专题6.24 正方形与三垂直（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题6.24 正方形与三垂直（提高篇）
（专项练习）
一、解答题
1．如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与不重合），于E，交DG于F.
求证：.

2．如图，正方形ABCD的边长为8，E是边CD上一点，DE=6， BF⊥AE于点F．
(1)求证：△ADE∽△BFA；
(2)求BF的长．




3．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．

(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．



4．如图，在正方形中，对角线、相交于点，、分别在、上，且，连接、，的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．

5．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．

6．（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．




7．如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，，与相交于点．
（1）求证：．
（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且．
①求证：；
②若，直接写出的值．


8．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：；
（2）求证：DE－BF＝EF；
（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．




9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF与DE相交于点M，且∠BAF＝∠ADE．
（1）如图1，求证：AF⊥DE；
（2）如图2，AC与BD相交于点O，AC交DE于点G，BD交AF于点H，连接GH，试探究直线GH与AB的位置关系，并说明理由；
（3）在（1）（2）的基础上，若AF平分∠BAC，且BDE的面积为4+2，求正方形ABCD的面积．





10．探究证明：
（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；

（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．



11．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
（1）求证：PE＝PB；
（2）如图2，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．




12．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求的长.




13．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C 在坐标轴上，点B（，），P是射线OB上一点，将绕点A顺时针旋转90°，得，Q是点P旋转后的对应点.
（1）如图（1）当OP = 时，求点Q的坐标；
（2）如图（2），设点P（，）（），的面积为S. 求S与的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；
（3）当BP+BQ = 时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）




14．如图所示，，四边形为正方形，交轴于.求点的坐标.



15．综合与实践
情景再现
我们动手操作：把正方形ABCD，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．
如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，

（1）问题呈现
我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示
①点P是一动点，若AB=3，PA=1，当点P位于_ __时，线段PB的值最小；若AB=3，PA=5，当点P位于__ _时，线段PB有最大值．PB的最大值和最小值分别是______．
②直接写出线段AE与DB的关系是_ ________．
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．
①当点E在BC上时，通过观察、思考易证：AD=MF+CE；
②当点E在BC的延长线时，如图④所示；
当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，
线段AD、MF、CE具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图④或图⑤证明你的猜想．

问题拓展
（3） 连接EM，当=8，=50，其他条件不变，直接写出线段CE的长_______．


16．如图所示，，，延长至，使，四边形为正方形，求点的坐标.







17．四边形是边长为的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为直角顶点在右侧作等腰，连接
　（1）如图1，当点在点左侧，且三点共线时，______；
（2）如图2，当点在点右侧，且时，求的长：
（3）若点在边所在直线上，且，求的长．




18．在正方形中，点是边上的一点，点是直线上一动点，于，交直线于点．
（1）当点运动到与点重合时(如图1)，线段与的数量关系是________．
（2）若点运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，请直接写出折痕的长．






19．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN， 连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：________．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．







20．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的关系（直接写出答案，不用证明）；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α （0°＜α≤60°），判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的结论；
（3）若BC＝DE＝4，当α等于多少度时，AE最大？并求出此时AF的值．




