方法技巧专题11 圆锥曲线综合问题-2022年高考数学满分之路方法技巧篇

 方法技巧专题11  圆锥曲线的综合问题（学生版）

、 圆锥曲线的综合问题知识框架

               二、知识点及例题               

【一】定点问题

·1.例题

【例1】已知抛物线经过点（2，−1）．

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.

(1)求该抛物线的方程；

(2)已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点，并说明理由.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知点A，B是抛物线上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点.

（1）若是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程；

（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点.

【练习2】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于、两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若点关于轴的对称点是点，证明：直线与轴相交于定点。

【二】定值问题

1.例题

【例1】已知椭圆（）的焦距为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点，设为椭圆上位于第三象限内一动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值，并求出该定值．

【例2】已知椭圆：，点、、都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且.

（1）若点的坐标为，求直线的方程；

（2）求证：面积为定值.

[来源:学_科_网]

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知椭圆：的左、右焦点，，是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且的周长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线是圆：上动点处的切线，与椭圆交与不同的两点，，证明：的大小为定值．

【练习2】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

【三】定线问题

1.例题

【例1】如图，已知椭圆的左右焦点为，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形

（1）求椭圆的方程

（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点的直线距离是

（1）求椭圆的方程

（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程

【四】圆锥曲线中的最值与范围问题

1.例题

【例1】已知点A(−2，0)、B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.[来源:学|科|网]

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.

【例2】已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点.

（1）证明：直线的斜率之积为定值；

（2）求面积的最小值

【练习2】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，直线交圆于，两点，过点作的平行线交于点.

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.

[来源:Zxxk.Com]

【五】圆锥曲线中的存在性问题

1.例题

【例1】在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.

（1）求抛物线和椭圆的方程； [来源:学&科&网Z&X&X&K]

（2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．

（）求椭圆的标准方程．

（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．

（1）求圆方程；

（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积为（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

【练习2】如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中直线的方程为，直线的方程为.

（1）若，，求的值；

（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

三、课后自我检测                        

                    三、课后自我检测                 

1.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.

（1）求实数的值及抛物线的准线方程；

（2）过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点，求两条弦的弦长之和的最小值．

2.已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若P为线段AB的中点,求k1;

(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

3.已知椭圆：的焦距为，且，圆：与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）设圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.

4.已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.

5.已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

[来源:Z|xx|k.Com]

6.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．

求椭圆的标准方程；

点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

7.已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.