专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题六    第一章  复习与检测 一、核心素养聚焦考点一  逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量例题7.如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝.则＝－＝－＝(－)＝.∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥且||＝||≠||.又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．考点二   数学运算-向量的模例题8已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．【答案】　【解析】由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．∴|b－a|＝＝＝.∴当t＝时，|b－a|的最小值为.二、学业质量测评一、选择题1．已知，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．以上都不对【答案】C【详解】故选：C2．已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴，又N为BC中点，∴；∴．故选：C.3．下列各组两个向量中，平行的一组向量是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】B【详解】在A中，，，不存在实数，使得，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，，不存在实数，使得，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，不存在实数，使得，故D中两个向量不平行，故D错误.故选：B4．若向量，，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）A． B． C．或 D．2【答案】A【详解】向量，，与夹角的余弦值为，，解得（舍去）.故选：A.5．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （    ）A． B．2:6 C． D．【答案】A【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则，，，∴，，∵，∴，即，∴，解得，∴，，∴．故选：A6．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设与所成角为，则，∴．∴异面直线与所成的角为．故选：A7．（多选题）已知向量，下列等式中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边右边，左边=右边，因此正确.C.左边，右边左边=右边，因此正确.D.由C可得左边=，左边=右边，因此正确.故选：BCD8．（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（    ）A．是、共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底【答案】ABC【详解】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，若、、、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.故选：ABC.二、填空题9．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________．【答案】60°【详解】由题意得，，，，与的夹角为60°．故答案为：60°.10．已知向量=(a，b，0)，=(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；②的最大值为；③(的夹角)的最大值为；④若定义，则的最大值为.其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)【答案】①③④【详解】①取z轴的正方向单位向量=(0，0，1)，则=，因为，所以向量与z轴正方向的夹角恒为定值，故正确；②=ac+bd≤=1，当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，故错误；③由②可得≤1，所以-1≤≤1，所以=≥=，所以的最大值是，故正确；④由③可知：，所以≤≤≤sin≤1，所以 ，故正确.故答案为：①③④.11．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　___________.【答案】【详解】解：，，，，1，，，，，与垂直，，，解得，，，，．故答案为：.12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．【答案】        【详解】取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz，则A，D(0，0，1)，C，＝，＝．设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，∴令x＝2，z＝3，y＝0，∴n＝(2，0，3)，又为平面ABC的法向量，＝(0，0，1)，∴cos〈n·〉＝＝．∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，又＝，∴cos〈〉＝－，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α＝|cos〈〉|＝．故答案为：①；②. 三、解答题13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：由点E、F分别是AD、BC的中点，则，由四边形ABCD为正方形，所以．，，EF，平面PEF，平面PEF．又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．（2）作PH⊥EF，垂足为H．由（1）得，PH⊥平面ABFD．以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）可得，DE⊥PE．又，，所以．又，，则，故PE⊥PF．由等面积法可得，从而．则，，，，为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则．所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为．14．如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，．（1）证明：；（2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：在直三棱柱中，有，又，，平面，又平面，．，，如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．设，则，，，．（2）当D为的中点时，，，，设平面DEF的法向量为，则，即令得，，易知平面ABC的法向量为，所以，即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．15．已知三棱柱中，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.【详解】（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，，所以，四边形为菱形，连接，则，又，且，平面，平面，，又，即，，平面，平面，平面平面；（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，、、、，设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，，，，设平面的一个法向量为，由，取，可得，，得，平面的一个法向量为，由，整理可得，即，，解得.故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．