5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

正弦函数、余弦函数的性质要点 一：周期函数的定义函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数正弦函数y＝sinx余弦函数y=cosx定义域RR值域[-1，1][-1，1]奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期最小正周期单调区间k∈Z增区间：减区间：增区间：减区间：最值点k∈Z最大值点最小值点最大值点最小值点对称中心k∈Z对称轴k∈Z   要点 三：正弦型函数和余弦型函数的性质函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：（1）定义域：（2）值域：（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。 （4）奇偶性：对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。 （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。（6）对称轴和对称中心与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。  【典型例题】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数的定义域；       举一反三：【变式1】求函数的定义域.   【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.   例2．求下列函数的值域：（1）y=|sin x|+sin x；（2），；（3）。 举一反三：【变式1】已知．（1）求函数y=cos x的值域；（2）求函数的最大值和最小值．           类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例3．已知函数，x∈R（1）求f（0）的值；（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合；（3）求函数f（x）的单调增区间．   举一反三：【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：     【变式2】比大小：（1）           （2）         （3）                （4）        （5）          （6）        【变式3】 sin1，cos1，tan1的大小关系是（      ）A.tan1>sin1>cos1      B.tan1>cos1>sin1C.cos1>sin1>tan1      D.sin1>cos1>tan1类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性例4．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）。（3）。     举一反三：【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：①对任意的，都是非奇非偶函数；②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；③存在，使是奇函数；④对任意的，都不是偶函数.其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.    类型四：正弦函数、余弦函数的对称性例5．指出下列函数的对称轴与对称中心（1）；     （2）.       类型五：正弦函数、余弦函数的周期例6．求下列函数的周期：（1）；    （2）。    类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用例7．解不等式：（1）      （2）      （3）       （4）     例8.已知函数（1）求函数的定义域和值域；  （2）求函数的周期；  （3）求函数的最值及相应的x值集合（4）求函数的单调区间；      （5）若，求的取值范围；（6）求函数的对称轴与对称中心；  （7）解不等式：       举一反三：【变式1】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π．(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．     【巩固练习】1．下列结论错误的是（    ）A．正弦函数与函数是同一函数B．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数C．直线是正弦函数图象的一条对称轴D．点是余弦函数图象的一个对称中心  2.函数是上的偶函数，则的值是(    )A.      B.       C.        D.  3．已知函数的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（    ）A．    B．    C．    D．   4．函数（x∈R）的最小值等于（    ）A．―3    B．―2    C．―1    D．   5．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A．               B．C．      D．   6． 的值域是(    )A.      B.      C.      D.    7．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（     ）.A. 关于点对称      B. 关于直线对称C. 关于点对称      D. 关于直线对称   8．函数的图象是下图中的（    ）      9．函数的定义域是________．     10.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________.     11．函数的图象为C，以下结论中正确的是________．（写出正确结论的编号）①图象C关于直线对称； ②函数在区间内是增函数；③图象C关于点对称；   ④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．       12．已知函数．  （1）求的定义域、值域；   （2）判断的奇偶性．         13．已知f(x)＝2sin＋a＋1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的取值集合．