21．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．



参考答案
1．见解析.
【分析】
首先证明△AED≌△DFC，则能得出DE=FC，AE=DF，进而得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF∥AE，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴AE=DF，ED=FC．
∵DF=DE+EF，
∴AE=FC+EF．
【点拨】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据正方形的性质和垂直的定义可证∠D=∠AFB=90°，根据余角的性质可证∠ABF=DAE，从而可证△ADE∽△BFA；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，然后根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠D=∠AFB，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
∴△ADE∽△BFA；
（2）∵AD=8，DE=6，
∴AE=，
∵△ADE∽△BFA，
∴，
∴，
∴BF=．
【点拨】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．(1)证明见解析； (2)
【分析】
（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；
（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．
【详解】
(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝135°，
由(1)知∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵正方形ADEF边长为，
∴DF＝4，
∴OC＝DF＝×4＝2．
【点拨】
本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的性质及SAS定理证△AOE≌△DOF，得出AE=DF即可；
（2）由△AOE≌△DOF得出∠OEA=∠OFD，证出∠OAE+∠OFD=90°，得出∠AMF=90°，即可得出结论．
【详解】
（1）四边形是正方形，
，，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，
，
，
，
．
【点拨】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；解答本题的关键是通过全等的证明和利用等角代换解题，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）AE的长为．
【分析】
（1）由旋转的性质可得AE=AF，∠EAF=90°，可得结论；
（2）由题意可得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．
【详解】
（1）∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，∠EAF=90°，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE中，AE=．
【点拨】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
6．（1）AE=AF，理由见解析；（2）CE=MF，理由见解析；（3）如图所示，见解析．
【分析】
（1）根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性质即可解答；
（2）根据△ABF≌△ADE及三角形外角的性质可求出∠AFM=∠AEC，根据两角互余的关系∠MAF=∠EAC，再由ASA定理求出△AMF≌△ACE，可得CE=MF；
（3）画出示意图，只要求出C、D、F共线，即可求出四边形AECF是正方形；
【详解】
（1）AE=AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△ADE中
，
∴△ABF≌△ADE（ASA）
∴AE=AF；
（2）CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，
即∠AFM=∠AEC．
∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°，
∴∠MAF=∠EAC，
在△AMF和△ACE中
，
∴△AMF≌△ACE（ASA），
∴CE=MF．
(3)如图所示．
过A作AE⊥BC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把△ABE切下，拼到△ADF的位置，
∵∠C=∠BAD=90°，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADF+∠ADC=180°，
∴C、D、F共线，
∵AE=AF，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是正方形．

【点拨】
此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质、多边形的内角和等知识．解题的关键是利用全等三角形进行割补．
7．（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】
（1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应边相等BE=FD；
（2）①由正方形的性质得出CD//GE，得出，从而得到，再结合已知条件利用比例的性质即可得证
②由得出，结合①可得，从而即可得出的值
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE=FD；
（2）①∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴CD//GE，GF=EC
∴，
∴
∴
∵
∴
∵BC=CD
∴
②∵
∴
∵
∴
∵AB=CD
∴
【点拨】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质和判定、相全等三角形的性质和判定，得出是解题的关键
8．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由正方形的性质可得AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，根据DE⊥AG，利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠BAF＝∠ADE，利用AAS即可证明△ADE≌△BAF；
（2）根据全等三角形的性质可得DE=AF，BF=AE，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）利用勾股定理可求出AG的长，利用面积法可求出BF的长，进而利用勾股定理可求出AF的长，根据BF=AE，EF=AF-AE即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEF＝90°，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°．
∴∠BAF＝∠ADE．
在△ABF和△DAE中，，
∴△ADE≌△BAF．
（2）∵△DAE≌△ABF，
∴AE＝BF，DE＝AF
∵AF－AE＝EF，
∴DE－BF＝EF．
（3）∵∠ABC＝90°，
∴AG2＝AB2＋BG2＝12＋22＝5，
∴．
∵S△ABG＝，
∴．
在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝22－＝，
∴AF=，
∵AE=BF，EF=AF-AE，
∴
【点拨】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解答本题的关键是根据AAS证明△ABF≌△DAE，此题难度一般．
9．（1）见解析；（2）GHAB，见解析；（3）12+8
【分析】
（1）根据正方形的性质证明∠BAF+∠AED＝90°即可解决问题．
（2）证明△ADF≌△BAF（ASA），推出AE＝BF，由AECD，推出＝，由BFAD，推出＝，由AE＝BF，CD＝AD，推出＝可得结论．
（3）如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．利用三角形的面积公式构建方程求出a即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠AED＝∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AME＝90°，
∴AF⊥DE．
（2）解：如图2中．结论：GHAB．
理由：连接GH．

∵AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AECD，
∴＝，
∵BFAD，
∴＝，
∵AE＝BF，CD＝AD，
∴＝，
∴GHAB．
（3）解：如图2﹣1中，在AD上取一点J，使得AJ＝AE，连接EJ．设AE＝AJ＝a．

