专题33 函数零点的判定定理-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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1．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
【解析】解：因为，
所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，
等价于函数的图象与的图象只有一个交点．
①当时，，此时有两个零点，矛盾；
②当时，由于在上递增、在上递减，
且在上递增、在上递减，
所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，
由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；
③当时，由于在上递增、在上递减，
且在上递减、在上递增，
所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，
由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；
综上所述，，
方法二：，
令，则为偶函数，图象关于对称，
若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，，
所以．
故选：．
2．（2014•北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
【解析】解：，
（2），（4），
满足（2）（4），
在区间内必有零点，
故选：．
3．（2016•天津）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．，B．，，C．，D．，，
【解析】解：函数，
由，可得，
解得，
，
在区间内没有零点，
．
故选：．
4．（2019•江西二模）函数的零点所在区间是
A．，B．C．D．
【解析】解：，
（2），即（2），
函数的零点所在区间是，
故选：．
5．（2019•衡阳县校级学业考试）函数零点所在的一个区间是
A．B．C．D．
【解析】解：
（1），
（2）
（1）（2），
函数的零点在区间上，
故选：．
6．（2019•萍乡一模）函数的零点所在的大致区间是
A．B．C．D．
【解析】解：（1），
而（2），
函数的零点所在区间是，
故选：．
7．（2019•香洲区校级学业考试）在下列那个区间必有零点
A．B．C．D．
【解析】解：，，
，，
，，
，
在单调递减，在单调递增．
（1），（2），
在内存在零点，
故选：．
8．（2013•重庆）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
【解析】解：，（a），（b），（c），
由函数零点存在判定定理可知：在区间，内分别存在一个零点；
又函数是二次函数，最多有两个零点，
因此函数的两个零点分别位于区间，内．
故选：．
9．（2011•新课标）在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A．，B．，C．D．，
【解析】解：函数
当时，
函数在上为
，
函数的零点所在的区间为，
故选：．
10．（2010•天津）函数的零点所在的一个区间是
A．B．C．D．
【解析】解：因为，（1），所以零点在区间上，
故选：．
二．填空题（共17小题）
11．（2011•山东）已知函数．当时，函数的零点，，则 2 ．
【解析】解：设函数，
根据，
对于函数在时，一定得到一个值小于1，
在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在之间，
函数的零点时，，
故答案为：2
12．（2019•河西区二模）已知函数满足，，其中，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：当时，函数的图象如下图所示：
此时若函数，则，
则，只有一解，不合题意，
当时，函数的图象如下图所示：
此时若函数，则，
则，或，只有三解，不合题意，
当时，函数的图象如下图所示：
此时若函数，则，
则，或，有四解，满足题意，
故满足条件的实数的取值范围是，，
故答案为：，
13．（2019•梅州一模）函数的定义域为实数集，对于任意的都有．若在区间，上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：，，
是以4为周期的函数，
若在区间，上函数恰有三个不同的零点，
则和在，上有3个不同的交点，
画出函数函数在，上的图象，如图示：
，
由，，结合图象得：
，
故答案为：．
14．（2019秋•扬州期末）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数的值为 或 ．
【解析】解：函数，
得，
设，，
则函数，
不妨设的3个根为，，，且，
当时，由，得，即，
得，得，
解得，或；
若 ①，即，此时，，由等差数列的性质可得，
由，即得，解得，满足在，上有一解．
若②，即，则在，上有两个不同的解，不妨设，，其中，
所以有，是的两个解，即，是的两个解．
得到，，
又由设的3个根为，，成差数列，且，得到，
解得：（舍去）或．
③，即时，最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，，或．
15．（2019•遂宁模拟）已知是以为周期的上的奇函数，当时，，若在区间，上关于的方程恰好有4个不同的解，则的取值范围是 ，， ．
【解析】解：是以为周期的上的奇函数，
可得，（e）（e），
可得（e），，
当时，，
可得时，，
作出函数在，上的图象，
由在区间，上关于的方程，
可得，
当直线过，可得；
当直线过，可得；
当直线过，可得；
由图象和在区间，上关于的方程恰好有4个不同的解，
