方法技巧专题23 期望、方差及正态分布的实际应用-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题23 期望、方差及正态分布的实际应用
解析篇
一、 期望、方差及正态分布




期望与方差的实际应用
1、离散型随机变量的期望：
（1）若离散型随机变量的概率分布为



---

---



---

---
则称为的数学期望（平均值、均值）简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；② 是一个实数，由的分布列唯一确定；
③ 随机变量是可变的，可取不同值； ④ 是不变的，它描述取值的平均状态.
（2）期望的性质：
①
②
③ 若，则
2．离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为，则称……为 的方差。
① 反映随机变量取值的稳定与波动；
② 反映随机变量取值的集中与离散的程度；
③ 是一个实数，由的分布列唯一确定；
④ 越小，取值越集中，越大，取值越分散；
⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作.
（2）方差的性质：
①
②
③ 若，则
④
3、在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。


1.例题
【例1】（产品检验问题）已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4
个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求:
（Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率；
（Ⅱ）取得正品元件个数的数学期望.
【解析】（I）从甲盒中取两个正品的概率为P（A）=
从乙盒中取两个正品的概率为P（B）=
∵A与B是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）=
（II）的分布列为

0
1
2
3

4
P






【例2】（比赛问题）A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立.
（1）求A队夺冠的概率；
（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.
【解析】（1）A队连胜3场的概率为，
打4场胜3场的概率为，
打5场胜3场的概率为
又以上事件是互斥的，
∴A队获胜的概率为P=P1+P2+P3=
（2），（A队连胜3场或B队连胜3场），
；
；

【例3】（射击，投篮问题）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，
若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：
（1）乙投篮次数不超过1次的概率；
1.3.5
（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【解析】记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。
解法一“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，
所求的概率是P = P（A+
=


解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是
=
（2）甲、乙投篮总次数ξ的取值1，2，3，4，
1.3.5


甲、 乙投篮次数总和ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4





甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为
【例4】（选题，选课，做题，考试问题）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。求：
（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
【解析】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出此题的概率为P2.
则P（A）=P1=0.6，P（B）=P2
P（A+B）=1－P（）
=1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92
∴0.6+P2－0.6P2=0.92
则 0.4P2=0.32即P2=0.8.
（2）P（ξ=0）=P（）·P（）=0.4×0.2=0.08
P(ξ=1)=P(A)P()+P()P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44
P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4
∴解出该题的人数ξ的数学期望为1.4，方差为0.4。
【例5】（试验，游戏，竞赛，研究性问题）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.
（I）求ξ的所有可能取值；
（II）求ξ的分布列；
（III）求ξ的期望Eξ.
【解析】解法一（I）ξ的所有可能取值为3400，2400，1400，400
（II）

ξ的分布列为：
ξ
3400
2400
1400
400






（III）
解法二 设该顾客中奖奖券η张，则
（II）

（III）


所以η的数学期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5

2.巩固提升综合练习
【练习1】（旅游，交通问题）春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；
（Ⅱ）随机变量的期望.
【解析】解法一：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4，
由等可能性事件的概率公式得


从而的分布列为

0
1
2
3
4
P





（II）由（I）得的期望为

解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是4次独立重复试验.

解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故期望值相等。

【练习2】1,3,5
（摸球问题）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n（n≥2）的n个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n的概率为
（1）求n的值；
（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，
则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为，求的数学期望E.
【解析】（1）由得n=4
1 2 3 4
1 2 3
（2） 甲盒 乙盒


是被抽取的2个小球得分之和
则有P（=1）= ，P（=2）=
P（=3）=，P（=4）=

1
2
3
4
P





的分布列为：




∴E=
【练习3】（摸卡片，数字问题）在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.
（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值
是否相等？请说明理由.
【解析】（I）取到的两张卡片上数字之积大于12的事件为3，4，5，6四个数中取出两个，且应除去3，4两个数字。
故所求事件概率.
（II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ=2，3，4，5，6.

若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η，
η=1，2，3，4，5，6.

∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数字中最大数字的期望值不相等.
【练习4】（入座问题）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一
个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.
（1）求随机变量的概率分布；
（2）求随机变量的数学期望和方差.
【解析】
0
1
2
3
P


0


（Ⅰ）
∴概率分布列为：



（Ⅱ）

【练习5】
（信息问题）如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.
（Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；
（Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.
【解析】（1）由已知，的取值为7，8，9，10.


的概率分布列为

7
8
9
10
P





（2）
【练习6】（路线问题）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）. 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.
（I）求点P恰好返回到A点的概率；
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，
C
D
A
B
求ξ的数学期望.






【解析】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为
因为只投掷一次不可能返回到A点；
若投掷两次点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：
（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为
若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1）
其概率为
所以，点P恰好返回到A点的概率为
（II）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，
所以，Eξ=2·+3·+4·=


正态分布的实际应用



1.例题
【例1】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为，则的值为（ ）
(参考数据：若，则； ；.)
A．0.9544 B．0.6826 C．0.9974 D．0.9772
【答案】D
【解析】由于随机变量X服从正态分布，故有μ=800，σ=50，则.由正态分布的对称性，可得
.
【例2】设随机变量X~N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个
点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若X~N(μ,σ2)，则Pμ-σ