∵AF平分∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠ADE＝22.5°，
∵AE＝AJ＝a，∠EAJ＝90°，
∴∠AJE＝45°，
∵∠AJE＝∠JED+∠JDE，
∴∠JED＝∠JDE＝22.5°，
∴EJ＝DJ＝a，
∵AB＝AD＝a+a，AE＝AJ，
∴BE＝DJ＝a，
∵S△BDE＝4+2，
∴×a×（a+a）＝4+2，
解得a2＝4，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴AD＝2+2，
∴正方形ABCD的面积＝12+8．
【点拨】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）由矩形的性质结合等角的余角相等，可证明∠NBC=∠MAB，进而证明△BCN∽△ABM，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）过点B作BG∥EF交CD于G，由两组对边分别平行判定四边形BEFG是平行四边形，再根据平行四边形的性质，可证明△GBC∽△MAB，最后根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，可得四边形ABSR是平行四边形，再由含有一个90°角的平行四边形是矩形，证明四边形ABSR是矩形，进而得到∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．，结合（2）中结论可证明△ACD≌△ACB，由全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ABC，再由等角的余角相等，证明△RAD∽△SDC，根据相似三角形对应边成比例，设SC=x，解得DR、DS的长，再结合勾股定理解题即可．
【详解】
（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90°
∴∠NBA+∠NBC=90°．
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA=90°，
∴∠NBC=∠MAB，
∴△BCN∽△ABM，
∴=
（2）结论：=
理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG=EF．
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB=90°．
∵∠ABC=∠C=90°，
∴∠GBC+∠GBA=90°，
∴∠MAB=∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴=，
∴=
（3）过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90°，
∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（2）中结论可得：=
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB，
∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠SDC+∠RDA=90°．
∵∠RAD+∠RDA=90°，
∴∠RAD=∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴=
，设SC=x，
∴=
∴RD=2x，DS=10-2x，
在Rt△CSD中，∵，
∴52=（10-2x）2+x2，
∴x=3或5（舍弃），
∴BS=5+x=8，
∴===
【点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．
11．（1）见解析；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．PF的长为定值；（3）．理由见解析．
【分析】
（1）做辅助线，构建全等三角形，根据ASA证明即可求解．
（2）如图，连接OB，通过证明，得到PF=OB，则PF为定值是．
（3）根据△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得，，整理可得结论．
【详解】
（1）证明：如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．

∵PB⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠MPB+∠EPN＝90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°．
∵AD∥MN，
∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，
∵∠MPB+∠MBP＝90°，
∴∠EPN＝∠MBP．
在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，
∴△PNC是等腰直角三角形，
∴PN＝CN，
∴BM＝CN＝PN，
∴△BMP≌△PNE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．

理由：如图2，连接OB．
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠EFP＝90°，
∴∠OBP+∠BPO＝90°．
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPO+∠OPE＝90°，
∴∠OBP＝∠OPE．
由（1）得PB＝PE，
∴△OBP≌△FPE（AAS），
∴PF＝OB．
∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴．
∴PF的长为定值．
（3）解：．
理由：如图1，∵∠BAC＝45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴．
由（1）知PM＝NE，
∴．
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴．
【点拨】
本题主要考查了四边形综合应用，通过对三角形全等的证明找出边之间的关系，准确分析代换求解是解题的关键．
12．10
【解析】
【分析】
作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．通过证明△AFD≌△EOA，△CDG≌△DAF，可证DG＝AF＝EO＝2，GC＝DF＝AO＝4，从而求出点C与点E的坐标，然后根据勾股定理求解即可.
【详解】
正方形的中心如图：作AF∥x轴，DF∥y，CG⊥DF．

∵DF∥y，
∴∠ADF=∠EAO，
∵AD＝AE，∠F=∠AOE，
∴△AFD≌△EOA，
∵∠DGC=∠AFD,∠DCG=∠ADF, CD＝AD，
∴△CDG≌△DAF,
∴DG＝AF＝EO＝2，GC＝DF＝AO＝4,
∴C为(2+4，4+(4-2))，即(6，6),
E为(-2，0)，C为(6，6)
​.
【点拨】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标及勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.
13．（1）；（2），；（3）．
【分析】
（1）先根据正方形的性质、解直角三角形可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，由此即可得出答案；
（2）先根据正方形的性质得出，，再根据旋转的性质、勾股定理可得，，然后根据直角三角形的面积公式可得S与x的函数关系式，最后利用二次函数的解析式即可得点P的坐标；
（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出，，从而得出点P在OB的延长线上，再根据线段的和差可得，然后同（1）的方法可得，，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得，由此即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，过P点作轴于点G，过Q点作轴于点H
∵四边形OABC是正方形
∴
∵
∴
在中，，
∴
∵绕点A顺时针旋转得到
∴，


