(新高考)高考数学一轮考点复习5.4《复数》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（二十八）  复数

1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)

A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i

C．2  D．－2

解析：选C　z＝＝＝＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.

2．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝(　　)

A．i  B．－i

C．1  D．－1

解析：选C　∵z＝＝＝＝－i，

∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.

∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，

∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.

3．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)

A．－2  B．2

C．－3  D．3

解析：选C　因为z＝＋(m－2)i为纯虚数，所以解得m＝－3，故选C.

4．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选D　由题得复数z＝＝＝＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.

5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C　当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，

可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；

当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有解得a＝－2，

可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．

综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．

6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A．1或－1  B．或－

C．－  D．

解析：选A　∵z＝a＋i，∴＝a－i，

∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，

∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.

7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2为实数，则m＝(　　)

A．－  B．

C．3  D．－3

解析：选B　因为z1·2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝.故选B.

8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝(　　)

A.－i  B．－＋i

C．－－i  D．＋i

解析：选A　由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得＝＝－i.

9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝(　　)

A．5  B．

C．3  D．

解析：选B　由已知得(a＋i)2＝bi，

所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，

解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，

所以|z|＝＝.

10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　∵|z－i|≤2，

∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部(如图)．

∴|z|的最大值为3.

11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为(　　)

A．4－i  B．－3－2i

C．5  D．－1＋4i

解析：选D　由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，

设D(x，y)，

则＝(3，－2)，＝(2－x,2－y)，

因为＝，所以

解得x＝－1，y＝4.

所以点D的坐标为(－1,4)，

所以点D对应的复数为－1＋4i.

12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　)

A．|z|＝

B.＝－

C．复数z的实部为－1

D．复数z对应复平面上的点在第二象限

解析：选BD　因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；＝－－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正确．

13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝，则复数z在复平面内的点到原点的距离为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由z－2i＝，

得z＝2i＋＝2i＋＝＋i，

∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为 ＝.

14．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)

A．(1－i)(1＋i)  B．

C.  D．(1－i)2

解析：选BC　根据题意，M＝，

∴M＝.

选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；

选项B中，＝＝－i∈M；

选项C中，＝＝i∈M；

选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.

15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝_______.

解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则即

所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，

所以|z1－z2|＝2.

法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.

因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，

所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，

即|z1－z2|＝2.

法三：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.

由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

则z1－z2对应向量.

由OA＝AC＝OC＝2，

可得BA＝2OAsin 60°＝2.

故|z1－z2|＝||＝2.

答案：2

16．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．

解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.

答案：(－∞，3)

17．已知i为虚数单位，z＝对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．

解析：∵z＝＝

＝cos 2θ＋isin 2θ对应的点在第二象限，

∴cos 2θ＜0，sin 2θ＞0，

∴2kπ＋＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，

解得kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜θ＜2nπ＋，θ为第一象限角；

当k＝2n－1(n∈Z)时，2nπ－＜θ＜2nπ－，θ为第三象限角．

综上可得，θ是第一、三象限的角．

答案：一、三

18．满足条件|z－i|＝|1＋i|的复数z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为________________．

解析：设z＝x＋yi，x，y∈R.

∵|z－i|＝|1＋i|＝2，∴|x＋(y－1)i|＝2，

∴＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.

答案：x2＋(y－1)2＝4