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专题29 指、对数不等式的解法-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编
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指、对数不等式的解法
一.选择题(共12小题)
1.(2012•新课标)当0<x≤12时,4x<logax,则a的取值范围是( )
A.(0,22) B.(22,1) C.(1,2) D.(2,2)
【解析】解:∵0<x≤12时,1<4x≤2
要使4x<logax,由对数函数的性质可得0<a<1,
数形结合可知只需2<logax,
∴0<a<1logaa2<logax
即0<a<1a2>x对0<x≤12时恒成立
∴0<a<1a2>12
解得22<a<1
故选:B.
2.(2015•北京)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|﹣1<x≤0} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣1<x≤2}
【解析】解:由已知f(x)的图象,在此坐标系内作出y=log2(x+1)的图象,如图
满足不等式f(x)≥log2(x+1)的x范围是﹣1<x≤1;所以不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|﹣1<x≤1};
故选:C.
3.(2019•西城区校级模拟)若实数a满足loga23>1>log34a,则a的取值范围是( )
A.(23,1) B.(23,34) C.(34,1) D.(0,23)
【解析】解:∵loga23>1=logaa,
∴0<a<1,23<a,
∴23<a<1.①,
又log3434=1>log34a,
∴a>34.②,
由①②得:34<a<1.
∴a的取值范围是(34,1).
故选:C.
4.(2019•榆林三模)若log2a<0,(12)b>1,则( )
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
【解析】解:∵log2a<0=log21,由对数函数y=log2x在(0,+∞)单调递增∴0<a<1
∵(12)b>1=(12)0,由指数函数y=(12)x单调递减∴b<0
故选:D.
5.(2019春•顺德区期末)不等式log2(x2﹣4x+5)<1的解集为( )
A.(1,3) B.(﹣3,﹣1)
C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣1,+∞) D.(﹣∞,1)∪(3,+∞)
【解析】解:由不等式log2(x2﹣4x+5)<1,可得 0<x2﹣4x+5<2,即x2-4x+5>0x2-4x+3<0,
求得1<x<3,
故选:A.
6.(2019•天心区校级一模)已知log13(x+y+4)<log13(3x+y﹣2),若x﹣y<λ+9λ恒成立,则λ的取值范围是( )
A.(﹣∞,1)∪,(9,+∞) B.(1,9)
C.(0,1)∪(9,+∞) D.(0,1]∪([9,+∞)
【解析】解:∵log13(x+y+4)<log13(3x+y﹣2),
∴x+y+4>03x+y-2>0x+y+4>3x+y-2
画出出不等式组x+y+4>03x+y-2>0x<3表示的可行域如图示:
在可行域内平移直线z=x﹣y,
当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A(3,﹣7)时,
目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10.
x﹣y<λ+9λ恒成立,即:λ+9λ≥10,
解得:λ∈(0,1]∪[9,+∞)
故选:D.
7.(2019•汕尾模拟)若集合{x|2x>22}={x|log12(x-a)<0},则实数a的值为( )
A.12 B.2 C.32 D.1
【解析】解:由2x>22,解得x>32;
由log12(x﹣a)<0的解集为{x|x>a+1},
令a+1=32,解得a=12.
故选:A.
8.(2019秋•德州期中)已知函数f(x)=lnxx,关于x的不等式f2(x)﹣af(x)>0只有1个整数解,则实数a的取值范围是( )
A.(12ln2,13ln3) B.[12ln2,13ln3]
C.(12ln2,13ln3] D.[12ln2,13ln3)
【解析】解:由f(x)=lnxx(x>0),∴f′(x)=1-lnxx2,
令f′(x)>0,解得:0<x<e,
令f′(x)<0,解得:x>e,
∴f(x)的递增区间为(0,e),递减区间为(e,+∞),故f(x)的最大值是f(e)=1e;
x→+∞时,f(x)→0,x→0时,x→﹣∞,f(1)=0,故在(0,1)时,f(x)<0,在(1,+∞)时,f(x)>0,
函数f(x)的图象如下:
①a<0时,由不等式f2(x)﹣af(x)>0得f(x)<a或f(x)>0,
而f(x)<a<0时0<x<1无整数解,f(x)>0的解集为(1,+∞),整数解有无数多个,不合题意;
②a=0时,由不等式f2(x)﹣af(x)>0,得f(x)≠0,解集为(0,1)∪(1,+∞),
整数解有无数多个,不合题意;
③a>0时,由不等式f2(x)﹣af(x)>0,得f(x)<0或f(x)>a,
∵f(x)<0的解集为(0,1)无整数解,而f(x)>a的解集整数解只有一个,
且f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,
而2<e<3,f(2)=f(4)<f(3),这一个正整数只能为3,
∴f(2)≤a<f(3),∴ln22≤a<ln33;
综上,a的取值范围是[ln22,ln33).