在和中，
∴
∴
∴
则点Q的坐标为；
（2）如图2，过P点作轴于点G
∵绕点A顺时针旋转得到
∴
∵
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
整理得：
∴
整理得：

由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小；当时，S随x的增大而增大
则当时，S取得最小值，最小值为9
此时
故点P的坐标为；
（3）∵绕点A顺时针旋转得到
∴
∵
∴
∵四边形OABC是正方形，且边长
对角线
∴点P在OB的延长线上
∴
解得

如图3，过P点作轴于点G，过Q点作轴于点H
同（1）可得：，
，

则点Q的坐标为．
【点拨】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点，较难的是题（3），正确得出点P的位置是解题关键．
14．
【解析】
【分析】
作轴于E，作于F，易证≌，得，，即可求出点B坐标.
【详解】
解：作轴于E，作于F，

，
在正方形ABCD中，，，
，
，
≌，
，，
 ，
，，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形. 利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标.
15．（1）①AB，BA延长线，最大值是8，最小值是2；；②AE=BD，AE⊥BD；
（2）选择图④，则AD+CE=MF.见详解；
（3）1或7.
【分析】
（1）①P为一动点，PA=1，则点P在以A为圆心，以1为半径圆上，画图的解；同理PA=5，则点P在以A为圆心，以5为半径圆上，问题得解；②△ACE≌△DCB，问题得解；
（2）类比①；通过添加辅助线FG⊥BE，交BE延长线于G，证明△ABE≌△EGF，进行线段转移，得出结论；
（3）已知=8，通过三角形面积公式，求出CF=4，△AEF为等腰直角三角形，=50，得出EF=5，勾股定理得EG=3，计算得出结果.
【详解】
解：（1）①AB；BA延长线；最大值是8，最小值是2；
②AE=BD，AE⊥BD；
证明：如图，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
即：∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，
∵∠BFC+∠DBC=90°，∠BFC=∠EFD,
∴∠AEC+∠EFD=90°
∴AE⊥BD

（2）②答：选择图④，则AD+CE=MF.
证明：如图，作FG⊥BE，交BE延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠MCG=∠G==90°，AD=AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∴△ABE≌△EGF，
∴AB=EG
∵ AB=BC，
∴EG=BC，
∴EG+CE=BC+CE，
即：CG=BC+CE=AD+CE.
∵∠G=∠MCG=90°，FM⊥CD，
∴四边形CMFG为矩形，
∴MF=CG，
∴AD+CE=MF

（3）∵CG=BC+CE=FG，四边形CMFG为矩形，
∴四边形CMFG为正方形，
∵，
∴
∴FG=4
∵=50，△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=5,
∴在直角△EFG中，EG=3，
∴CE=CG-EG=4-3=1或CE=CG+EG=4+3=7 .
【点拨】
（1）P为动点，PA为定值，则点P在以A为圆心，PA长为半径圆上，此题为隐圆，通过圆求线段的最大（小）值是初中几何常见的一个模型；两条线段的位置关系一般从位置和数量两方面分析；
（2）三条线段的关系一般为两短之和等于最长或者三条线段构成勾股关系，此题类比①，易得出结论；见等腰直角三角形构造全等是几何中一种常见辅助线构图；
（3）注意分类思想运用.
16．
【分析】
作轴于G，过C作于F，易证≌，得，，故C（6,6）
【详解】
解：作轴于G，过C作于F，

