专题05 映射-2022新高考高中数学二轮复习技巧之函数专题汇编

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映射一．选择题（共17小题） 1．（2019春•怀仁县校级期末）下列集合到的对应中，不能构成映射的是　　A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【解析】解：对于①，由于中元素1对应中4或5，不唯一，且中2在中没有对应值，①中的对应不能构成映射；对于②，中元素2在中没有对应值，②的对应不能构成映射；对于③，由于中元素1在中对应的值可能是3或4，不唯一，③中的对应不能构成映射；对于④，中的元素1、2、3分别对应中的元素、、，满足映射的定义，④中对应能构成映射．综上，不能构成映射的是①②③．故选：．2．（2006•浙江）函数，2，，2，满足，则这样的函数个数共有　　A．1个 B．4个 C．8个 D．10个【解析】解：1、（1）（2）（3）或2或3，共3个．2、（1）；（2）（3）或3，共2个．（2）；（1）（3）或3，共2个．（3）；（1）（2）或2，共2个．3、（1）；（2）；（3）；1个所以这样的函数共有10个．故选．3．（2019秋•南阳期中）如图所示，对应关系是从到的映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故构成映射，、不能构成映射，因为前边的集合中的元素4与9在后一个集合中有两个元素和它对应，故此对应不是映射．与中的元素0在后一个集合中没有元素和它对应，故与中的对应不是映射．故选：．4．（2019秋•枣庄期中）已知集合，3，，若是集合到的映射，则集合可以是　　A．，2， B．，2， C．， D．，5，【解析】解：对应关系为，，3，，，5，9共3个值，则集合可以是，5，．故选：．5．（2020春•莲湖区校级期中）如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是　　A．①② B．①④ C．①②④ D．③④【解析】解：对应①，符合映射的概念；对应②，原像集合中有元素1与4在像集中没有对应的元素，不符合映射概念；对应③，原像集合中有元素1与2在像集中对应的元素不唯一，不符合映射概念；对应④，符合映射概念．其中构成映射的是①④．故选：．6．（2019秋•十堰期末）在映射中，，，且，，，则与中的元素对应的中的元素为　　A． B． C． D．【解析】解：由映射的对应法则，，，故中元素在中对应的元素为即故选：．7．（2019•西城区二模）设是平面直角坐标系到自身的一个映射，点在映射下的像为点，记作，已知，，其中，2，3，，那么对于任意的正整数，　　A．存在点，使得 B．不存在点，使得 C．存在无数个点，使得 D．存在唯一的点，使得【解析】解：依题意，，，，，，，，，，当在正整数范围变化时，为上面四点之一，所以当时，，要使成立，只需让在以原点为圆心，以为半径的圆周上或其内部即可．对于选项，存在点，故错，对于选项，存在点且有无数个，故错，对于选项，存在，对于，当时，有无数个．对比，更全面，故选：．8．（2019秋•山阳县校级期中）下列四种说法正确的一个是　　A．表示的是含有的代数式 B．函数的值域也就是其定义中的数集 C．函数是一种特殊的映射 D．映射是一种特殊的函数【解析】解：根据函数的定义，表示的对应法则，可以是图象或表格，不一定是含有的代数式，故错；：集合，叫做值域，函数的值域并不是其定义中的数集，应是的子集，即错误；：由于集合中的任一一个元素在中均有且只有一个元素与其对应，函数是一种特殊的映射； 正确；：而映射中的元素不一定是数集，故错误．故选：．9．（2019秋•曲阜市期末）已知集合到的映射，那么集合中元素2在中的象是　　A．2 B．5 C．6 D．8【解析】解：，则，那么集合中元素2在中的象是5故选：．10．（2019秋•渝水区校级月考）设集合，是两个集合，①，，；②，，；③，，．则上述对应法则中，能构成到的映射的个数为　　A．3 B．2 C．1 D．0【解析】解：对于①，，，由对应法则，中的元素0在中没有对应的像．①不能构成到的映射；对于②，，，由对应法则；中的元素1在中由两个不同的对应像和1．②不能构成到的映射；对于③，，，由对应法则，中的任意元素在中都有唯一确定的像．③能构成到的映射．能构成到的映射的个数为1．故选：．11．（2019秋•新余期末）给定映射，，，在映射下的原象为　　A． B． C． D．【解析】解：在映射的作用下的象是设的原象则，故，故的原象为故选：．12．（2019•湖北校级模拟）设集合，，从到的对应法则不是映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：不是映射，按照对应法则，集合中的元素6，在后一个集合中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．、、是映射，因为按照对应法则，集合中的每一个元素，在后一个集合中都有唯一的一个元素与之对应，故、、满足映射的定义，故选：．