故选:D.
9.(2019春•湖南期末)若关于x的不等式log2(ax2﹣2x+3)>0的解集为R,则a的取值范围是( )
A.(0,13) B.(0,12) C.(12,+∞) D.(13,+∞)
【解析】解:∵关于x的不等式log2(ax2﹣2x+3)>0的解集为R,∴ax2﹣2x+3>1恒成立,
即 ax2﹣2x+2>0恒成立,∴a>0△=4-8a<0,求得a>12,
故选:C.
10.(2019•遵义校级一模)若x∈(﹣∞,﹣1]时,不等式(m2﹣m)•4x﹣2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣4,3) C.(﹣1,2) D.(﹣3,4)
【解析】解:∵(m2﹣m)4x﹣2x<0在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立
∴(m2﹣m)<2x4x=12x在x∈(﹣∞,﹣1]时恒成立
由于f(x)=12x在x∈(﹣∞,﹣1]时单调递减
∵x≤﹣1,
∴f(x)≥2
∴m2﹣m<2
∴﹣1<m<2
故选:C.
11.(2019秋•渭滨区校级期中)不等式lg(x2﹣x﹣2)≤1的解集为( )
A.(﹣3,4) B.[﹣3,4]
C.[﹣3,﹣1)∪(2,4] D.(﹣3,﹣1)∪[2,4]
【解析】解:由不等式lg(x2﹣x﹣2)≤1,可得lg(x2﹣x﹣2)≤lg10,
∴x2-x-2>0x2-x-2≤10,即(x+1)(x-2)>0(x+3)(x-4)≤0,即 x<-1,或x>2-3≤x≤4.
求得﹣3≤x<﹣1,或 2<x≤4,
故选:C.
12.(2019秋•钟祥市校级月考)不等式(12)x2-8-2-2x≥0的解集是( )
A.[﹣2,4] B.(﹣∞,﹣2]∪[4,∞)
C.[﹣4,2] D.[﹣2,0]
【解析】解:原不等式可得:(12)x2-8≥(12)2x,
∵y=(12)x在R上单调递减,
∴x2﹣8≤2x,
x2﹣2x﹣8≤0,
﹣2≤x≤4.
故选:A.
二.填空题(共16小题)
13.(2014•上海)若f(x)=x23-x-12,则满足f(x)<0的x的取值范围是 (0,1) .
【解析】解:f(x)=x23-x-12,若满足f(x)<0,
即x23<x-12,
∴x76<1=x0,
∵y=x76是增函数,
∴x76<1的解集为:(0,1).
故答案为:(0,1).
14.(2019•全国四模)ln(2x﹣1)<0的解集为 (12,1) .
【解析】解:不等式ln(2x﹣1)<0化为0<2x﹣1<1,
12<x<1,
∴不等式的解集为(12,1).
故答案为:(12,1).
15.(2019春•锡山区校级月考)若关于x的不等式loga(x-2)+loga(6-x)≤1logma(其中a>1)恒成立,则实数m的取值范围是 [4,+∞) .
【解析】解:关于x的不等式loga(x-2)+loga(6-x)≤1logma(其中a>1)恒成立,
即不等式loga(x﹣2)(6﹣x)≤logam在x∈[2,6]上恒成立;
即不等式m≥(x﹣2)(6﹣x)恒成立,其中2≤x≤6;
设f(x)=(x﹣2)(6﹣x)=﹣x2+8x﹣12,其中x∈[2,6],
则函数f(x)的最大值为f(4)=4;
所以实数m的取值范围是[4,+∞).
故答案为:[4,+∞).
16.(2019秋•睢宁县校级月考)关于x的不等式lg(2x﹣4)<1的解集为 (2,7) .
【解析】解:根据题意,lg(2x﹣4)<1⇒lg(2x﹣4)<lg10⇒0<2x﹣4<10,
解可得:2<x<7,即不等式的解集为(2,7);
故答案为:(2,7).