四边形ADCB为正方形，
所以，
，
​
≌，
又，
，
，
．
【点拨】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用正方形的四边相等构造K字型全等，通过证明三角形全等求得AG、GD、DF、CF的长是解题的关键．
17．（1）6；（2）；（3）1或3
【分析】
（1）易证得四边形CDMF和四边形ANEM都是矩形，证得Rt△EMNRt△FCM，得到MF= NE=BF=2，EM=FC=4，即可求得BN的长；
（2）易证得四边形CDGH和四边形ANHG都是矩形，证得Rt△CDMRt△MGN，求得NH=，BH=AG=AM+MG，利用勾股定理即可求得BN的长；
（3）分点M在点A左侧、点M在点D右侧、点M在线段AD上三种情况讨论，分别利用勾股定理构造方程即可求解．
【详解】
（1）过M作EF∥AB，过N 作NE⊥EF于E，延长CB交EF于F，如图所示：

又∵四边形是边长为的正方形，
∴四边形CDMF和四边形ANEM都是矩形，
∴MF=CD=2，NE=BF，BN=EF，
∵∠NMC=90，MN=MC，
∴∠NMC=∠NEM=∠MFC=90，
∴∠EMN+∠CMF=90，∠FCM +∠CMF=90，
∴∠EMN=∠FCM，
∴Rt△EMNRt△FCM，
∴MF= NE=2，则NE=BF=2，
EM=FC=BF+BC=2+2=4，
∴BN=EF=EM+MF=4+2=6；
（2）过N作GH∥AB，延长AD、BC交GH于G、H，如图所示：

又∵四边形是边长为的正方形，
∴四边形CDGH和四边形ABHG都是矩形，
∴GH=CD=2，AG=BH，DG=CH，
∵AM=，
∴DM=，
同理可证得Rt△CDMRt△MGN，
∴GN=DM=，MG=CD=2，
∴NH= GH-GN=2-，
BH=AG=AM+MG=，
∴BN=；
（3）点M在点A左侧，
过M作EF∥AB，过N 作NE⊥EF于E，延长CB交EF于F，延长BA交NE于G，如图所示：

又∵四边形是边长为的正方形，
∴四边形CDMF、四边形BFEG和四边形AMEG都是矩形，
∴MF=CD=2，AG=ME，EG=FB=AM，
同理可证得Rt△NEMRt△MFC，
∴MF= EN=2，EM=FC，
设，则，
，
∴，，
在中，，
整理得：，
(舍去)，
∴；
点M在点D右侧，
过N作EF∥AB，延长AD、BC交EF于F、E，如图所示：

同理可得：EF=CD=2，BE=AF，
同理可证得Rt△CDMRt△MFN，
∴FN=DM，MF=CD=2，
设，则，
，，
在中，
整理得：
解得：(舍去)，
∴；
点M在线段AD上，
过M作EF∥AB，过N 作NE⊥EF于E，延长BA交NE延长线于H，如图所示：

同理可得：MF=CD=2，HE=AM=BF，BH=EF，
同理可证得Rt△EMNRt△FCM，
∴EN=MF=2，FM=FC，
设，则，FC=BC-BF=,
，，
在中，，
解得：(舍去)，(舍去)，
综上所述AM的值为1或3．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
18．（1）EF=AG；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】
（1）利用ASA证明△ABE≌△DAG全等即可得到结论；
（2）过点F作FM⊥AE，垂足为M，利用ASA证明△ADG≌△FME，即可得到结论；
（3）过点Q作QH⊥AD于H，，根据翻折变换的性质可得PQ⊥AM，然后求出∠APQ=∠AMD，再利用“角角边”证明△ADM≌△QHP，根据全等三角形对应边相等可得QP=AM，再利用勾股定理列式求出AM，从而得解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADG=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵EF⊥AG，
∴∠AEB+∠DAG=90°，
∴∠ABE=∠DAG，
∴△ABE≌△DAG（ASA），
∴EF=BE=AG；
（2）成立，理由是：
过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADG=90°，AD=CD，
∴MF=CD=AD，∠EMF=90°，
∴∠E+∠EFM=90°，
∵EF⊥AH，
∴∠HAE+∠E=90°，
∴∠HAE=∠EFM，
∴△ADG≌△FME（ASA），
∴EF=AG；

