专题34 函数的零点与方程根的关系-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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1．（2019•重庆模拟）函数在定义域内零点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：由题意，函数的定义域为；
由函数零点的定义，在内的零点即是方程的根．
令，，在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选：．
2．（2015•天津）已知函数，函数，则函数的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：，
若，则时，，
若，则时，，
即．
由得到，
作出两个函数和的图象如图：
由图象知两个函数有两个不同的交点，
故函数的零点个数为2个，
故选：．
3．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：函数 在，的零点个数，
即方程 在区间，的根个数，
即 在区间，的根个数，
即 或 在区间，的根个数，
解得或 或．
所以函数在，的零点个数为3个．
故选：．
4．（2019•宁波模拟）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可知：函数的图象如下：
由关于的方程有三个不同的实数解，
可知函数与函数有三个不同的交点，
由图象易知：实数的取值范围为．
故选：．
5．（2012•辽宁）设函数满足，，且当，时，．又函数，则函数在上的零点个数为
A．5B．6C．7D．8
【解析】解：因为当，时，．
所以当，时，，
，
当，时，，
；
当时，，
．
注意到函数、都是偶函数，
且，（1）（1），
，，
，（1），
（1），
根据上述特征作出函数、的草图，
函数除了0、1这两个零点之外，
分别在区间，，，，，，，上各有一个零点．
共有6个零点，
故选：．
6．（2012•北京）函数的零点个数为
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：函数的定义域为，
在定义域上为增函数，在定义域上为增函数
函数在定义域上为增函数
而，（1）
故函数的零点个数为1个
故选：．
7．（2019•河北区三模）已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是
A．当时，有3个零点；当时，有2个零点
B．当时，有4个零点；当时，有1个零点
C．无论为何值，均有2个零点
D．无论为何值，均有4个零点
【解析】解：分四种情况讨论．
（1）时，，，
此时的零点为；
（2）时，，，则时，有一个零点，时，没有零点；
（3）若，时，，则时，，，可得，有一个零点，
若时，则，没有零点，
（4）若，时，，则时，即可得，有一个零点，时，没有零点，
综上可知，当时，有4个零点；当时，有1个零点；
故选：．
8．（2019•资阳模拟）已知，函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：函数，．
当时，即时，
则．
当时，即时，则．
①当即时，只与的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．
②当时，与的图象有两个交点，需要直线与函数
的图象有四个交点时才满足题意．
，又，解得．
综上可得：的取值范围是．
故选：．
9．（2019•黄石模拟）已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【解析】解：根据题意，函数的零点个数即函数的图象与函数的图象交点的个数；
对于有，
设，则，此时有，
又由，则，即函数的周期为2；
而，
在同一坐标系中做出的图象与的图象，可得其有三个交点，
即函数有3个零点；
故选：．
10．（2020•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【解析】解：若函数恰有4个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴交于两点，
图象如图所示，
当时，函数的函数值为，
当时，函数的函数值为，
所以两图象有4个交点，符合题意，
当时，
与轴交于两点，
在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，
只需与在，还有两个交点，即可，
即在，还有两个根，
即在，还有两个根，
函数，（当且仅当时，取等号），
所以，且，
所以，
综上所述，的取值范围为，，．
故选：．
11．（2019•德阳模拟）已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为
A．，，B．，C．D．，
【解析】解：化简可得，
当时，，
当时，，当时，
在上单调递增，在单调递减；
当时，，为减函数，
函数在上有一个最大值为（1），作出函数的草图如图：
设，当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程，有1个解，
当时，方程有0个解，
则方程等价为，
要使关于的方程恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根且，
设，
则，即，
解得，
故选：．
12．（2019•金山区一模）已知函数，则方程的实数根个数不可能
A．5个B．6个C．7个D．8个
【解析】解：如图所示：
函数，
即．
因为当时，
求得，或，或1，或3．
则①当时，由方程，可得，或，或1，或3．
又因为，或，
所以，当时，只有一个 与之对应，其它3种情况都有2个值与之对应．
故此时，原方程的实数根有7个根．
②当时，与有4个交点，故原方程有8个根．
②当时，与有3个交点，故原方程有6个根．
综上：不可能有5个根，
故选：．
13．（2019春•邯郸期末）函数则函数的零点个数是
A．5B．4C．3D．6
【解析】解：函数的零点即为方程和的根，
函数，的图象如图所示：
由图可得方程和共有5个根，
即函数有5个零点．
故选：．
二．填空题（共8小题）
14．（2016•山东）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 ．
【解析】解：当时，函数的图象如下：
时，，
要使得关于的方程有三个不同的根，
必须，
即，
解得，
的取值范围是，
故答案为：．
15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则 ．
【解析】解：函数，若（3），
可得：，可得．
故答案为：．
16．（2014•江苏）已知是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 ．
【解析】解：是定义在上且周期为3的函数，当，时，，若函数在区间，上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数与的图象如图：由图象可知．
故答案为：．
