的坐标为，，

设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，
即直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，有最大值，
此时，．
24．(1)证明见解析；
(2)．
（1）先根据题意，AB、EF为圆直径可证明；再推导，证明，根据平行四边形的判定证明四边形ACEF为平行四边形即可；
（2）连结AE，BD，DE，设．在中，根据三角函数可解得，；再推导出E为BC中点，根据的面积可计算的面积，利用三角形面积列方程求得CD、BC、BD的长度，在中利用三角函数求AB长度即可．
(1)
证明：∵AB和EF为直径，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ACEF为平行四边形．
(2)
由得．
连结AE，BD，DE，

∵AB为直径，
∴，即， ．
∵，
∴设，则，．
∵，，
∴E为BC中点，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，∴．
∴，，，
∴
∴，
∴的直径为．
25．(1)；
(2)；
(3)或；
（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点M作轴，交直线BC于N，假设出M、N的坐标表示出面积，求最大值即可；
（3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长BD交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线BE与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接BE交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线BE与抛物线交点即可知P1点坐标．
(1)
解：令，则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∵抛物线经过A，B两点，
∴，解得，
∴．
(2)
解：过点M作轴，交直线BC于N，

设点，

∴当时，的面积最大为4，
∴．
(3)
解：或，理由如下：
①在x轴上取点，延长BD交抛物线于点P，

∵，，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，即，
设过BD的直线方程为，将点B、D代入可得，解得，
∴，将其与抛物线方程联立可得：，解之得：，，当时，，
∴，
②作轴，使，连接BE交抛物线与点，

∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵且,，
∴，
∵，
设过BE的直线方程为，将点B、E代入可得，解得
∴，将其与抛物线方程联立可得：，解之得：，，当时，，
∴，
综上所述：或．