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方法技巧专题04 立体几何中的向量方法-2022年高考数学满分之路方法技巧篇
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方法技巧专题4 立体几何中的向量方法
【一】证明平行问题
线线平行 | 设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)， 则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) |
线面平行 | 设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 |
面面平行 | 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)， 则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) |
[来源:学科网]
1.例题
【例1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．
求证：四边形AEC1F是平行四边形．
【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD．
[来源:学科网ZXXK]
【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
【例4】如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.
(1) 求证：；
(2) 求直线与平面所成角的正弦值；
(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由．
2.巩固提升综合练习
【练习1】长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
【练习3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
【二】证明垂直问题
1.例题
【例1】如图，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中点，求证：.
【例2】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD．
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
【例4】如图，在三棱锥中，平面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是线段上一点．
（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（2）是否存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
【练习2】如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．
求证：平面DEA⊥平面ECA．
【三】利用空间向量求空间角
1.例题
【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
【例2】如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【例3】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值.
【例4】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
2.巩固提升综合练习
【练习1】已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？
【练习2】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB．
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【练习3】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．
【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角DGHE的余弦值．[来源:Zxxk.Com]
【四】利用空间向量求距离
1.例题
【例1】 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
【例2】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________.
【例3】在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )
A． B． C． D．
2.巩固提升综合练习
【练习1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,，,是中点.
（I）求直线与平面所成的角的正弦值；
（II）求点到平面的距离．
【练习2】 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．
【练习3】如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离.
三、课后自我检测
1．如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
2．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
3．如图,在四棱锥S-ABCD中，平面，底面ABCD为直角梯形，,,且
（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值.
（Ⅱ）若E为SB的中点，在平面内存在点N，使得平面，求N到直线AD,SA的距离.
4．如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；
（1）求点到平面的距离；[来源:学科网]
（2）若是线段上的一点 ，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？ 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．
5．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.
（1）求证： 平面；
（2）设在线段上存在点，使二面角的大小为，求此时的长及点到平面的距离.
6．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，分别为的中点，且.
（1）证明：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值；
7．如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
8．如图，在四棱锥中，，，，，，点在线段上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
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