13．（2019秋•金安区校级月考）已知集合，，，，，则从集合到集合的映射中，满足的映射有　　个A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：满足时，①，；②，；③，；④，；故选：．14．（2019秋•青羊区校级月考）若；集合，，到集合，2，的映射中，满足的个数是（a）（b）（c）的映射个数为　　A．3 B．4 C．5 D．6【解析】解：集合，，，，2，，映射，则记（a），（b），（c）对应的函数值分别为，，，则满足条件情况共有：，2，，，3，，，2，，，3，，，1，，，3，；这样的映射共六个，故选：．15．（2019春•临川区校级期末）若映射，其中，对应法则，若实数在集合中存在原象，则的取值范围是　　A． B． C． D．【解析】解：因为中元素在中存在原象，则必是函数的值域中的元素，又，即函数的值域为，，，故选：．16．（2019秋•赫山区校级月考）已知集合，，则下列对应关系中，不能看作从到的映射的是　　A． B． C． D．【解析】解：对于选项，当时，，而，故不能构成从到的映射，而，，中对应关系，均能保证集合中任意元素，在集合中都有唯一元素与之对应，故能构成从到的映射，故选：．17．（2019秋•青羊区校级月考）在映射中，，，且，，，则与中的元素对应的中的元素为　　A． B． C． D．【解析】解：在映射中，，，且，，，设与中的元素对应的中的元素为，则，解得，，与中的元素对应的中的元素为，．故选：．二．填空题（共9小题）18．（2019春•晋江市校级期末）在映射中，，且，，则与中的元素对应的中的元素为　　．【解析】解：由题意知，，且，，且元素 即元素与中的元素对应的中的元素为故答案为．19．（2019秋•临川区校级月考）已知映射，，，则在映射的作用下元素的原像为　　．【解析】解：映射，，，在映射下元素对应的原像中的元素满足，，解得，．则在映射下元素的原像为，．故答案为：，．20．（2019秋•镇海区校级期中）已知集合，2，，设为从集合到集合的函数，则这样的函数一共有　27　个，其中函数的值域一共有　　种不同情况．【解析】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．21．（2019秋•吉林期中）在对应法则的作用下，中元素与中元素，一一对应，则与中元素对应的中元素是　　．【解析】解：由对应法则可知，，，，；故答案为：．22．（2019秋•东湖区校级月考）已知集合，，是从到的一个映射，若，则中的元素3的原象为　2　．【解析】解：由，得，解得．中的元素3的原象为2．故答案为：2．23．（2019秋•金安区校级月考）已知，2，，，从集合到集合的映射，则与中元素1相对应的中的元素是　　；与中元素相对应的中的元素是　　【解析】解：当时，，所以中元素1相对应的中的元素是；当中的元素为时，令，解得，所以中元素相对应的中的元素是4；故答案为：，4．24．（2019秋•海淀区校级月考）给定集合，2，3，，，映射满足：①当，，时，；②任取，若，则有（1），（2），，；则称映射是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射是一个“优映射”．表1123231表21234 3  （1）已知表2表示的映射是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是　84　．【解析】解：（1）根据“优映射”的定义可得，． （2）根据优映射的定义可知：（1），，则有（1），（2），，，且映射是“优映射”，且方程的解恰有6个，故有故答案为：，84．25．（2020秋•东湖区校级月考）已知，2，3，，，，从集合到集合的映射，则中元素的原像为　7　．【解析】解：从集合到集合的映射，令，解得，中元素的原像为7，故答案为：7．26．（2019秋•碑林区校级月考）映射，若在的作用下中元素与中元素对应，则的中元素在集合中的原象是　　．【解析】解：设中元素为，由题意可得：，，中的元素为．故答案为：．三．解答题（共1小题）27．（2019秋•西城区校级期中）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，，，其中，，，都是实数．定义映射的模为：在的条件下的最大值记做．若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值．（Ⅰ）若，，求；（Ⅱ）如果，，，计算的特征值，并求相应的；（Ⅲ）试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一特征值，②．（不需证明）【解析】解：（Ⅰ）由于此时，又因为是在的条件下时取最大值），所以此时有；（Ⅱ）由，，，，可得，解此方程组可得：，从而．当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为，其中且．当时，同理可得相应的，其中且．（Ⅲ）由方程组，可得，，从而向量，与，平行，从而有，，，应满足：；当  时，有唯一的特征值，且，故．