17.(2020•中山区校级模拟)已知函数f(x)=ln(1+x1-x)+x+1,且f(a)+f(a+1)>2,则a的取值范围是 (-12,0)
【解析】解:根据题意,函数f(x)=ln(1+x1-x)+x+1,有1+x1-x>0,
解可得﹣1<x<1,即函数f(x)的定义域为(﹣1,1),
设g(x)=f(x)﹣1=ln1+x1-x+x,
则g(﹣x)=ln1-x1+x-x=﹣(ln1+x1-x+1)=﹣g(x),则函数g(x)为奇函数.
当x在(﹣1,1)内增大时,1+x1-x增大,ln1+x1-x增大,即g(x)增大,
故 g(x)=ln1+x1-x+x 在(﹣1,1)上为增函数,
f(a)+f(a+1)>2,等价于 f(a)﹣1>﹣[f(a+1)﹣1],等价于g(a)>﹣g(a+1),
即g(a)>g(﹣a﹣1),
∴-1<a<1-1<a+1<1a>-(a+1),解得-12<a<0,
故答案为:(-12,0).
18.(2019秋•项城市校级月考)不等式22x﹣1<1的解集是 {x|x<12} .
【解析】解:由22x﹣1<1,得
22x﹣1<20,即2x﹣1<0,
解得x<12.
∴不等式22x﹣1<1的解集是{x|x<12}.
故答案为:{x|x<12}.
19.(2019•徐汇区二模)设函数f(x)=log2(2x+1),则不等式2f(x)≤f﹣1(log25)的解为 (﹣∞,0] .
【解析】解:f﹣1(x)=log2(2x﹣1),x∈(0,+∞).
由2f(x)≤f﹣1(log25),
2log2(2x+1)≤log2(2log25-1)=log24,
∴log2(2x+1)≤1
∴0<2x+1≤2,∴0<2x≤1,⇒x≤0;
综上,x≤0;
故答案为:(﹣∞,0].
20.(2019秋•香坊区校级期中)函数y=32x-1-127的定义域是 [﹣1,+∞) .
【解析】解:要使函数有意义,必须32x-1-127≥0,
即32x-1≥127,由指数函数的单调性可得2x﹣1≥﹣3,解得x≥﹣1.
所以函数的定义域为:[﹣1,+∞).
故答案为:[﹣1,+∞).
21.(2019春•东安区校级期末)函数f(x)=ex+x﹣e,若正实数a满足f(loga34)<1,则a的取值范围为 (0,34)∪(1,+∞)
【解析】解:∵f(x)=ex+x﹣e,
∴f′(x)=ex+1>0恒成立,
∴f(x)在R上单调递增,且f(1)=1,
∴不等式f(loga34)<1化为f(loga34)<f(1),
即loga34<1,
当a>1时,可解得a>34,即a>1;
当0<a<1时,可解得0<a<34;
综上,a的取值范围是(0,34)∪(1,+∞).
22.(2019秋•浦东新区校级期末)已知a∈R且1a>1,则关于x的不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为 (2,3) .
【解析】解:∵a∈R且1a>1,∴0<a<1,则关于x的不等式loga(x2-5x+7)>0,
即 0<x2﹣5x+7<1.
∵x2﹣5x+7的判别式小于零,故 0<x2﹣5x+7恒成立.
解x2﹣5x+7<1,求得2<x<3,故原不等式的解集为(2,3),
故答案为:(2,3).
23.(2020春•高安市校级期中)函数f(x)=log12(x-2)的定义域是 (2,3] .
【解析】解:要使函数f(x)=log12(x-2)的解析式有意义
自变量x须满足log12(x-2)≥0
即0<x﹣2≤1
解得2<x≤3
故函数f(x)=log12(x-2)的定义域是(2,3]
故答案为:(2,3]
24.(2019秋•临川区校级月考)已知在关于x的不等式loga(x2﹣4)>loga(6x﹣13a)(0<a<1)的解集中,有且只有两个整数解,则实数a的取值范围是 [913,1213) .
【解析】解:∵0<a<1,
∴由loga(x2﹣4)>loga(6x﹣13a)得x2-4>06x-13a>0x2-4<6x-13a.