可得的取值范围是：，，．
故答案为：，，．
16．（2019•南开区一模）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：令，
，，，
则
，．
函数有6个零点，
即方程有6个根，
也就是有6个根，
即与有6个不同交点，
如图：
要使函数
有6个零点，
则，即．
则实数的取值范围是：，．
故答案为：，．
17．（2019•铜山区一模）已知函数有唯一零点，则 ．
【解析】解：因为，
所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，
等价于函数的图象与的图象只有一个交点．
①当时，，此时有两个零点，矛盾；
②当时，由于在上递增、在上递减，
且在上递增、在上递减，
所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，
由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；
③当时，由于在上递增、在上递减，
且在上递减、在上递增，
所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，
由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；
综上所述，，
故答案为：．
18．（2019•湖南二模）已知，是函数在，内的两个零点，则 ．
【解析】解：，是函数在，内的两个零点，
可得，
即为，
即有，
由，可得，
可得，
由，
可得，
由，，
即有．
另解：由对称性可知，
由，
由，，
即有．
故答案为：．
19．（2020•南通模拟）已知，，为自然对数的底数，若存在，，使得函数在，上存在零点，则的取值范围为 ， ．
【解析】解：令可得，
令，，，则在，上有解，
（1）当时，为增函数，
（1），
又，，在，上无解，不符合题意；
（2）当时，，令可得，
在上单调递减，在上单调递增，
①若，即，则在，上单调递增，
，
，解得，舍去
②若，即，则在，上单调递减，
，
，解得，
．
③若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
（1）或（3），解得；
的最小值为，
．
令（a），则（a），
（a）在上单调递减，又．
不等式（a）．
综上，．
故答案为：，．
20．（2019•广陵区校级模拟）已知函数若函数有三个零点，则的取值范围是 ．
【解析】解：（1）当时，解得：，
此方程有三个不等实数解等价于有两个负根，
即，即，
当时，由于与只有一个交点，可得成立，
当时，和与有4个交点舍去，
即有①；
（2）当时，，
，
当时，，即为增函数，
图象与轴最多有1个交点，显然不符合题意，即，
由时，，时，，
即在为增函数，在，为减函数，
由题意有的图象与轴有两个交点，
则需，
即，
解得，②
综合①②得：
实数的取值范围是或，
故答案为：．
21．（2019秋•杭州期末）若函数存在零点，则的取值范围是 ， ．
【解析】解：要使函数有意义，则，
即，即，则，
由得，
平方得，
即，
即，
设，
则的图象是以原点为圆心半径为的上半圆，
要使有解，
则满足，
即，即，得，
得或（舍，
即实数的取值范围是，，
故答案为：，
22．（2019秋•浙江期末）函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是 ．
【解析】解：设，
作出函数的图象如图：
由，，
得，
则当时，，即函数的一条对称轴为，
要使方程恰有三个不同的解，
则，此时，，关于对称，
则，即，
当时，，
即，
则，
，，
即，
则的取值范围是，，
故答案为：，．
23．（2019•闵行区一模）已知函数，，记函数，则函数所有零点的和为 5 ．
【解析】解：函数，，关于直线对称，
记函数，
可知关于直线对称．
与，交点为
，与函数交点关于对称，
函数，的零点．
设与交点问题，可以解决函数零点问题．
故函数所有零点的和为5．
故答案为：5．
24．（2020•镇海区校级模拟）若函数在，上有零点，则的最小值为 ．
【解析】解：函数在，上有零点，
可得△，即，
且（1），即；
或，（1），，
即，，．
即有，
当且仅当时，取得最小值，
故答案为：．
25．（2019•海淀区校级模拟）已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是 ．
【解析】解：作出的函数图象如图所示：
有两个不同解，
．
故答案为：．
26．（2019春•广陵区校级月考）定义在上的奇函数满足，且在区间，上，则函数的零点的个数为 5 ．
【解析】解：奇函数满足，
函数是周期为4的周期函数，
在区间，上，
作出函数的图象如图：
由得，
则函数与的图象如图：
则（5）（5），，
由图象知两个函数图象有5个交点，
即函数的零点的个数为5个，
故答案为：5．
27．（2019•徐汇区校级三模）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为 ．
【解析】解：当时，
，
即，时，，；
，时，，；
时，，；
画出时的图象，
再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示；
则直线，与的图象有5个交点，则方程共有五个实根，
最左边两根之和为，最右边两根之和为6，
时，，
，
又，
，
中间的一个根满足，即，
解得，
所有根的和为．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
28．（2007•广东）已知是实数，函数，如果函数在区间，上有零点，求的取值范围．
【解析】解：时，不符合题意，所以，
又在，上有解，在，上有解
在，上有解，问题转化为求函数，上的值域；
设，，，则，，，，
设，时，，此函数单调递减，
时，，此函数单调递增，
的取值范围是，
在，上有解或．
故或．
29．（2019•葫芦岛二模）已知是常数，