（3）如图，过点Q作QH⊥AD于H，则四边形ABQH中，HQ=AB，
由翻折变换的性质得PQ⊥AM，
∵∠APQ+∠DAM=90°，∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠APQ=∠AMD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴HQ=AD，
在△ADM和△QHP中，
，
∴△ADM≌△QHP（AAS），
∴QP=AM，
∵点M是CD的中点，
∴DM=CD=3，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，AM=，
∴PQ的长为．

【点拨】
本题考查了全等三角形的判定和性质，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
19．（1）相等且垂直；（2）成立， 理由详见解析；（3）40
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACM=∠DCB=90°，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC+∠DBC=90°，进而得出AM⊥BD；
（2）根据正方形的性质可得AC=DC，CM=CB，∠ACD=∠MCB=90°，通过等量相加即可得到∠ACM=∠DCB，利用SAS可证出△ACM≌△DCB，根据全等三角形的性质即可得出AM=BD，∠MAC=∠BDC，设AM与CD交于点P，即可证出∠DPM+∠BDC=90°，进而得出AM⊥BD；
（3）连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，根据AM⊥BD，即可利用勾股定理即可求出答案.
【详解】
（1）相等且垂直.
（1）在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACM=∠DCB=90°，CM=CB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠AMC=90°，
∴∠MAC+∠DBC=90°，
∴AM⊥BD；
故答案为相等且垂直；
（2）第（1）问中的结论仍然成立，即AM与BD的关系是：相等且垂直；理由如下：
如图所示，设AM与CD交于点P，

在正方形ACDE和正方形BCMN中，
∵AC=DC，∠ACD=∠MCB=90°，CM=CB，
∴∠ACD+∠DCM=∠MCB+∠DCM,
即∠ACM=∠DCB，
∴△ACM≌△DCB（SAS），
∴AM=BD，∠MAC=∠BDC，
∵∠MAC+∠APC=90°，
∴∠BDC+∠APC =90°，
∵∠APC =∠DPM，
∴∠BDC+∠DPM =90°，
∴AM⊥BD；
∴AM与BD的关系是：相等且垂直；
（3）如图所示，连接AD、BM，设AM与BD交于点Q，

∵AC=4，BC=2，
∴AD2=42+42=32，BM2＝22+22＝8，
∴，，
由（2）可知，AM⊥BD，
∴AB2=AQ2+BQ2，DM2=DQ2+MQ2；AD2=AQ2+DQ2，BM2=BQ2+MQ2，
∴AB2+DM2＝AQ2+BQ2+DQ2+MQ2，
AD2+BM2＝AQ2+DQ2+BQ2+MQ2，
∴AB2+DM2＝AD2+BM2=40.
【点拨】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.结合图形综合运用所学知识是解题的关键.
20．（1）BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（2）结论成立，BG＝AE，BG⊥AE，见解析；（3）当α为270°时，AE最大，AF＝
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论．
（2）如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论．
（3）由（2）可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．
【详解】
解：（1）结论：BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如图1，延长EA交BG于K．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝DG．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GAK＝∠DAE，
∴∠AKG＝∠ADE＝90°，
∴EA⊥BG．
（2）结论成立，BG＝AE，BG⊥AE．
理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O．

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE．
在△BDG和△ADE中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE，∠BGD＝∠AED，
∵∠GOK＝∠DOE，
∴∠OKG＝∠ODE＝90°，
∴EA⊥BG．
（3）∵BG＝AE，
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE．

∵BC＝DE＝4，
∴BG＝2+4＝6．
∴AE＝6．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF＝＝，
∴AF＝．
【点拨】
本题是四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）EF最大值： ，EF最小值：1
【分析】
（1）过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，根据平行四边形和正方形的性质求证△ABP≌△BCH（ASA），然后根据三角形全等的性质即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得FP＝FC，然后根据等边对等角和等量代换求得∠AFP＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质得到FE＝AP，结合（1）问结论即可求证；
（3）根据（2）问结论得到EF＝MN，当点P和点B重合时，EF有最小值；当点P和C重合时，EF有最大值，根据正方形的对角线即可求解．
【详解】
（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；

（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2，
当点P和点B重合时，EF最小值＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大值＝MN＝BD＝．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，本题考查较为综合，题目较难，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．