即x>2或x<-2x>13a6x2-6x-4<-13a,
即x>2x>13a63-13-13a<x<3+13-13a,
要使不等式组有且只有两个整数解,
则这两个整数只能是3和4,
则4<3+13-13a≤5,
即1<13-13a≤2,
平方得1<13﹣13a≤4,
得913≤a<1213,
即实数a的取值范围是[913,1213),
故答案为:[913,1213)
25.(2020春•集宁区校级期末)不等式log0.25(x﹣1)>1的解集是 (1,1.25) .
【解析】解:不等式log0.25(x﹣1)>1,即 log0.25(x﹣1)>log0.250.25,
∴0<x﹣1<0.25,∴1<x<1.25,
故答案为:(1,1.25).
26.(2019秋•都匀市校级期中)若不等式log2x>1,则不等式的解集为 (2,+∞) .(用集合或区间表示)
【解析】解:因为log2x>1=log22,所以x>2,
所以不等式的解集为(2,+∞).
故答案为:(2,+∞)
27.(2020秋•闵行区校级月考)不等式log2(2x﹣1)<1的解集为 (12,32) .
【解析】解:不等式log2(2x﹣1)<1,即0<2x﹣1<2,求得12<x<32,
故答案为:(12,32).
28.(2020秋•思明区校级月考)已知函数f(x)=ln(2﹣x),则不等式f(lgx)>0的解集为 (0,10) .
【解析】解:∵函数f(x)=ln(2﹣x),则不等式f(lgx)>0,即 ln(2﹣lgx)>0,
∴2﹣lgx>1,即 lgx<1,∴0<x<10,
故答案为:(0,10).
三.解答题(共10小题)
29.(2019春•姜堰区期中)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)当a=2时,求不等式f(x)>12的解集;
(2)当a=3时,求方程f(27x)•f(3x)=﹣5的解;
(3)若f(3a﹣1)>f(a),求实数a的取值范围.
【解析】解:(1)当a=2时,f(x)=log2x,不等式log2x>12,∴{x|x>2};
(2)当a=3时,f(x)=log3x,
∴f(27x)f(3x)=(log327﹣log3x)(log33+log3x)=(3﹣log3x)(1+log3x)=﹣5,
解得:log3x=4,或log3x=﹣2,
解得:x=81或x=19;
(3)∵f(3a﹣1)>f(a)=1,
①当0<a<1时,0<3a﹣1<a,解得13<a<12,
②当a>1时,3a﹣1>a,解得:a>1,
综上可得:13<a<12,或a>1.
30.(2019秋•石河子校级期末)解不等式loga(2x﹣5)>loga(x﹣1).
【解析】解:当a>1时,原不等式等价于2x-5>0x-1>02x-5>x-1,解得x>4.
当0<a<1时,原不等式等价于2x-5>0x-1>02x-5<x-1,解得52<x<4.
综上,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|52<x<4}.
31.(2019秋•天山区校级期末)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=log132x
(1)求当x<0时,函数f(x)的表达式
(2)解不等式f(x)≤3.
【解析】解:(1)函数f(x)为奇函数,
当x>0时,f(x)=log132x,
所以,当x<0时,﹣x>0,
f(x)=﹣f(﹣x)=-log132(﹣x)=-log13(﹣2x),
所以f(x)=log132x,x>0-log13(-2x),x<0;
(2)由题意:当x>0时有log132x≤3,解得x≥154;
当x<0时有-log13(﹣2x)≤3,
即log13(﹣2x)≥﹣3,解得x≤-272;
综上,原不等式的解集为{x|x≤-272或x≥154}.
32.(2019秋•北碚区校级期末)已知函数f(x)=log2(1x+a).
(1)当a=﹣1时,求关于x的不等式f(x)<1的解集;
(2)关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围.
【解析】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=log2(1x-1),
∵log2(1x-1)<1=log22,
∴1x-1<21x-1>0解得13<x<1,;
∴不等式的解集为(13,1);
(2)∵log2(1x+a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5]
∴1x+a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,
∴1+ax=(a﹣4)x2+(2a﹣5)x,
即(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,
①a=4时,﹣x﹣1=0,即x=﹣1,检验1x+a>0,符合题意;
②当a≠4时,[(a﹣4)x﹣1](x+1)=0,
(i)1a-4=-1即a=3时,x=﹣1,此时1x+a>0,符合题意,
(ii)1a-4是解时,检验1x+a=a﹣4+a=2a﹣4>0⇒a>2,
当﹣1是解时,1x+a=a﹣1>0⇒a>1,
要解集中恰有1个元素,则1<a≤2,
综上,a的取值范围为1<a≤2或a=3或a=4.