①当时求不等式的解集．
②如果函数恰有两个不同的零点，求的取值范围．
【解析】解：①当时，．
由解得； 由解得．
的解为或．
②由得．
作出和 的图象，观察可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
函数有两个不同的零点．
故的取值范围是．
30．（2019•浙江模拟）已知函数，，其中
（1）若函数，存在相同的零点，求的值
（2）若存在两个正整数，，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围．
【解析】解：（1）解方程得：，或，
由函数，存在相同的零点，
则，或为方程的根，
将代入得：，解得：，
将代入得：，解得：，或，或，
综上的值为，或，或，或0；
（2）令，则，
正整数，，
，
即，
即
令，即，的解集为，则由题意得区间．
①当时，因为，故只能，
即，或，
又因为，
所以，
此时
正整数，，
，
当且仅当，
即时，的最大值为4．
②当时，，不合题意，
③当时，因为，所以只能，
故无解，
综上，的最大值为4．的取值范围．
31．（2019•广西一模）已知函数的两个零点为，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：．
【解析】（1）解：．
①，，在上单调递增，不可能有两个零点；
②，可解得，可解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
由题意，，
；
（2）证明：令，，
由题意方程有两个根为，，不妨设，．
令，则，
令，可得，函数单调递增；，可得，函数单调递减．
由题意，，
要证明，即证明，即证明．
令，
下面证明对任意恒成立，
，
，
，，
，
在上是增函数，
，
原不等式成立．
32．（2019•朔州模拟）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，试判断的零点个数．
【解析】解：（Ⅰ）．
若，则，函数的单调递增区间为；
若，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上，若时，函数的单调递增区间为；
若时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（Ⅱ），．
又，易知在上单调递增，（1），（e），
故而在上存在唯一的零点，使得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
取，又，，
，
设（a），，（a），，，
（a），
（a）在上单调递增，（a），
（a）在上单调递减，（a），
，即当时，．
当趋于时，趋于，且（2）．
函数在上始终有两个零点．
33．（2019秋•海珠区期末）已知函数．
（1）若，判断函数的零点个数；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；
（3）已知，且，，求证：方程在区间，上有实数根．
【解析】（1）解：函数，
且，
，则，
，
当时，此函数有一个零点；
当时，函数有两个零点，；
（2）解：对任意实数，函数恒有两个相异的零点，
可得△恒成立，即，
即为对任意实数恒成立，
可得△，即，
解得；
（3）证明：令，
则
，
，
，
所以在，内必有一个实根，
则方程在区间，上有实数根．
34．（2019•乌鲁木齐模拟）已知函数．
（Ⅰ）当时，求证：时，；
（Ⅱ） 当时，试讨论函数的零点个数．
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）时，，则，（1）
则，（2），
令，得，
当时，，
，即，
函数在，上为增函数，即当时，，
函数在，上为增函数，即当时．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和（2）式知，当时，，
，
函数的减区间为，，增区间为，
，
对，，即，（3）
①当时，，又，
，
由（3）得，即，
函数为增函数，又，
当时，，当时，，
函数在时有且仅有一个零点，
②当时，
ⅰ当时，，，
，
函数在时递减，
，
故时，函数在时无零点，
ⅱ当时，由，得，
函数在时递增，，
当时，，
由函数零点定理知，使，
故当，时，，
当时，，
函数的减区间为，增区间为，，
又，
对，，，
又当时，，
，
由，
，
再由函数零点定理知，使得，
综上所述：当时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有两个零点． （12分）
35．（2019春•思南县校级期中）已知函数．
（1）若函数在区间与内各有一个零点，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解析】解：（1）由于的图象开口向上，且在区间与内各有一零点，
故，即，
解得，即实数的取值范围为；
（2）由，得，
即．
当时，原不等式的解集为，，；
当时，原不等式的解集为，；
当时，原不等式的解集为，；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，．
36．（2019秋•东安区校级期末）已知，函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若函数在，内有且只有一个零点，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
令，则，
．
当时，，当时，．
所以，的值域为．
（2），
令，则当，时，，
，
在，内有且只有一个零点，
等价于在内有且只有一个零点，在上无零点．
因为，所以在，内为增函数．
①若在，内有且只有一个零点，在内无零点．
故只需，即，求得．
②若为的零点，内无零点，
则，得．
经检验，符合题意．
综上：或．
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