专题10 函数的应用（课时训练）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题10 函数的应用

【基础巩固】

1．函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在区间为(　　)

A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)

【答案】B

【解析】函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标，即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.

∵f(x)在区间(0，+∞)内是图象连续的，且f(1)=ln 2-1<0，f(2)=ln 3->0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2).故选B.

2．函数的零点是（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【解析】函数的零点等价于方程的根，

函数的零点是，故选：C.

3．已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x，则关于x的方程f(x)=在区间[0，4]上解的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】D

【解析】由f(x-1)=f(x+1)，可知函数f(x)的周期T=2.∵x∈[0，1]时，f(x)=x，

又f(x)是偶函数，∴f(x)的图象与y=的图象如图所示.

由图象可知f(x)=在区间[0，4]上解的个数是4.故选D.

4．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A．       B．       C．      D．

【答案】C

【解析】∵，，，∴零点的区间是．

5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是(　　)

A．(1，2)   B．(－∞，－2]

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

【答案】D

【解析】当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x＞0时，x＋f(x)＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.

6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传

染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，

可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（）（   ）

A．天             B．天             C．天    D．天

【答案】B

【思路导引】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果．

【解析】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天，故选：B．

7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．

【答案】　

【解析】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数f(x)的图象，如图，故点(1，0)在直线y＝kx－的下方．所以k·1－＞0，解得k＞.

当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，所以m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故要求的k的取值范围是．

8．（2019·全国高一单元测试）某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．

【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5

【解析】

第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．

9．已知是定义在上且周期为3的函数，当时，

．若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是        ．

【答案】

【解析】函数在区间上有互不相同的10个零点，即函数与的图象有10个不同的交点，在坐标系中作出函数在一个周期内的图象，可知．

10．函数的零点个数是_________．

【答案】2

【解析】当时，令，解得；当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．

【能力提升】

11．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，，为偶函数

画出函数图像，如图所示：

根据图像知：

当时：无解；

当时：有2个根；

当时：有4个根；

当时：有2个根；

当时：有1个根；

当时：无解；

有且仅有6个不等的实数根

和满足： 或

则满足：

则满足：

 综上所述：故选：

12..（2020·江苏常州高级中学模拟）已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是(　　)

A.1<x1<2，x1+x2<2 B.1<x1<2，x1+x2<1

C.x1>1，x1+x2<2 D.x1>1，x1+x2<1

【答案】A

【解析】函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点，即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x2<x1)，在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图)，可知1<x1<2.

当y=-b=2时，x1=2，两个函数图象只有一个交点，当y=-b<2时，由图可知x1+x2<2.

13．已知，函数，当时，不等式的解集是_____．若函数恰有2个零点，则的取值范围是______．

【答案】；

【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．

14．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么

15．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0点时将会有水15千吨，

水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知小时内供水总量为千

吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象.

（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？

（2）若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水千吨，求的最小值，使得供水紧张现象消除.

【答案】（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）.

【解析】（1）设蓄水量为y，根据题意，，，

令，，解得，则，

所以一天内将在4时至9时出现供水紧张现象.

（2）每小时向池内注水千吨，则，

令，则，，

对称轴为，因为，所以，

，令，解得，

所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为.

【名师点睛】本题考查函数模型的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题.

16．（2020·四川南充高级中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

【解析】(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量

q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件；当m>30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)，∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.

【高考真题】

17．（2020天津9）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根，即可，令，即与的图象有个不同交点．

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以．

综上，的取值范围为，故选D．

18．(2018全国卷Ⅰ，理9)已知函数．若存

在2个零点，则的取值范围是（    ）

A．      B．      C．      D．

【答案】C

【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．

19．（2015天津）已知函数 函数 ，其中

，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A．       B．        C．         D．

【答案】D

【解析】由得，

所以，

即，

，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知．

20．（2014重庆）已知函数， 且在
 

内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A．          B．

C．          D．

【答案】A

【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数

的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，

当直线与和都相交时

；当直线与有两个交点时，

由，消元得，即，

化简得，当，即时直线

与相切，当直线过点

时，，所以，综上实数的取值范围是．