33.(2019秋•市中区校级月考)已知函数g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)
(I)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(3x﹣1)>g(﹣x+5).
【解析】解:(I)因为函数g(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)
∴loga9=2,所以a=3,即g(x)=log3x;
(II)因为g(x)单调递增,所以3x﹣1>﹣x+5>0,
即不等式的解集是(32,5).
34.(2019秋•南关区校级期中)解关于x的不等式:(14)x-2-x+1-8<0.
【解析】解:∵(14)x-2-x+1-8<0,∴(12)2x-2(12)x-8<0
令(12)x=t(t>0),则t2﹣2t﹣8<0,∴﹣2<t<4,
又t>0,∴0<t<4,
∴(12)x=t<4=(12)-2,∴x>﹣2,
∴不等式的解集为(﹣2,+∞).
35.(2019秋•山阳县校级期中)解不等式log13(x2﹣3x﹣4)>log13(2x+10).
【解析】解:∵不等式log13(x2﹣3x﹣4)>log13(2x+10),
∴x2-3x-4=(x+1)(x-4)>02x+10=2(x+5)>0x2-3x-4<2x+10,
求得﹣2<x<﹣1,或 4<x<7,
故原不等式的解集为{x|﹣2<x<﹣1,或 4<x<7 }.
36.(2019秋•水富市校级期末)已知函数f(x)=loga(1+2x),g(x)=loga(2﹣x),其中a>0且a≠1,设h(x)=f(x)﹣g(x).
(Ⅰ)求函数h(x)的定义域;
(Ⅱ)若f(32)=-1,求使h(x)<0成立的x的集合.
【解析】解:(Ⅰ)要使函数h(x)=f(x)﹣g(x)有意义,则1+2x>02-x>0,
即-12<x<2,故h(x)的定义域为(-12,2).
(Ⅱ)∵f(32)=-1,∴loga(1+3)=loga4=﹣1,∴a=14,
∴h(x)=log14(1+2x)-log14(2-x).
∵h(x)<0,∴0<2﹣x<1+2x,得13<x<2,
∴使h(x)<0成立的的集合为(13,2).
37.(2019秋•昌江区校级期中)设f(x)=(log3x+1)log3x9.
(1)解不等式f(x)≤4;
(2)设x∈[13,9],求f(x)的值域.
【解析】解:∵f(x)=(log3x+1)log3x9=(1+log3x)(log3x﹣2),
=log32x-log3x-2,
(1)由f(x)≤4可得,log32x-log3x-2≤4,
即log32x-log3x-6≤0,
解可得,﹣2≤log3x≤3,
∴19≤x≤27,即不等式的解集为{x|19≤x≤27},
(2)∵x∈[13,9],f(x)=log32x-log3x-2,
∴﹣1≤log3x≤2,
根据二次函数的性质可知,当log3x=12时,函数取得最小值-94,
当log3x=2或﹣1时,函数取得最大值0,
故f(x)的值域为[-94,0].
38.(2019秋•东宝区校级期中)已知函数f(x)=loga(1+3x)﹣loga(1﹣3x)(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域,并证明f(x)的奇偶性;
(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.
【解析】解:(1)根据题意,函数f(x)=loga(1+3x)﹣loga(1﹣3x)=loga(1﹣9x2),
则有 1+3x>01-3x>0,解得-13<x<13,故函数f(x)的定义域为(-13,13).
首先,定义域关于原点对称,又f(﹣x)=loga(1﹣3x)﹣loga(1+3x)=﹣[loga(1+3x)﹣loga(1﹣3x)]=﹣f(x),
则函数f(x)为奇函数.
(2)根据题意,loga(1+3x)﹣loga(1﹣3x)>0,即loga(1+3x)>loga(1﹣3x),
当a>1时,有1+3x>01-3x>01+3x>1-3x,解可得0<x<13,此时解集为(0,13).
当0<a<1时,有1+3x>01-3x>01+3x<1-3x,解可得-13<x<0,此时解集为(-13,0);
故当a>1时,不等式的解集为(0,13);当0<a<1时,不等式的解集为(-13,0).
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日期:2020/12/14 16:36:44;用户:程长月;邮箱:hngsgz031@xyh.com;学号:25355879
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