专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 知识精讲-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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专题五    用空间向量研究距离、夹角问题 一 知识结构图内  容考点关注点  用空间向量研究距离、夹角问题 用向量法求线线、线面、面面的夹角求夹角用向量法求线线、线面、面面之间的距离求距离 二.学法指导1．向量法求空间角的一般步骤(1)向量表示法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.(2)向量运算①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．(3)解释结论①由于直线a、b所成角θ∈，故cos θ＝|cos〈a，b〉|.②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin θ＝|cos〈a，b〉|.③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos θ＝|cos〈m，n〉|.2．向量法求空间中的距离(1)点A，B间的距离．d＝||(2)点A到直线a的距离d＝，其中B∈a，a是直线a的方向向量．(3)点A到平面α的距离．d＝，其中B∈α，n是平面α的法向量．三.知识点贯通知识点1   距离问题空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|点线距设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝点面距已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 例题1.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．     知识点二   求两条异面直线所成的角空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝例题2：如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．    知识点三   直线与平面所成的角空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝例题3 .如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．    知识点四  平面与平面的夹角空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝直线l与平面α所成的角为θ设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝平面α与平面β的夹角为θ设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 例题4．　如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．     五 易错点分析易错一  利用向量求异面直线所成的角例题5.如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．    易错二 利用向量求直线与平面所成的角例题6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．