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2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测
展开这是一份2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测，共9页。试卷主要包含了会利用1的平方根求复数的立方根，会求复数的模的最大值与最小值等内容，欢迎下载使用。
学习目标
1.掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，
2.会进行复数的四则运算法则，会求复数的平方根，
3.会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数的模，
4.会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论的结论，
5.会求复数的模的最大值与最小值。
6.会在复数集内解实系数一元二次方程。
知识梳理
重点1
复数的有关概念
内容 | 意义 | 备注 |
复数的 概念 | 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b | 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 |
复数 相等 | a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d | 实部与实部、虚部与虚部对应相等 |
共轭 复数 | a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) | 实数的共轭复数是它本身 |
复平面 | 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 | 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 |
复数 的模 | 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 | |z|＝|a＋bi|＝ |
复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
运算名称 | 符号表示 | 语言叙述 |
加减法 | z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i | 把实部、虚部分别相加减 |
乘法 | z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i | 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1 |
除法 | ＝＝＝＋i(c＋di≠0) | 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 |
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(4)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．
模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.
重点2
实系数的一元二次方程：
设一元二次方程为（、、且）。
因为，所以原方程可以变形为。
配方得，，即
。
（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根
；
（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；
（3）若，即，方程没有实数根。
因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根
。
因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。
特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根
。
注：虚根成对定理
若虚数是实系数一元（）次方程
（）
的根，那么也是这个方程的根。
例题分析
例1．已知，则“”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】
为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；
z为纯虚数，故必要性成立；
故答案选：B
例2．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
设,因为,所以,
所以将代入方程整理
，
因为关于的方程有实根，
所以
所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；
当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.
综上，或.
故这样的复数的个数为个.
故选：C
跟踪练习
1．若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（ ）
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
2．(2+i)-(1+2i)= （ ）
A． B． C． D．
3．已知复数，i为虚数单位，则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（ ）
A． B． C． D．
5．设复数z满足|z﹣1|=1，则z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A．(x+1)2+y2=1 B．(x﹣1)2+y2=1
C．x2+(y﹣1)2=1 D．x2+(y+1)2=1
6．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，，为纯虚数，求复数．
8．若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数．
9．设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
10．数，若，求
参考答案
1．D
【详解】
因为(z-1)i=1+i，所以，
所以.
故选：D.
2．A
【详解】
(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i =
故选：A
3．B
【详解】
，
.
故选：B
4．A
【详解】
解：复数z=1+ai(a∈R)，则
z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2-3a)+(2a+3)i，
由纯虚数的定义知，
，
解得
故选：A.
5．B
【详解】
解：设z=x+yi(x，y∈R)，
由|z﹣1|=1，得|(x﹣1)+yi|=1.
∴ (x﹣1)2+y2=1.
故选：B.
6．B
【分析】
利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得.
【详解】
，，则.
故选：B.
7．或
【详解】
设，由
则，
则，且
即，解得或，
即或，
所以或
8．是以为圆心，为半径的圆．最大时，．
【详解】
设复数，
则
化简可得，
复数在复平面上对应的点的轨迹图形是以为圆心，为半径的圆．
如图，由图形可知，当时，最大.
9．（1）证明见解析 ；（2） .
【详解】
（1）由题意可得，
所以，，
，则，因此，是纯虚数；
（2），
所以，，
因为，则，解得，，则，
所以，，因此，.
10．
【详解】
，则，
当时，；
当时，．
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