方法技巧专题20 解三角形-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

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 方法技巧专题20  解三角形学生篇                  一、解三角形问题知 解三角形题型分析（一） 三角形中的求值问题 1.例题【例1】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b<c，则b＝(    )A．     B．2     C．2     D．3【例2】在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角（   ）A． B． C． D．【例3】在中，角，，的对边分别是，，，，，，则的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC的内角的对边分别为, 已知△ABC的面积为．　(1)求;(2)若求△ABC的周长.【例5】如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=（   ）A．6 B．5 C．4 D．3【练习2】（2018·全国高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【练习3】 在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.【练习4】在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　)A．1   B．   C．   D．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S．【练习6】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ccos B＝(3a－b)cos C．(1)求sin C的值；(2)若c＝2，b－a＝2，求△ABC的面积．（二）三角形中的最值或范围问题 1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinC＝，则△ABC面积的最大值为(    )A．　 B．　　C．　 D．【例4】在中，角，，的对边分别为，，，且，的面积为，则周长的最小值为______. 2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（  ）A． B．C． D．【练习2】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为(　　)A．2＋    B．2＋C．3    D．3＋【练习3】已知的面积为,且满足，则边的最小值为_______.【练习4】在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用 必备知识：实际测量中的有关名称、术语[来源:学科网ZXXK]名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1.例题 【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离． 【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米． 2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这艘船航行的速度为(　　)A.海里/时   B．34海里/时C.海里/时   D．34海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)                                三、课后1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)A．  B．C．  D．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝2，bsin A＝acos则b＝(　　)A．1 B.C. D.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，tan B＝2tan A，则△ABC的面积为(　　)A．2 B．3C．3 D．43．如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A等于(　　) A．  B．C．  D．4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是(　　)A．(，2)    B．(2，)C．(，)    D．(，4)5．在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是_______.6．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．7．设△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，cos(A－C)－cos B＝，延长BC至点D，若BD＝2，则△ACD面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．9．若满足， =3， 恰有一解，则实数的取值范围是______．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且＝，则△ABC面积的最大值为________．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B．(1)求角B；(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．12．已知中，角的对边分别为，若 （Ⅰ）求；（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。13．在 中，分 别 为 角的 对 边 ，且.（1）求角；（2）若，求的最大值.14．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？(参考数据：若sin θ＝，当θ是锐角时，其近似值为38°13′) 15．如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处．（1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离；（2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？