方法技巧专题08 轨迹方程的求法-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

这是一份方法技巧专题08 轨迹方程的求法-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

方法技巧专题8 轨迹方程问题 解析版一、 轨迹方程问题知识框架二、求轨迹方程的常用方法【一】定义法定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 1.例题【例1】已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【例2】一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。【解析】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，，当与相切时，有 ①当与相切时，有 ②将①②两式的两边分别相加，得，即 ③移项再两边分别平方得： ④两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆， 以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。【解析】设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。.∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为【练习2】一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是（ ）抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支【解析】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。【练习3】已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b，a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2, ∴椭圆方程为, 又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2, 因此点C的轨迹方程是：(─2) 答案： 【练习2】已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点P(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 . 【解析】 又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2 答案：y2=x+2(x>2) 阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一. 求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆. 如图，点为两定点，动点满足， 则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证明：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则． 又设，则由得:， 两边平方并化简整理得:， 当时，，轨迹为线段的垂直平分线； 当时，，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆． 1.例题 【例1】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且． （Ⅰ）圆的标准方程为 ；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③． 其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号） 【解析】（Ⅰ）易知半径，所以圆的方程为； （Ⅱ）方法一： [来源:学科网ZXXK] 因为圆心， 又因为，且为中点，所以 因为 在圆 上，可设， 所以： 所以：, 同理：，所以：，①正确； , ②正确 ，③正确 所以：①、②、③正确 方法一可以改进为： 设为圆C上任意一点，则有： ，①正确； 同理，②正确； ，③正确. 这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 方法二: 如上图所示, 在（Ⅰ）的基础上易得 ，，， 于是，，所以， ，，所以， 所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为的阿波罗尼斯圆, 故：，①正确 , ②正确 ，③正确 因此： ①，②，③3个结论都成立. 方法三：先引进一个概念----圆的反演点：己知圆的半径为，从圆心出发任作一射线，在射线上任取两点，，,且，则称，是关于圆的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是的反演点；若在圆内，则连接，过点作的垂线与圆交点处的两切线的交点即为的反演点. 在（Ⅰ）的基础上易得：，，则有， 则点，是圆的一对反演点， 取圆上一点，则有, 所以圆是以，为反演点，比例系数为的阿波罗尼斯圆. 即对圆上任一点，均有， 故有：，①正确 , ②正确 ，③正确. 2.巩固提升综合练习 【练习1】若，则的最大值为 【解析】解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理 设， 所以：， 则：， 所以：当时，的最大值为. 该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高. 解法二： 建立平面直角坐标系处理最值问题 以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得， 整理得：，∴， 则，所以的最大值是． 解法三： 利用阿波罗尼斯圆 显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则， 因为，得的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：， 设圆心为,，显然当轴时，面积最大，此时 . 评注：既然存在，说明其轨迹不包括与轴的两个交点，， 现在问：，这两点究竟有什么性质？由于， ∴为的内角平分线；同理，为的外角平分线. 这就是说，，分别是线段的内分点和外分点，而正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法： 因为动点 到定点距离之比为, 则有 ，解得：或， 所以为内分点，为外分点， 圆半径，即为三角形高的最大值， 即高的最大值是，故的面积的最大值是. 四、课后自我检测 1．在中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是_______________________________. 【解析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点， 即轨迹方程为 2．两条直线与的交点的轨迹方程是 . 【解析】直接消去参数即得(交轨法): 3．已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 . 【解析】令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得: 4．当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为 . 【解析】把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。 抛物线方程可化为 它的顶点坐标为 消去参数m得： 故所求动点的轨迹方程为。 5．点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为 . 【解析】点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。 解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 6．求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 【分析】设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。 【解析】设是所求轨迹上一点，依题意得 由两点间距离公式得： 化简得： 7．抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。 【分析】抛物线的焦点为。设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。其中 【解析】因点是重心，则由分点坐标公式得：[来源:学.科.网] 即 由点在抛物线上，得： 将代入并化简，得：（ 8．已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。 【解析】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。 （1）当x≤3时，方程变为，化简得。 （2）当x>3时，方程变为，化简得。 故所求的点P的轨迹方程是或 9．过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解析】由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得。[来源:Z&xx&k.Com] 设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。 由消去k得。 又，所以。 ∴点M的轨迹方程为。 10． 已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程. 【解析】如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系 C B y x O A 由题意，构成等差数列，， 即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为. 11．已知点到两定点、距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程. 【解析】设的坐标为，由题意有，即 ，整理得 因为点到的距离为1， 所以，直线的斜率为，直线的方程为 将代入整理得 解得， 则点坐标为或 或，直线的方程为或．