17．（2014•福建）函数的零点个数是 2 ．
【解析】解：当时，由得，解得或（舍去），
当时，由得，即，
作出函数和在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故时，函数有1个零点．
故函数的零点个数为2，
故答案为：2
18．（2014•天津）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为 ．
【解析】解：由得，
作出函数，的图象，
当，不满足条件，
，
当时，此时与有三个 交点，
当时，
当时，，
由
得，
则判别式△，
即此时直线与相切，
此时与有五个交点，
要使函数恰有4个零点，
则，
故答案为：
19．（2015•江苏）已知函数，，则方程实根的个数为 4 ．
【解析】解：由可得．
与的图象如图所示，图象有2个交点
与的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程实根的个数为4．
故答案为：4．
20．（2017•江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，其中集合，，则方程的解的个数是 8 ．
【解析】解：在区间，上，，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又是定义在上且周期为1的函数，
在区间，上，，此时的图象与有且只有一个交点；
同理：
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
区间，上，的图象与有且只有一个交点；
在区间，上，的图象与无交点；
故的图象与有8个交点，且除了，其他交点横坐标均为无理数；
即方程的解的个数是8，
故答案为：8
21．（2019•南充模拟）函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ， ．
【解析】解：方程恰有四个不相等的实数根可化为
函数与函数有四个不同的交点，
作函数与函数的图象如下，
由题意，，；
故，
当时，，；
设切点的坐标为，，
则；
解得，；
故；
结合图象可得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
三．解答题（共7小题）
22．（2019秋•扬州期末）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，，，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若函数，讨论函数的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．
【解析】解：（1）函数，
由，
可得，
，即为奇函数，
且时，递减，
可得在递减，
且的值域为，
不等式，
即为，
则，
即，
即为，
解得，
则原不等式的解集为，；
（2）函数，
若存在，，，
使得成立，
当，的值域为，，
当时，在，递减，可得的值域为，，
由题意可得和的值域存在交集，
即有，即；
若，则在，递增，可得的值域为，，
由题意可得和的值域不存在交集，
综上可得的范围是；
（3）由
得，
令，
则，
作出图象，
当时，
只有一个，
对应1个零点，
当时，
，
此时，
，，
由，
得在，，三个分别对应一个零点，共3个，
在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个，
综上所述：当或时，只有1个零点，
当或时，有3个零点，
当时，有5个零点．
23．（2019•浙江二模）已知函数，为常数且．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数在上有两个零点，．求的取值范围．
【解析】解：（1）由于，故函数．
若，则，即，解得；
若，则，即，，故不等式无解．
综上所述：的解集．
（2）因为，所以，
因为函数在上有两个零点有两种情况：可以在上有一零点，在上有一零点；
或在上有两个零点．
当在上有两个零点，则有，，
，所以不等式组无解．
当在上有一零点，在上有一零点，，
且，，，所以的取值范围为．
不妨令，，
令，则在区间上为减函数，，，
，．
24．（2019秋•南关区校级期末）已知是定义域为的奇函数，当，时，．
（1）写出函数的解析式；
（2）若方程恰有3个不同的解，求的取值范围．
【解析】解：（1）设，则，
由，时，，且是定义域为的奇函数，
得，
；
（2）画出函数的图象如图：
由图可知，要使方程恰有3个不同的解，则的取值范围为．
25．（2019秋•厦门期末）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由是偶函数．
则恒成立，
则恒成立，
即；
（2）当时，存在零点，
即在，有解，
设 ，
，
因为，
所以，，
所以，，
即实数的取值范围为：，，
（3）函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，由韦达定理可知，此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
26．（2019秋•广州期末）已知二次函数，满足，．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数的两个零点分别在区间和内，求实数的取值范围．
【解析】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，得，（1分）
又，得，（2分）
故，解得：，，（3分）
所以．（4分）
（Ⅱ），对称轴为，，（5分）
又，（2），所以．（6分）
关于的不等式在，有解，则，
所以实数的取值范围为．（8分）
（Ⅲ），若的两个零点分别在区间和内，
则满足（11分）
解得：，所以实数的取值范围为．（12分）
27．（2019秋•滨海新区期末）已知是函数的零点，．
（1）求实数的值；
（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）是函数的零点，
（1），得；
（Ⅱ），，
则不等式在，上恒成立，
等价为，
，
同时除以，得，
令，则，
，，，，
故的最小值为0，
则，即实数的取值范围，；
（Ⅲ）原方程等价为，
，
两边同乘以得，
此方程有三个不同的实数解，
令，则，
则，
得或，
当时，，得，
当，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，
则，得．
28．（2019春•荔湾区校级期末）已知函数，．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，
，
即，
①当时，函数的定义域为或，
②当时，函数的定义域为，
③当时，函数的定义域为或；
（2）令，
则关于的方程有四个不同的实根可化为
有四个不同的实根，
即有两个不同的正根，
则，
解得．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/12/14 17:09:38；用户：陈宏天；邮箱：hngsgz053@xyh.cm；学号：25355901