方法技巧专题22 概率与离散型随机变量的分布列及期望-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

方法技巧22 概率与离散型随机变量的分布列及期望
解析篇




求随机变量的概率的方法
【一】利用古典概型求随机变量的概率
1、古典概型的定义：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
2、求古典概型概率的步骤：
（1） 判断试验是否为古典概型；
（2） 利用列举法或排列组合知识求出基本事件总数与事件包含的基本事件数；
（3） 利用公式求出事件的概率.


1. 例题
【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.
【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.
②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种.
所以事件M发生的概率P(M＝.
【例2】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.
【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，
所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，
所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．
所以事件M发生的概率P(M )＝.
【练习2】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
【解析】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.






【二】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求随机变量的概率
1、 相互独立事件：
（1）定义：对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件.
（2）相互独立事件概率乘法公式：.
2、 互斥事件：
（1）定义：事件A与事件B在任何一次实验中不会同时发生.
（2）概率加法公式：.
3、互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：
（1）相同点：二者都是描述两个事件间的关系.
（2）不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.



1.例题
【例1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解析】(1)易知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
【例2】(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.
（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
（3）保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.
（4）保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.
【解析】(1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD＋ACD＋ABD＋ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.
(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.
（3）依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.
（4）依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有AA或A两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.
【例3】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分．已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：
(1)“火星队”至少投中3个球的概率；
(2)“火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
【解析】(1)设事件Ai为“甲第i次投中”，事件Bi为“乙第i次投中”，i＝1，2，
由事件的独立性和互斥性可得，
P(至少投进3球)＝ P(A1A2B1B2)＋P(A2B1B2)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B2)＋P(A1A2B1)
＝×××＋2×(×××＋×××)＝，
所以“火星队”至少投中3个球的概率为．
(2)X的所有可能的取值为0，2，4，6，8，
P(X＝0)＝×××＝；
P(X＝2)＝2×(×××＋×××)＝＝ ；
P(X＝4)＝2×(×××＋×××)＋×××＋×××＝；
P(X＝6)＝2×(×××＋×××)＝＝；
P(X＝8)＝×××＝＝．
所以X的分布列为
X
0
2
4
6
8
P





E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝．

2.巩固提升综合练习
【练习1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
【解析】(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：
＝1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
【练习2】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B．设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．
【解析】记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝．
(2) 设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，
因为P(X＝0)＝P()＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝＝．
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P





【练习3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
【练习4】某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
【解析】(1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，
则X～B．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为P(X＝2)＝C××＝．
(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P(A)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3A4)＋P(A3A4A5)＝×＋××＋× ＝．
(3)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1，2，3)．
由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6．
P(ξ＝0)＝P()＝＝，
P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A2 )＋P(A3)＝×＋××＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A1A3)＝××＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2)＋P(A2A3)＝×＋×＝，
P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝＝．
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P












【三】利用条件概率公式求随机变量的概率
1、 条件概率的定义:
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为(P(A)＞0).
2、条件概率的求法：
（1） 利用定义，分别求出、，得；
（2） 借助古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，即；
（3） 求复杂事件的条件概率，可以把复杂事件分解为两个（或若干个）互斥事件的和，利用公式：
，其中互斥.

1.例题
【例1】现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.
【解析】法一：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则P(B|A)＝＝＝.
法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.
【例2】将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.
(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
【解析】(1)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝.
P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝.
(2)解法一：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
解法二：事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个．
事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1．
得P(B|A)＝＝．

2.巩固提升综合练习
【练习1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】解法一：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求概率为P(B|A)＝＝＝．
解法二：第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为：
【练习2】某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 (　　)
A． B． C． D．
【解析】设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，
则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，
则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝．故选C．
【练习3】高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是____________．
【解析】设“甲乙二人相邻”为事件A，“甲丙二人相邻”为事件B，
则所求概率为






两个特殊离散型随机变量的分布列及数学期望
【一】二项分布
1、 独立重复试验：
（1）独立重复实验的定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
（2）独立重复试验的条件：
①每次试验在相同条件下可重复进行；
②各次试验是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
2、 二项分布：
（1） 二项分布定义：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，
＝0,1,2，…，，则称随机变量服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称为成功概率.
（2） 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为n次独立重复试验；
②随机变量是否为某事件在这次独立重复试验中发生的次数.



1.例题
【例1】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列．
【解析】(1)记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则所求的概率
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，故X～B(3，)．
所以P(X＝0)＝C()0()3＝，P(X＝1)＝C()()2＝，
P(X＝2)＝C()2()＝，P(X＝3)＝C()3()0＝．
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





【例2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
【解析】(1)X可能的取值为10，20，100，－200．
根据题意，有
P(X＝10)＝C×()1×(1－)2＝，
P(X＝20)＝C×()2×(1－)1＝，
P(X＝100)＝C×()3×(1－)0＝，
P(X＝－200)＝C×()0×(1－)3＝．
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P




(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，
则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝．
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝．
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是．

2.巩固提升综合练习
【练习1】甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.
（1）求甲同学购买3种书籍的概率；
（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.
【解析】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.
答：甲同学购买3种书籍的概率为.
（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.
则，，
所以，所以.
，，
.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P



.
【练习2】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出份,统计得分绘出频率分布直方图如图.

(1)求出图中的值,并求样本中,答卷成绩在上的人数;
(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取名,记成绩在分以上(含分)的人数为,求的分布列和期望.
【解析】依题意,故
故成绩在上的频率为
答卷成绩在上的人数为
由样本的频率分布直方图知成绩在分以上(含分)的频率为
依题意,
故,


所以的分布列为












的数学期望为

【二】超几何分布
1、超几何分布列定义：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则，
＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*
X
0
1
…
k
…
m
P


…

…

若随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布.
2、超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
（1）考察对象分两类；
（2）已知各类对象的个数；
（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
（4）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
3、m＝min{M，n}的理解
m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k的最大值为m＝M.




1.例题
【例1】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名
女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1[来源:学,科,网]
2
3
4
P





【例2】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.
【解析】(1)由已知，得P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
其中P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4).
故P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P




【例3】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.
【解析】(1)由题意知[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，
解得x＝8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
所以P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，P(η＝4)＝＝.
所以η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P







2.巩固提升综合练习
【练习1】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.
【解析】因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布.
X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




【练习2】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量
[0,1 000]
(1 000,3 000]
(3 000，＋∞)
节数
6
18
12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列.
【解析】(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝＝，P(X＝60)＝＝＝，
则X的分布列为
X
0
20
40
60
P





【练习3】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家队的平均分比队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.

（1）主持人从队所有选手成绩中随机抽取2个，求至少有一个为“晋级”的概率；
（2）主持人从两队所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为，求的分布列及数学期望.
【解析】（1）队选手的平均分为,
设队第6位选手的成绩为分,因为队的平均分比队的平均分多4分,
则,得,
则队中成绩不少于21分的有2个,
因为从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”,
则概率
（2）由（1）,队中所有选手成绩能“晋级”的有2个,队中所有选手成绩能“晋级”的有4个,则的可能取值有,
；；
；；
；
∴的分布列为

0
1
2
3
4







∴




概率与其他知识的交汇
【一】利用概率解决实际决策问题
利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常识.


1.例题
【例1】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
【解析】(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n