初中数学2 探索直线平行的条件一课一练

这是一份初中数学2 探索直线平行的条件一课一练，共16页。试卷主要包含了给出下列说法，如图，∠ABD的同旁内角共有，如图，下列条件等内容，欢迎下载使用。

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；
（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】（1）当且仅当两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角，同位角不一定相等，故（2）不正确．
（3）若直线l与直线AB相交，AB∥CD中，假设直线l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相交，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
【详解】解：（1）两条平行的直线被第三条直线所截，同位角才相等，故（1）不正确．
（2）若两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧且在被截线的同一方向的两个角是同位角．两直线平行，同位角相等．不平行的两条直线被第三条直线所截，则同位角不相等．那么，（2）不正确．
（3）当平面内的一条直线l和两条平行线AB与CD中的一条AB相交，若l与CD不相交，则l∥CD，故推断出l∥AB，即l与AB不相交与题干矛盾．那么，l与CD也相较，故（3）正确．
（4）根据点到直线的距离定义，可知（4）正确．
∴正确的说法有2个．
故选：C．
2．如图，∠ABD的同旁内角共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：∠ABD与∠ADB是直线AB、AD，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠AEB是直线AB、AC，被直线BD所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAE是直线AC、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
∠ABD与∠BAD是直线AD、BD，被直线AB所截而成的同旁内角，
故选：D．
3．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠7+∠4﹣∠1＝180°，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠2＝∠3中能判断直线a∥b的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．
【详解】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7＝∠1+∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3，可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
故能判断直线a∥b的有5个．
故选：C．
4．如图，点E在AC的延长线上，对于下列给出的四个条件：
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．
能判断AB∥CD的有 （填正确结论的序号）
【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
【详解】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证明AB∥CD；
②根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
③根据同位角相等，两直线平行即可证得AB∥CD；
④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得AB∥CD．
故答案为②③④．
5．两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺ABC不动，将三角尺DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，且点D在直线BC的上方，则∠BCD所有可能符合的度数为 ．
【分析】有7种情形分别画出图形求解即可．
【详解】解：如图1中，当DE∥AB时，∠BCD＝30°
如图2中，当AB∥CE时，∠BCD＝60°．
如图3中，当DE∥BC时，∠BCD＝90°．
如图4中，当AB∥CD时，∠BCD＝120°
综上所述，满足条件的∠BCD的值为30°或60°和90°或120°．
6．如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，则此工件 ．（填“合格”或“不合格”）
【分析】作CF∥AB，由平行线的性质得出∠ABC+∠1＝180°，求出∠1，得出∠2，由∠2+∠EDC＝180°，得出CF∥ED，证出AB∥ED，即可得出结论．
【详解】解：作CF∥AB，如图所示：
则∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣146°＝34°，
∴∠2＝∠BCD﹣∠1＝60°﹣34°＝26°，
∵∠2+∠EDC＝26°+154°＝180°，
∴CF∥ED，
∴AB∥ED；
故答案为：合格．
7．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？
（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．
【分析】（1）根据同旁内角、内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；处于两条直线之间，处于第三条直线两侧的两个角叫内错角）逐个判断即可．
（2）根据平行线的性质详解即可．
【详解】解：（1）与∠1是同旁内角的有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的有∠MOE，∠AOE；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠1＝115°，
∵∠BOM＝145°，
∴∠MOE＝∠BOM﹣∠BOE＝145°﹣115°＝30°，
∴往上弯了30°．
8．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 ．
【分析】（1）结合图可知∠1+∠2＝90°，从而可求解；
（2）利用∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可求得∠1＝∠3；
（3）结合图形可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则可求解；
（4）分5种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；⑤BE∥AD，结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【详解】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，
过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
9．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝110°，则∠ACE＝ ．
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，三角板DCE绕顶点C转动一周，试探究∠ACE等于多少度时，CE∥AB，请画出图，并说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【详解】解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠ACE＝70°，
故答案为：70°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
10．如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．
（1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）AB∥CD，
理由：∵∠DCF＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行．