专题17 复数（讲义+练习）-2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第17讲  复数

学校____________          姓名____________          班级____________

一、知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部.

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示.

(5)复数的模：向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.当b＝0时，|z|＝＝|a|.

2.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：

复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.

(3)由复数加、减法的几何意义可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.

二、考点和典型例题

1、复数的概念及几何意义

【典例1-1】（2022·江西萍乡·三模（理））在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

因为对应的点为，所对应的点关于虚轴对称，

所以对应的点为，所以.

故选：B.

【典例1-2】（2022·江西师大附中三模（理））对任意复数，为虚数单位，是z的共轭复数，则下列结论中不正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A，由，得，

则，故A正确；

对于B，因为，

，所以，故B错误；

对于C，由，得，

所以，故C正确；

对于D，因为，故D正确.

故选：B.

【典例1-3】（2022·浙江·效实中学模拟预测）设是虚数单位，复数为实数，则实数的值为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】

依题意，复数为实数，

所以.

故选：C

【典例1-4】（2022·广东广州·三模）若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】

由得，则，

则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.

故选：A.

【典例1-5】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）设i是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】

由题意得，即，

故，其对应的点 在第四象限，

故选：D

【典例1-6】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数满足，则的虚部为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以复数的虚部为，

故选：A.

【典例1-7】（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】

由题得，即为复平面的点，故在第三象限.

故选：C．

【典例1-8】（2022·天津·二模）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．

【答案】2＃＃＋2

【详解】

设复数z在复平面中对应的点为

∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆

表示点到点的距离，结合图形可得

故答案为：．

【典例1-9】（2021·上海市七宝中学模拟预测）若纯虚数满足，则实数等于_________.

【答案】1

【详解】

解：因为，所以，

因为为纯虚数，所以，解得；

故答案为：

【典例1-10】（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为___________.

【答案】

【详解】

由题意得：，

对应的点的坐标为.

故答案为：

2、复数的运算

【典例2-1】（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知，是z的共轭复数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由已知可得，因此，.

故选：B.

【典例2-2】（2022·江西师大附中三模（文））已知是虚数单位，则的虚部是（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【详解】

，故其虚部为，

故选：D.

【典例2-3】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知i为虚数单位，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

,

所以的虚部为.

故选：A.

【典例2-4】（2022·全国·模拟预测）已知复数，i为虚数单位，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，所以，所以.

故选：A．

【典例2-5】（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数，是的共轭复数，则（       ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】B

【详解】

∵，

所以.

故选：B．

【典例2-6】（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数=（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为

所以.

故选：A

【典例2-7】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））复数的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

,

所以复数的共轭复数为.

故选：A.

【典例2-8】（2022·吉林长春·模拟预测（理））若，则（       ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】A

【详解】

,,，

所以.

故选：A

【典例2-9】（2022·上海·模拟预测）若（i是虚数单位）是关于x的实系数方程的一个复数根，则_________．

【答案】##

【详解】

∵实系数一元二次方程的一个虚根为，

∴其共轭复数也是方程的根.

由根与系数的关系知，，

∴ ，.

∴

故答案为：

【典例2-10】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根据这个公式可知______.

【答案】2

【详解】

根据棣莫佛公式，

由，

因为，所以，

故答案为：